再版序古人云：“天不生仲尼，万古如长夜。”如果人类没有数学，那人类很可能还生活在愚昧之中，数万年来一直过着“如长夜”般的生活。 数学作为基础学科的重要性毋庸置疑，可是校内数学还不够吗，为什么咱家的孩子还要学奥数呢？关于这个问题，不同的人有不同的回答，也会做出不同的选择。无论是抱着功利的目的，想在升学之路上取得先机或不被抛下；还是纯粹为了培养兴趣、拓展思维；抑或对奥数很不屑，敬而远之。凡此种种，都可以理解。然而相对于小学校内数学，奥数体系在数学的广度和深度上都大大地拓展了，在系统学习的过程中，孩子不仅可以接触到很多重要的数学思想，还能了解很多知识点背后的数学历史，对培养孩子的数学兴趣和能力，无疑是大有裨益的，试举例说明如下。 ■分类与枚举 对于小学生而言，分类可以说是除了计算能力之外*重要的数学能力！法国的数学大师笛卡尔在方法论中告诉我们： 研究复杂问题，应尽量将其分解为多个比较简单的小问题，一个一个地分开解决；对于小问题，要从简单到复杂排列，先从容易解决的问题着手。在小学奥数中，有很多知识模块特别锻炼孩子的合理分类与有序枚举的能力，比如几何图形计数、加乘原理、各种与数字性质相关的题型。 ■假设 先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，如果出现矛盾，加以适当调整，*后找到正确答案。假设法在真假型逻辑推理、鸡兔同笼以及其他二元问题上有广泛的应用，同时在竖式谜、数论等题目中，如果涉及复杂的条件判定，逐一假设也是常用的手段。 ■数形结合 中国近代的大数学家华罗庚曾经写过一首小诗：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”这首小诗讲的是数学中*古老的对象“数”与“形”之间的紧密联系，通常称为“数形结合”。“数”精确、“形”直观，在解题时如果能双剑合璧，就可以发挥无穷威力！小学奥数体系当中，有许多知识模块可以锻炼孩子的数形结合能力，比如还原问题、复杂平均数问题、和差倍问题、年龄问题、行程问题，以及平面几何中的代数解法等。数形结合，特别强调动手画图（以线段图居多），这需要孩子能理解题意、抽取出关键要素并通过画图体现出来，对孩子的动手能力、抽象能力也是有益的锻炼。 ■代换与代数思想 回顾我们自己学习数学的过程就会发现，实际上我们是从具象一步步走向抽象，数学能力也就随之同步提升。在很小的时候，计算要靠数手指头这样的实物，后来变成了书本上苹果等形象化的实物，再后来借助正方形、三角形等这样略具抽象的形状，随后逐步走向符号化，进而进入代数的世界。在小学奥数低年级的体系中，经常出现的等量代换题目就是初等的代数思想；在很多题型当中，我们强调用字母来表示未知的量，一来方便书写，二来也是在培养基本的代数思想；到了小学中高年级，开始接触方程解法，更是从算术方法逐渐向代数方法过渡。 ■数学建模思想 大家口中经常说某些题是套路题，隐约间套路就和只会照搬、不会灵活运用画上了等号，这其中怕是有些误解。实际上，套路本身更多的时候体现的是一种数学建模思想，如何从变化多端的外在题型中抽取出其数学本质，转换成自己所熟知的基本数学模型，这是一种很高的数学素养，是数学能力的体现。欧拉从七座桥问题提炼出了一笔画与多笔画，伯努利从装错信封问题总结出一般的错排规律，柳卡在哈佛开会期间想出柳卡图……这些数学大神们从日常生活问题中抽取数学本质，进而得出数学模型的能力真是让人神往。对于小学生而言，可能还无法做到面对一个模式的数学题型，从中总结出其数学基本模型，然而这是我们学习数学所要追求的目标。要想接近这个目标，就要从熟悉各种基本模型（套路）开始。比如将各种各样的盈亏变种问题转换成基本盈亏问题，将不是整倍数的倍数问题转换成整倍数，将不符合裂项基本型的问题想办法转换成裂项基本型，用递推模型思想来理解斐波那契数列、汉诺塔、爬楼梯、覆盖、环形染色等计数问题…… ■整体思想 无论是在学习上还是工作上，人们容易“拘泥于细微，失之于大局”。在数学上，对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手，整体把握，化零为整，往往不失为一种更便捷、更省时的方法，这在奥数学习过程中也是可以锻炼到的能力。如“一条小狗在相向而行的两人之间来回跑动，到两人相遇小狗跑动了多长的距离”就是一个典型的例子，再比如巧算中的整体换元、工程问题中的整体效率等。 实际上，在小学奥数体系中能锻炼的数学思想还有很多，比如“对应”“集合”“化归”“极值”“归纳”等。不管是否有比赛、是否有禁奥令，也不管你学与不学，奥数就在那里；上面提到的这些重要的数学思想在奥数中有深刻的体现。