随机过程教程

目录
前言
第1章 通用概念 1
1.1 概率空间 2
1.2 随机过程 3
1.3 停时 6
1.4 适应过程与循序可测过程 8
1.5 时变 10
1.6 可选过程 12
1.7 初遇与截口 17
1.8 Kolmogorov连续性准则 19
1.9 连续过程的弱收敛性 22
习题1 26
第2章 Brown运动 30
2.1 定义及构造 31
2.2 基本性质 35
2.2.1 轨道的H*lder连续性 35
2.2.2 轨道的平方变差 35
2.2.3 自相似性 38
2.3 Brown运动的Markov性 39
2.4 Wiener空间与Wiener积分 51
2.5 经典Wiener空间与Cameron-Martin定理 57
习题2 60
第3章 离散时间鞅 65
3.1 基本定义 65
3.2 Doob分解 68
3.3 鞅与停时 69
3.4 平方变差过程 81
3.5 鞅的收敛定理 87
3.6 逆鞅 92
3.7 鞅收敛定理的初步应用例子 96
3.7.1 条件期望的计算 96
3.7.2 无穷维分布的绝对连续性 98
3.7.3 Kolmogorov大数定律 102
习题3 103
第4章 连续时间鞅 108
4.1 随机区间与简单过程 108
4.2 闭区间上的鞅 109
4.3 左闭右开区间上的鞅 116
4.4 不连续鞅的例子 120
4.5 简单过程的随机积分 121
4.6 平方变差过程 124
4.7 局部鞅 128
4.8 半鞅 134
4.9 时变下的半鞅 134
习题4 135
第5章 Markov过程与半群 139
5.1 Markov链：从一个例子谈起 139
5.2 过程的Markov性与活动概率空间 142
5.3 Markov族 149
5.4 扩展Markov性与强Markov族 155
5.5 强Markov性的两个应用 161
5.5.1 Dynkin公式 161
5.5.2 Kolmogorov-It*不等式 162
5.6 与Markov过程联系的半群 164
5.7 由生成元确定Markov过程 170
5.8 Markov过程与鞅 174
5.9 初始分布为任意概率测度的Markov过程 177
5.10 紧空间上的Markov族 180
习题5 182
第6章 关于Brown运动的随机积分 188
6.1 有限区间的情形 188
6.2 [0，∞)的情形 200
习题6 200
第7章 关于鞅的随机积分 204
7.1 随机Stieltjes积分 204
7.2 简单过程的随机积分 206
7.3 可积函数类及其逼近 208
7.4 随机积分的构造及性质 212
7.5 关于局部鞅的随机积分 216
7.6 关于半鞅的随机积分 217
7.7 随机微分 217
7.8 随机积分的积分号下取极限 219
7.9 随机积分的Fubini定理 221
7.10 随机积分与时间变换 225
7.11 Stratonovich积分 226
习题7 227
第8章 It*公式 230
8.1 一个分析引理 230
8.2 有限变差过程的It*公式 231
8.3 半鞅的It*公式 231
8.4 两个直接应用 235
8.4.1 常数变易法——Doss-Sussmann方法 235
8.4.2 状态空间改变法——Zvonkin方法 237
习题8 238
第9章 It*公式的一些重要应用 241
9.1 Lévy-Kunita-Watanabe定理 241
9.2 连续局部鞅作为Brown运动的时变 243
9.3 鞅的随机积分表示(关于既定Brown运动)247
9.4 鞅的随机积分表示(关于待定Brown运动)249
9.5 指数鞅与Girsanov定理 252
9.6 鞅的矩估计——BDG不等式 259
9.7 局部时与Tanaka公式 264
习题9 270
第10章 随机微分方程 276
10.1 基本记号 278
10.2 解及其唯一性的定义 280
10.3 强解 283
10.4 Lipschitz系数的方程 286
10.5 Lipschitz条件下强解的存在唯一性 289
10.6 局部Lipschitz系数的方程 291
10.7 解的Markov性 293
10.8 更一般条件下强解的存在性 296
10.9 对初值的可微性 303
10.10 极限定理与时间反演 307
10.11 随机同胚流 317
习题10 318
第11章 随机微分方程与偏微分方程 323
11.1 基本记号和假设 324
11.2 椭圆方程 325
11.3 抛物方程 331
习题11 334
第12章 附录 336
12.1 不等式 336
12.2 凸函数 339
12.3 Helly第二定理 340
12.4 特征函数 340
12.5 递增函数 341
12.6 反函数定理 342
参考文献 343
索引 348