《微积分溯源：伟大思想的历程》
目录
第 一章 累积 1
1.1 阿基米德和球的体积 1
1.2 圆的面积和阿基米德原理 6
1.3 阿拉伯的贡献 10
1.4 二项式定理 15
1.5 西欧 17
1.6 卡瓦列里和积分公式 20
1.7 费马的积分和托里拆利的奇异几何体 23
1.8 速度和路程 27
1.9 艾萨克·贝克曼 30
1.10 伽利略·伽利雷和天体运动问题 32
1.11 解决天体运动问题 35
1.12 开普勒第二定律 38
1.13 牛顿的《自然哲学之数学原理》 41
第二章 变化率 44
2.1 插值 45
2.2 纳皮尔和他的自然对数表 50
2.3 代数的出现 57
2.4 解析几何 63
2.5 皮埃尔·德·费马 67
2.6 沃利斯和他的《无穷小算术》 73
2.7 牛顿和基本定理 79
2.8 莱布尼茨和伯努利家族 82
2.9 函数、微分方程 85
2.10 弦振动问题 90
2.11 势能 93
2.12 电磁学中的数学 94
第三章 部分和序列 98
3.1 17 世纪的级数 100
3.2 泰勒级数 104
3.3 欧拉 109
3.4 达朗贝尔、敛散性问题 114
3.5 拉格朗日余项定理 117
3.6 傅里叶级数 123
第四章 不等式的代数 129
4.1 极限和不等式 130
4.2 柯西和他的 -溆镅浴 132
4.3 完备性 136
4.4 连续性 138
4.5 一致收敛性 141
4.6 积分 144
第五章 分析 149
5.1 黎曼积分 149
5.2 微积分基本定理的反例 151
5.3 魏尔施特拉斯和椭圆函数 156
5.4 实数的子集 161
5.5 附言: 20 世纪 165
第六章 对微积分教学的思考 169
6.1 积分讲授为累积 169
6.2 导数讲授为变化率 171
6.3 无穷级数讲授为部分和序列 173
6.4 极限讲授为不等式的代数 174
第七章 最后的话 177
译后记 179
参考文献 185
《普林斯顿微积分读本（修订版）》
第 1 章 函数、图像和直线 1
1.1 函数 1
1.1.1 区间表示法 3
1.1.2 求定义域 3
1.1.3 利用图像求值域 4
1.1.4 垂线检验 5
1.2 反函数 6
1.2.1 水平线检验 7
1.2.2 求反函数 8
1.2.3 限制定义域 8
1.2.4 反函数的反函数 9
1.3 函数的复合 10
1.4 奇函数和偶函数 12
1.5 线性函数的图像 14
1.6 常见函数及其图像 16
第 2 章 三角学回顾 21
2.1 基本知识 21
2.2 扩展三角函数定义域 23
2.2.1 ASTC 方法 25
2.2.2 [0, 2餧 以外的三角函数 27
2.3 三角函数的图像 29
2.4 三角恒等式 32
第 3 章 极限导论 34
3.1 极限：基本思想 34
3.2 左极限与右极限 36
3.3 何时不存在极限 37
3.4 在∞和-∞处的极限 38
3.5 关于渐近线的两个常见误解 41
3.6 三明治定理 43
3.7 极限的基本类型小结 45
第 4 章 求解多项式的极限问题 47
4.1 x → a 时的有理函数的极限 47
4.2 x → a 时的平方根的极限 50
4.3 x → ∞时的有理函数的极限 51
4.4 x → ∞时的多项式型函数的极限 56
4.5 x → -∞ 时的有理函数的极限 59
4.6 函数的极限 61
第 5 章 连续性和可导性 63
5.1 连续性 63
5.1.1 在一点处连续 63
5.1.2 在一个区间上连续 64
5.1.3 连续函数的一些例子 65
5.1.4 介值定理 67
5.1.5 一个更难的介值定理例子 69
5.1.6 连续函数的最大值和最小值 70
5.2 可导性 71
5.2.1 平均速率 72
5.2.2 位移和速度 72
5.2.3 瞬时速度 73
5.2.4 速度的图像阐释 74
5.2.5 切线 75
5.2.6 导函数 77
5.2.7 作为极限比的导数 78
5.2.8 线性函数的导数 80
5.2.9 二阶导数和更高阶导数 80
5.2.10 何时导数不存在 81
5.2.11 可导性和连续性 82
第 6 章 求解微分问题 84
6.1 使用定义求导 84
6.2 用更好的办法求导 87
6.2.1 函数的常数倍 88
6.2.2 函数和与函数差 88
6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数 88
6.2.4 通过商法则求商函数的导数 90
6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数 91
6.2.6 那个难以处理的例子 94
6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由 96
6.3 求切线方程 98
6.4 速度和加速度 99
6.5 导数伪装的极限 101
