有趣的矩阵：看得懂又好看的线性代数

第1章 鸡兔同笼：矩阵与线性方程组的关系 1
1.1　列算式解鸡兔同笼问题 2
1.1.1　《孙子算经》中记载的解法 2
1.1.2　小学课堂上的解法 2
1.2　用方程的思想求解鸡兔同笼问题 2
1.2.1　用二元一次方程组求解鸡兔同笼问题 2
1.2.2　解方程组的方法更程序化 3
1.2.3　什么是线性方程组 4
1.3　用数的表格——“矩阵”表示线性方程组 4
1.3.1　用数字表格简化表示线性方程组 4
1.3.2　一种新的数学符号——矩阵诞生了！ 5
1.4　用矩阵方法求解线性方程组 7
1.4.1　用矩阵表示线性方程组的解题过程 7
1.4.2　矩阵的一种运算——初等行变换 7
1.4.3　矩阵的初等行变换与方程组的等价变换 8
1.5　用矩阵解决升级版鸡兔同笼问题 9
1.5.1　升级版鸡兔同笼问题——兽禽问题 9
1.5.2　更难的问题——王婆卖瓜问题 10
1.5.3　王婆卖瓜问题的思考——出现多个解时，怎么选择？ 11
1.6　怎么吃最健康——定制健康食谱 12
1.6.1　定制食谱第一步：确定摄入量 13
1.6.2　定制食谱第二步：选定食物，建立线性方程组 13
1.6.3　定制食谱第三步：求解线性方程组 14
1.6.4　定制食谱最后一步：选择一组合适的食物搭配 15
1.6.5　什么是规划问题 16
1.7　我们的生活离不开线性方程组 17
第2章 数字游戏：好玩的矩阵 18
2.1　矩阵就是数字公寓 19
2.1.1　矩阵的尺寸 19
2.1.2　数字公寓的门牌号 20
2.2　把矩阵翻转一下，会怎么样？ 21
2.2.1　怎样翻转矩阵 21
2.2.2　翻转后不变的方阵 23
2.3　各种特殊的方阵 24
2.3.1　三角矩阵就是数字三角形 24
2.3.2　对角矩阵 25
2.4　幻方游戏你玩过吗？ 26
2.4.1　幻方是中国人的发明 26
2.4.2　利用矩阵求解一个三阶幻方 28
2.4.3　三阶幻方的特点 30
2.4.4　利用矩阵求解[n]阶幻方的思路 31
2.5　数独也是矩阵游戏 32
2.5.1　令欧拉着迷的拉丁方阵 32
2.5.2　数独游戏 34
2.5.3　用分块矩阵的思想填写数独矩阵 35
第3章 经营水果店：经营管理中的矩阵 38
3.1　用矩阵加法计算总销量 39
3.1.1　总销量计算问题 39
3.1.2　矩阵的加法不能随便做 40
3.1.3　用矩阵的减法找回丢失的报表 42
3.1.4　矩阵的加、减法与实数的加、减法 43
3.1.5　幻方矩阵的加法 44
3.2　用数乘矩阵解决销量、损耗量问题 45
3.2.1　利用数与矩阵的乘法运算制定销量计划 45
3.2.2　促销打折、水果损耗量计算中的矩阵运算 46
3.2.3　数乘矩阵的进一步探究 47
3.2.4　数乘矩阵运算的运算规律 48
3.2.5　幻方矩阵的数乘 50
3.3　用矩阵乘法进行更复杂的经营管理 50
3.3.1　阿明的精品水果礼盒业务 50
3.3.2　用矩阵乘矩阵算账 51
3.3.3　最简单的矩阵乘法 53
3.3.4　矩阵乘法真好用！ 54
3.3.5　单位矩阵是没有美颜功能的素颜相机 55
3.4　矩阵乘法的显微镜底下看线性方程组 55
3.4.1　线性方程组的真面目 55
3.4.2　横看成岭侧成峰，远近高低各不同 56
3.5　矩阵乘法中的座位号是不可以交换的！ 57
3.5.1　交换位置，可能就玩不到一起了！ 57
3.5.2　为什么矩阵乘法不满足交换律？ 59
3.5.3　什么样的矩阵乘法满足交换律？ 60
3.5.4　总是可交换的矩阵 61
