译者序
前言
第1章 实数系与复数系1
1.1 引言1
1.2 域公理1
1.3 序公理2
1.4 实数的几何表示2
1.5 区间3
1.6 整数3
1.7 整数的唯一因数分解定理4
1.8 有理数5
1.9 无理数5
1.10 上界、最大元和最小上界(上确界)6
1.11 完全公理7
1.12 上确界的某些性质7
1.13 从完全公理推演出的整数性质8
1.14 实数系的阿基米德性质8
1.15 能用有限小数表示的有理数9
1.16 用有限小数逼近实数9
1.17 用无限小数表示实数10
1.18 绝对值与三角不等式10
1.19 柯西施瓦茨不等式11
1.20 正负无穷和扩充的实数系R*11
1.21 复数12
1.22 复数的几何表示14
1.23 虚数单位14
1.24 复数的绝对值15
1.25 复数排序的不可能性15
1.26 复指数15
1.27 复指数的进一步性质16
1.28 复数的辐角17
1.29 复数的整数幂和方根17
1.30 复对数18
1.31 复幂19
1.32 复正弦和复余弦19
1.33 无穷远点与扩充的复平面C*20
练习20
参考文献25
第2章 集合论的一些基本概念26
2.1 引言26
2.2 记号26
2.3 序偶27
2.4 两个集合的笛卡儿积27
2.5 关系与函数27
2.6 关于函数的进一步的术语28
2.7 1-1函数及其反函数29
2.8 复合函数30
2.9 序列30
2.10 相似(对等)集合31
2.11 有限集与无限集31
2.12 可数集与不可数集31
2.13 实数系的不可数性32
2.14 集合代数33
2.15 可数集的可数族34
练习35
参考文献37
第3章 点集拓扑初步38
3.1 引言38
3.2 欧氏空间Rn38
3.3 Rn中的开球与开集39
3.4 R1中开集的结构41
3.5 闭集42
3.6 附贴点与聚点42
3.7 闭集与附贴点43
3.8 波尔查诺魏尔斯特拉斯定理43
3.9 康托尔交定理44
3.10 林德勒夫覆盖定理45
3.11 海涅博雷尔覆盖定理46
3.12 Rn中的紧性47
3.13 度量空间48
3.14 度量空间中的点集拓扑49
3.15 度量空间的紧子集51
3.16 集合的边界52
练习52
参考文献55
第4章 极限与连续性56
4.1 引言56
4.2 度量空间中的收敛序列56
4.3 柯西序列58
4.4 完备度量空间59
4.5 函数的极限59
4.6 复值函数的极限61
4.7 向量值函数的极限61
4.8 连续函数62
4.9 复合函数的连续性63
4.10 连续复值函数和连续向量值函数64
4.11 连续函数的例子64
4.12 连续性与开集或闭集的逆象65
4.13 紧集上的连续函数66
4.14 拓扑映射（同胚）67
4.15 波尔查诺定理68
4.16 连通性68
4.17 度量空间的分支70
4.18 弧连通性70
4.19 一致连续性72
4.20 一致连续性与紧集73
4.21 压缩的不动点定理74
4.22 实值函数的间断点74
4.23 单调函数76
练习77
参考文献83
第5章 导数84
5.1 引言84
5.2 导数的定义84
5.3 导数与连续性84
5.4 导数代数85
5.5 链式法则86
5.6 单侧导数和无穷导数86
5.7 具有非零导数的函数87
5.8 零导数与局部极值87
5.9 罗尔定理88
5.10 微分中值定理88
5.11 导函数的介值定理90
5.12 带余项的泰勒公式90
5.13 向量值函数的导数92
5.14 偏导数92
5.15 复变函数的微分93
5.16 柯西黎曼方程94
练习97
参考文献101
第6章 有界变差函数与可求长曲线102
6.1 引言102
6.2 单调函数的性质102
6.3 有界变差函数102
6.4 全变差104
6.5 全变差的可加性105
6.6 在［a，x］上作为x的函数的全变差105
6.7 有界变差函数表示为递增函数之差106
6.8 有界变差连续函数106
6.9 曲线与路107
6.10 可求长的路与弧长107
6.11 弧长的可加性及连续性性质109
6.12 路的等价性与参数变换109
练习110
参考文献112
第7章 黎曼斯蒂尔切斯积分113
7.1 引言113
7.2 记号114
7.3 黎曼斯蒂尔切斯积分的定义114
7.4 线性性质115
7.5 分部积分法116
7.6 黎曼斯蒂尔切斯积分中的变量替换117
7.7 化为黎曼积分118
7.8 阶梯函数作为积分函数11
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