6.6 分段函数的导数 103
6.7 直接画出导函数的图像 106
第 7 章 三角函数的极限和导数 111
7.1 三角函数的极限 111
7.1.1 小数的情况 111
7.1.2 问题的求解--小数的情况 113
7.1.3 大数的情况 117
7.1.4 其他的" 情况 120
7.1.5 一个重要极限的证明 121
7.2 三角函数的导数 124
7.2.1 求三角函数导数的例子 127
7.2.2 简谐运动 128
7.2.3 一个有趣的函数 129
第 8 章 隐函数求导和相关变化率 132
8.1 隐函数求导 132
8.1.1 技巧和例子 133
8.1.2 隐函数求二阶导 137
8.2 相关变化率 138
8.2.1 一个简单的例子 139
8.2.2 一个稍难的例子 141
8.2.3 一个更难的例子 142
8.2.4 一个非常难的例子 144
第 9 章 指数函数和对数函数 148
9.1 基础知识 148
9.1.1 指数函数的回顾 148
9.1.2 对数函数的回顾 149
9.1.3 对数函数、指数函数及反函数 150
9.1.4 对数法则 151
9.2 e 的定义 153
9.2.1 一个有关复利的问题 153
9.2.2 问题的答案 154
9.2.3 更多关于e 和对数函数的内容 156
9.3 对数函数和指数函数求导 158
9.4 求解指数函数或对数函数的极限 161
9.4.1 涉及e 的定义的极限 161
9.4.2 指数函数在0 附近的行为 162
9.4.3 对数函数在1 附近的行为 164
9.4.4 指数函数在∞或-∞附近的行为 164
9.4.5 对数函数在∞附近的行为 167
9.4.6 对数函数在0 附近的行为 168
9.5 取对数求导法 169
9.6 指数增长和指数衰变 173
9.6.1 指数增长 174
9.6.2 指数衰变 176
9.7 双曲函数 178
第 10 章 反函数和反三角函数 181
10.1 导数和反函数 181
10.1.1 使用导数证明反函数存在 181
10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题 182
10.1.3 求反函数的导数 183
10.1.4 一个综合性例子 185
10.2 反三角函数 187
10.2.1 反正弦函数 187
10.2.2 反余弦函数 190
10.2.3 反正切函数 192
10.2.4 反正割函数 194
10.2.5 反余割函数和反余切函数 195
10.2.6 计算反三角函数 196
10.3 反双曲函数 199
第 11 章 导数和图像 202
11.1 函数的极值 202
11.1.1 全局极值和局部极值 202
11.1.2 极值定理 203
11.1.3 求全局**大值和**小值 204
11.2 罗尔定理 206
11.3 中值定理 209
11.4 二阶导数和图像 212
11.5 对导数为零点的分类 215
11.5.1 使用一次导数 215
11.5.2 使用二阶导数 217
第 12 章绘制函数图像 219
12.1 建立符号表格 219
12.1.1 建立一阶导数的符号表格 221
12.1.2 建立二阶导数的符号表格 222
12.2 绘制函数图像的全面方法 224
12.3 例题 225
12.3.1 一个不使用导数的例子 225
12.3.2 完整的方法：例一 227
12.3.3 完整的方法：例二 229
12.3.4 完整的方法：例三 231
12.3.5 完整的方法：例四 234
第 13 章 优化和线性化 239
13.1 优化 239
13.1.1 一个简单的优化例子 239
13.1.2 优化问题：一般方法 240
13.1.3 一个优化的例子 241
13.1.4 另一个优化的例子 242
13.1.5 在优化问题中使用隐函数求导 246
13.1.6 一个较难的优化例子 246
13.2 线性化 249
13.2.1 线性化问题：一般方法 251
13.2.2 微分 252
13.2.3 线性化的总结和例子 254
13.2.4 近似中的误差 256
13.3 牛顿法 258
第 14 章 洛必达法则及极限问题总结 263
14.1 洛必达法则 263
14.1.1 类型A：0/0 263
14.1.2 类型A：±∞/±∞ 266
14.1.3 类型B1: (∞-∞) 267
14.1.4 类型B2: (0 x±∞) 269
14.1.5 类型C: 1±∞，00 或∞0 270
14.1.6 洛必达法则类型的总结 272
14.2 关于极限的总结 273
第 15 章 积分 276
15.1 求和符号 276
15.1.1 一个有用的求和 279
15.1.2 伸缩求和法 280
15.2 位移和面积 283
15.2.1 三个简单的例子 283
15.2.2 一段更常规的旅行 285
15.2.3 有向面积 287