3.5.5　可逆的方阵 61
3.6　一个藤上N个瓜——矩阵的连乘 62
3.6.1　虽然不满足交换律，矩阵乘法还是可以灵活计算的 62
3.6.2　矩阵有平方吗？ 63
3.6.3　不忘初心的幂等矩阵 64
3.7　水果店老板的市场调研 65
3.7.1　阿明要在大学城里开水果店 65
3.7.2　预测水果店的市场占有率 66
3.8　神出鬼没的零矩阵 67
3.8.1　遇上它们，就成了它们——它们是谁？ 67
3.8.2　没遇上它们，也可能变成它们——神出鬼没的零矩阵 68
第4章 数码照片：矩阵与PS技术 70
4.1　对计算机来说，照片就是矩阵 71
4.1.1　组成数码照片的最小单元——像素 71
4.1.2　一张黑白照片=一个矩阵 72
4.1.3　一张彩色照片=三个矩阵 73
4.2　修图其实是做数学计算题 75
4.2.1　美颜App用矩阵运算精修你的照片 75
4.2.2　给照片加上滤镜 76
4.2.3　给照片加水印 78
4.3　怎样给照片“瘦身”？ 79
4.3.1　压缩一张照片的数学原理是什么？ 79
4.3.2　隔一行删一行——最简单的压缩算法 80
4.3.3　矩阵的乘法分解——最常用的SVD压缩算法 80
4.3.4　视频压缩也是矩阵运算 81
4.3.5　压缩的反操作——照片恢复 81
4.4　改变人类生活的人工智能算法离不开矩阵 83
4.4.1　人工智能要让计算机像人类一样思考 83
4.4.2　一个水果店的例子 85
4.4.3　人工神经网络的结构 86
4.4.4　神经网络的必经之路——训练和学习 87
4.4.5　计算机认人和你认人的过程是类似的 88
4.4.6　熟能生巧——数百万次的训练，才能做到过目不忘 90
4.4.7　深度学习，不仅仅能学认人 92
第5章 计算机绘画：用矩阵创造艺术 93
5.1　意义非凡的平面直角坐标系 94
5.1.1　认识平面直角坐标系 94
5.1.2　坐标系可以让函数和方程有“颜” 95
5.1.3　用几何解决鸡兔同笼问题 96
5.2　计算机绘图是怎么做到的？ 97
5.2.1　计算机是怎么画出一条线段的？ 98
5.2.2　计算机是怎么画圆的？ 100
5.2.3　更好的画圆思路 102
5.2.4　计算机绘制几何图形的总体思路 103
5.3　字体和艺术字——几何图形和线性变换 103
5.3.1　不同的字体，计算机是如何显示出来的？ 103
5.3.2　改变字符的字号，计算机是怎么做的？ 104
5.3.3　把一个字符变成斜体的线性变换——剪切变换 106
5.3.4　艺术字体中的镜像变换，其实也是矩阵乘法 108
5.4　从心形线到四叶草——旋转变换的魔力 110
5.4.1　怎么画心形线和四叶草？ 110
5.4.2　旋转变换的数学原理 112
5.4.3　平面几何图形的线性变换 113
5.5　计算机怎么制作电影特效？ 114
5.5.1　悸动的心——二维动画特效演示 114
5.5.2　海啸、暴风雪、爆炸的特效，计算机是怎么做到的？ 115
第6章 加密解密：矩阵与密码 116
6.1　用小学数学运算对银行卡密码加密 117
6.1.1　设计要求——安全、准确地传递信息 117
6.1.2　用十以内整数加法设计的加密算法 118
6.1.3　用乘法表设计的加密算法 120
6.1.4　更复杂的加密算法 121
6.2　怎么加密文字信息？ 121
6.2.1　古罗马战神凯撒的秘密武器——凯撒密码 121
6.2.2　凯撒密码的数学原理 122
6.2.3　用乘法原理对文字信息进行加密 124
6.2.4　使用统计规律破译加密算法 125
6.2.5　自带“钥匙”的加密算法 125
6.3　用矩阵乘法加密你的银行卡密码 127
6.3.1　用矩阵乘法加密数字明文 127
6.3.2　这样加密靠谱吗？ 128
6.3.3　怎么解密数字信息？ 129
6.3.4　解密过程怎么改进？ 130
6.3.5　一些密码学干货 131
6.3.6　请你来设计一个加密算法吧！ 133
6.4　希尔密码——用矩阵乘法加密文字信息 134
6.4.1　怎样设计希尔密码的加密矩阵？ 134
6.4.2　为你的日记设计希尔加密算法 135
6.4.3　怎样得到希尔密码的解密矩阵？ 136
6.4.4　希尔密码的破译 137
6.4.5　动态的希尔密码 137
第7章 互联网：矩阵的世界 139
7.1　用矩阵表示你的社交网络 140
7.1.1　绘制一张微信好友关系图 140
7.1.2　绘制一张微博好友关系图 141
7.1.3　你有几个微信好友？几个微博粉丝？ 143
7.1.4　代表真实社交网络的矩阵非常大 145
7.2　认识一个陌生人，最少需要几个人介绍？ 145
7.2.1　通过社交网络，通过一个中间人认识另一个人 145
7.2.2　两个人相识，最多需要几个中间人？ 147
7.2.3　真实世界——全世界任何两个人相识，只需要六个人 148
7.3　玩“见面分一半”的游戏，能实现“共同富裕”吗？ 149
7.3.1　财富分布不均衡的人类社会 149
7.3.2　实现财富平均分配的一种方法 149
7.4　网页搜索的原理是什么？ 152
7.4.1　网页搜索结果是随机排序的吗？ 152
7.4.2　早期的网页搜索算法 152
7.4.3　因一个算法而诞生的高科技公司 153
7.4.4　谷歌公司的网页排序新算法——PageRank算法 153
7.4.5　PageRank算法的数学模型 154
7.4.6　网页的得分和用户打开的第一个网页有关系吗？ 156
7.4.7　网页的得分和超链接关系图密不可分 157
7.4.8　算法比你还懂你 159
7.5　谷歌每天为几百万亿个网页排序，计算量大吗？ 160
7.5.1　网页之间的链接关系图有多大？ 160
7.5.2　网页之间的链接，和人类社会网络很像 160
7.5.3　面对巨大的计算量，该怎么办？ 162
7.5.4　计算工程分包自动化——MapReduce算法 163
第8章 田忌赛马：博弈论中的矩阵 165
8.1　田忌赛马与博弈论 166
8.1.1　田忌赛马的故事 166
8.1.2　用矩阵表示赛马结果 166
8.1.3　博弈论的发展历史 168
8.2　如果齐王也懂博弈论 168
8.2.1　一场赛马比赛的所有可能结果有哪些？ 168
8.2.2　下一次赛马，田忌还能继续赢吗？ 170
8.2.3　用矩阵表示博弈双方的收益 171
8.2.4　最佳策略与纳什均衡 172
8.3　一个“双输”的博弈——囚徒博弈 174
8.3.1　什么是囚徒博弈？ 174
8.3.2　囚徒困境——为了避免最坏的结局，错过了更好的结局 174
8.3.3　现实中的囚徒困境 175
8.3.4　囚徒困境可以改变吗？ 176
8.4　一个“双赢”的博弈——雪堆博弈 177
8.4.1　什么是雪堆博弈？ 177
8.4.2　什么时候不铲雪？ 179
8.4.3　什么时候铲雪？ 180
8.4.4　历史故事中的“雪堆博弈” 181
8.5　为什么俗话说“久赌必输”？ 182
8.5.1　一个“看上去公平”的简单模型 182
8.5.2　一个贪心的赌徒 184
8.5.3　赌博的潜在不公：庄家的赢面稍大一些 186