15.2.4 连续的速度 288
15.2.5 两个特别的估算 291
第 16 章 定积分 293
16.1 基本思想 293
16.2 定积分的定义 297
16.3 定积分的性质 301
16.4 求面积 305
16.4.1 求通常的面积 306
16.4.2 求解两条曲线之间的面积 308
16.4.3 求曲线与y 轴所围成的面积 310
16.5 估算积分 313
16.6 积分的平均值和中值定理 316
16.7 不可积的函数 319
第 17 章 微积分基本定理 321
17.1 用其他函数的积分来表示的函数 321
17.2 微积分的第 一基本定理 324
17.3 微积分的第 二基本定理 328
17.4 不定积分 329
17.5 怎样解决问题：微积分的第 一基本定理 331
17.5.1 变形1：变量是积分下限 332
17.5.2 变形2：积分上限是一个函数 332
17.5.3 变形3：积分上下限都为函数 334
17.5.4 变形4：极限伪装成导数 335
17.6 怎样解决问题：微积分的第 二基本定理 336
17.6.1 计算不定积分 336
17.6.2 计算定积分 339
17.6.3 面积和 341
17.7 技术要点 344
17.8 微积分第 一基本定理的证明 345
第 18 章 积分的方法I 347
18.1 换元法 347
18.1.1 换元法和定积分 350
18.1.2 如何换元 353
18.1.3 换元法的理论解释 355
18.2 分部积分法 356
18.3 部分分式 361
18.3.1 部分分式的代数运算 361
18.3.2 对每一部分积分 365
18.3.3 方法和一个完整的例子 367
第 19 章 积分的方法II 373
19.1 应用三角恒等式的积分 373
19.2 关于三角函数的幂的积分 376
19.2.1 sin 或cos 的幂 376
19.2.2 tan 的幂 378
19.2.3 sec 的幂 379
19.2.4 cot 的幂 381
19.2.5 csc 的幂 382
19.2.6 约化公式 382
19.3 关于三角换元法的积分 384
19.3.1 类型1：pa2 x2 384
19.3.2 类型2：px2 a2 386
19.3.3 类型3：px2 a2 387
19.3.4 配方和三角换元法 388
19.3.5 关于三角换元法的总结 389
19.3.6 平方根的方法和三角换元法 389
19.4 积分技巧总结 391
第 20 章 反常积分：基本概念 393
20.1 收敛和发散 393
20.1.1 反常积分的一些例子 395
20.1.2 其他破裂点 397
20.2 关于无穷区间上的积分 398
20.3 比较判别法(理论) 400
20.4 极限比较判别法(理论) 402
20.4.1 函数互为渐近线 402
20.4.2 关于判别法的陈述 404
20.5 p 判别法(理论) 405
20.6 绝√收敛判别法 407
第 21 章 反常积分：如何解题 410
21.1 如何开始 410
21.1.1 拆分积分 410
21.1.2 如何处理负函数值 411
21.2 积分判别法总结 413
21.3 常见函数在∞ 和-∞附近的表现 414
21.3.1 多项式和多项式型函数在∞ 和-∞ 附近的表现 415
21.3.2 三角函数在∞ 和-∞ 附近的表现 417
21.3.3 指数在∞和-∞附近的表现 419
21.3.4 对数在∞ 附近的表现 422
21.4 常见函数在0 附近的表现 426
21.4.1 多项式和多项式型函数在0 附近的表现 426
21.4.2 三角函数在0 附近的表现 427
21.4.3 指数函数在0 附近的表现 429
21.4.4 对数函数在0 附近的表现 430
21.4.5 更一般的函数在0 附近的表现 431
21.5 如何应对不在0 或1 处的瑕点 432
第 22 章 数列和级数：基本概念 434
22.1 数列的收敛和发散 434
22.1.1 数列和函数的联系 435
22.1.2 两个重要数列 436
22.2 级数的收敛与发散 438
22.3 第n 项判别法(理论) 442
22.4 无穷级数和反常积分的性质 443
22.4.1 比较判别法(理论) 443
22.4.2 极限比较判别法(理论) 444
22.4.3 p 判别法(理论) 444
22.4.4 绝√收敛判别法 445
22.5 级数的新判别法 447
22.5.1 比式判别法(理论) 447
22.5.2 根式判别法(理论) 449
22.5.3 积分判别法(理论) 450
22.5.4 交错级数判别法(理论) 453
第 23 章 求解级数问题 455
23.1 求几何级数的值 455
23.2 应用第n 项判别法 457
23.3 应用比式判别法 457
23.4 应用根式判别法 461
23.5 应用积分判别法 462
23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和p 判别法 463
23.7 应对含负项的级数 468
第 24 章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论 472
24.1 近似值和泰勒多项式 472
24.1.1 重访线性化 472
24.1.2 二次近似 473
24.1.3 高阶近似 474
24.1.4 泰勒定理 475
24.2 幂级数和泰勒级数 478
24.2.1 一般幂级数 479
24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数 481
24.2.3 泰勒级数的收敛性 481
24.3 一个有用的极限 485
第 25 章 求解估算问题 487
25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结 487
25.2 求泰勒多项式与泰勒级数 488
25.3 用误差项估算问题 491
25.3.1 第 一个例子 492
25.3.2 第 二个例子 494
25.3.3 第三个例子 495
25.3.4 第四个例子 496
25.3.5 第五个例子 497
25.3.6 误差项估算的一般方法 499
25.4 误差估算的另一种方法 499
第 26 章 泰勒级数和幂级数：如何解题 502
26.1 幂级数的收敛性 502
26.1.1 收敛半径 502
26.1.2 求收敛半径和收敛区域 504
26.2 合成新的泰勒级数 508
26.2.1 代换和泰勒级数 509
26.2.2 泰勒级数求导 511
26.2.3 泰勒级数求积分 512
26.2.4 泰勒级数相加和相减 514
26.2.5 泰勒级数相乘 515
26.2.6 泰勒级数相除 516
26.3 利用幂级数和泰勒级数求导 517
26.4 利用麦克劳林级数求极限 519
第 27 章 参数方程和极坐标 523
27.1 参数方程 523
27.2 极坐标 528
27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换 529
27.2.2 极坐标系中画曲线 530
27.2.3 求极坐标曲线的切线 534
27.2.4 求极坐标曲线围成的面积 535
第 28 章 复数 538
28.1 基础 538
28.2 复平面 541
28.3 复数的高次幂 544
28.4 解zn = w 545
28.5 解ez = w 550
28.6 一些三角级数 552
28.7 欧拉恒等式和幂级数 554
第 29 章 体积、弧长和表面积 556
29.1 旋转体的体积 556
29.1.1 圆盘法 557
29.1.2 壳法 558
29.1.3 总结和变式 560
29.1.4 变式1：区域在曲线和y 轴之间 561
29.1.5 变式2：两曲线间的区域 562
29.1.6 变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转 565
29.2 一般立体体积 567
29.3 弧长 571
29.4 旋转体的表面积 574
第 30 章 微分方程 578
30.1 微分方程导论 578
30.2 可分离变量的一阶微分方程 579
30.3 一阶线性方程 581
30.4 常系数微分方程 585
30.4.1 解一阶齐次方程 586
30.4.2 解二阶齐次方程 586
30.4.3 为什么特征二次方程适用 587
30.4.4 非齐次方程和特解 588
30.4.5 求特解 589
30.4.6 求特解的例子 590
30.4.7 解决yP 和yH 间的冲突 592
30.4.8 IVP 593
30.5 微分方程建模 595
附录A 极限及其证明 598
A.1 极限的正式定义 598
A.2 由原极限产生新极限 602
A.3 极限的其他情形 606
A.4 连续与极限 611
A.5 再谈指数函数和对数函数 616
A.6 微分与极限 618
A.7 泰勒近似定理的证明 627
附录B 估算积分 629
B.1 使用条纹估算积分 629
B.2 梯形法则 632
B.3 辛普森法则 634
B.4 近似的误差 636
符号列表 640
索引 643
《简单微积分 学校未教过的超简易入门技巧》 第 1章 积分是什么 1
积分的存在意义 2
积分应用的基础 2
所有图形都与长方形相通 5
近似的方法 8
和变为了积分 13
何为"接近精确值" 18
两个思想实验 20
椭圆的面积 20
地球的体积 25
切口的秘密 32
卡瓦列利原理 32
三分之一的原理 37
圆锥的体积 45
球的体积 48
球的表面积 54
感觉和逻辑 59
初中入学考试中的积分 59
像小学生那样求圆环体体积 67
把甜甜圈变成蛇的方法 69
帕普斯-古尔丁定理 73
第 2章 微分是什么 77
微分存在的意义 78
分析钻石的价格 78
"亮出指数"的理由 86
乘积的微分公式 94
从未知到已知 97
商的微分公式 100
再次扩展幂函数的微分公式 102
丰富多彩的函数世界 105
山峰和山谷 105
了解切线 109
根据单调性表画函数图像 113
最大值和最小值、极大值和极小值 117
手绘函数图像的意义 119
存在休息平台的函数 121
有预谋地使用微分 128
理想的冰激凌蛋卷筒 128
"忽略"与"不可忽略"的界线 138
第3章 探寻微积分的可能性 141
1800年后的真相 142
反军队式学习法 142
伟大的发现会成为未来的常识 144
基本定理的使用方法 152
填坑 160
自然常数从何而来 160
无限接近于精确的值 164
关键在于根号 166
转换思路能行得通吗 169
指数函数出现了 175
让关系更清晰 178
唯一一个微分后不会发生变化的函数 181
弯曲也没问题 184
测量曲线的长度 184
简洁的悬链线公式 187
验证项链的长度 194
微积分的真身 199
微分的可能性 199
微分相关的冒险 202
近似和忽略 205
后记 207
尾注 209
《微积分入门 修订版》
第 1章 实数 1
1.1 序. 1
1.2 实数 6
1.3 实数的加法与减法 12
1.4 数列的极限, 实数的乘法、除法 16
1.5 实数的性质 27
1.6 平面上点的集合 43
习题 60
第 2章 函数 61
2.1 函数 61
2.2 连续函数 65
2.3 指数函数和对数函数 72
2.4 三角函数 77
习题 88
第3章 微分法则 89
3.1 微分系数和导函数 89
3.2 微分法则 93
3.3 导函数的性质 100
3.4 高阶微分 106
习题 127
第4章 积分法 128
4.1 定积分 128
4.2 原函数和不定积分 137
4.3 广义积分 148
4.4 积分变量的变换 164
习题 171
第5章 无穷级数 173
5.1 绝对收敛与条件收敛 173
5.2 收敛的判别法 179
5.3 一致收敛 188
5.4 无穷级数的微分和积分 195
5.5 幂级数 203
5.6 无穷乘积 217
习题 223
第6章 多元函数 224
6.1 二元函数 224
6.2 微分法则 233
6.3 极限的顺序 260
6.4 n 元函数 273
习题 279
第7章 积分法则(多元) 280
7.1 积分 280
7.2 广义积分 292
7.3 积分变量的变换 316
习题 349
第8章 积分法则(续) 350
8.1 隐函数 350
8.2 n 元函数的积分 357
8.3 积分变量的变换 378
习题 399
第9章 曲线和曲面 400
9.1 曲线 400
9.2 曲面的面积 411
习题 428
附录 429
解答,提示 432
索引.452
《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》
目 录
前言 1
第 1章 牛顿 7
广义二项展开式 8
逆级数 11
《分析学》中求面积的法则 14
牛顿的正弦级数推导 18
参考文献 22
第 2章 莱布尼茨 24
变换定理 27
莱布尼茨级数 35
参考文献 40
第3章 伯努利兄弟 41
雅各布和调和级数 43
雅各布和他的垛积级数 47
约翰和xx 52
参考文献 57
第4章 欧拉 59
欧拉的一个微分 60
欧拉的一个积分 62
n的欧拉估值 63
引人注目的求和 67
伽玛函数 72
参考文献 76
第5章 第 一次波折 78
参考文献 86
第6章 柯西 87
极限、连续性和导数 88
介值定理 91
中值定理 94
积分和微积分基本定理 97
两个收敛判别法 102
参考文献 107
第7章 黎曼 109
狄利克雷函数 112
黎曼积分 114
黎曼病态函数 121
黎曼重排定理 126
参考文献 129
第8章 刘维尔 131
代数数与超越数 132
刘维尔不等式 136
刘维尔超越数 141
参考文献 145
第9章 魏尔斯特拉斯 146
回到基本问题 148
四个重要定理 158
魏尔斯特拉斯病态函数 160
参考文献 170
第 10章 第 二次波折 171
参考文献 181
第 11章 康托尔 182
实数的完备性 183
区间的不可数性 186
再论超越数的存在 190
参考文献 195
第 12章 沃尔泰拉 196
沃尔泰拉病态函数 198
汉克尔的函数分类 200
病态函数的限度 204
参考文献 210
第 13章 贝尔 211
无处稠密集 212
贝尔分类定理 215
若干应用 219
贝尔的函数分类 225
参考文献 228
第 14章 勒贝格 230
回归黎曼积分 231
零测度 232
集合的测度 239
勒贝格积分 243
参考文献 250
后记 252
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