但是怎么学，用什么教材学呢？这就是另外一个话题了。 牛爸当初也没有想到自己编写教材，但是在将市面上的教材都翻了一个遍之后，发现基本都是各种习题集，偶尔有的书中夹杂点吸引孩子的图片、小故事，但也仅此而已。于是牛爸就下定决心编写一本真正适合孩子的奥数辅导书籍。说易行难，从哪里开始呢？ 牛爸的思路很简单： 学数学如同登山看风景，爬得越高，欣赏的风景就越美。那我们就不在山脚下、半山腰徘徊了，直奔山顶而去吧。因此牛爸把目标直接定在了历年的竞赛真题上（竞赛没有了，但是真题还在；如同恐龙没有了，但是化石还在）。 开始行动后，牛爸业余时间全部扑在了上面，搜集了大量的竞赛真题，并把每道题目都做了一个遍。为了能站在小孩子的角度上来解题，牛爸还自废武功，放弃了所有“高级”的解题方法，像什么方程、反证法、归纳法什么的统统不用，只用牛牛这个小学生能够掌握的招法。接下来就是分类整理分析了，把同类型的题目归集到一块儿，有的大类里头还分不同的小类，比如植树问题里面就有锯木头、敲钟、爬楼梯等不同的小类别。在把分好类的题目由易到难排好顺序之后，就开始了*艰难的一部分： 把解题思路详细地写下来！为了让牛牛通过独立阅读就能够理解，并且*好被吸引住，牛爸没少花心思。在语言上尽量轻松活泼，避免干巴巴的说教；解题上有时故意露出破绽，模拟小朋友常见的错误，期待着被牛牛看破；在解题过程上也努力做到详尽，把每一步的来龙去脉都写清楚，毕竟当时牛牛只是一个二年级的小学生啊，没点东西吸引他，他很快就会厌恶排斥的。就这样，牛爸用了3个月的时间（把业余时间全用上了）完成了初稿。每写完一讲，就给牛牛学一讲，小家伙还真是喜欢上了自己爸爸写的资料，不仅能够毫无障碍地独立学习，时不时还能发现其中的错误呢！这就是本书*初的由来。 那么是什么让牛爸的资料从家里的书房走向书店，又在众多奥数教辅书籍中崭露头角呢？想来有如下几点原因。 ◆趣味性 牛爸创作的初衷是给自己当时上二年级的儿子看的，要想让一个低年级小朋友愿意看书不难，难的是要让他喜欢看奥数书！因此在牛爸系列图书中引入了风趣幽默的父子情景对话，字里行间描述了一对父子在奥数学习之路上遇到的各种趣事，小朋友读来会倍感亲切（想必有些类似的事情在自己的生活中也出现过）。除此之外，在涉及一些有历史渊源的知识点时，牛爸会引入与之相关的背景故事，小朋友读来会觉得津津有味，对这些知识当然记得会更深刻啦。 ◆实战真题 牛爸系列图书是紧跟各大竞赛的，所选题目90%以上均取自上海、北京等地重要杯赛的*竞赛真题，题目的难度*是够够的！那么牛爸选择了哪些竞赛呢？ 上海地区的竞赛以鼎盛时期的四大杯赛为主（中环杯、亚太杯、小机灵杯、走美杯）。 北京地区的杯赛为数学花园探秘（迎春杯）。 全国范围的竞赛为华杯赛。 上述杯赛有的已经不复存在，但这些真题对锻炼数学思维起到的作用犹在！ ◆原理与解题并重 牛爸非常注重数学原理的证明或推导，无论是在书中还是课堂上，只要证明过程没有超出小学生的理解范围，牛爸总是用大量的篇幅介绍这些知识点的来龙去脉，期望让小朋友们能理解数学的证明之美，从小培养严谨的数学思维。牛爸认为，如果能深入各个知识点背后，抓住其数学原理的实质，那很多表面上看起来零零散散的知识就可以被串起来了。比如数论中的各种整除、余数规律，如果小朋友理解了背后的推导，就不仅能把整除和求余统一起来，或是对几位一切、是求和还是求差了然于胸，还能进一步对位值原理、进位制等其他知识加深认识。练就了从原理上理解数学知识的内功，再掌握了各种招数（解题技巧），那武功不是得蹭蹭蹭地往上窜嘛！ ◆从小朋友的视角出发 《冷斋夜话》中有一个故事，说大诗人白居易“每作诗，令一老妪解之，问曰：‘解否？’妪曰解，则录之；不解，则易之。”牛爸在写这一系列图书时，也是竭力从小学生的角度来讲解每一道题，力求牛牛能够看懂。为此，牛爸对于题目，尤其是难题，均做了非常细致的分析，绝非普通的奥数教材可以比拟。不仅如此，书中还穿插了孩子们在日常奥数学习过程中的常见错误、不良学习习惯，以及具体解题时的易错点等。这样就能使小朋友们养成比较好的习惯，做题时能远离各种陷阱，使得奥数学习事半功倍！毫不夸张地说，不仅家长看了之后可以自己辅导孩子，甚至孩子自己都可以拿来自学了。 有许多家长作为牛爸系列图书的忠实分子追随着牛爸的足迹一路走来，对此牛爸特别想对他们说声感谢！像江苏的宸妈、澄妈、涵妈、球球妈、泽爸、钱妈，山东的元妈，四川的仪妈，浙江的多妈、源妈、悠妈、晨妈、曼曼妈，广东的翔妈、延妈、琳妈、廷爸……上海的家长自然就更多了，不再一一列举。所有牛爸系列图书的小读者、大读者，都是牛爸不计成本、奋力前行的*动力。 *后，特别感谢杭州的家长林小入（她本人是一名美术工作者）为本书设计了一个可爱的小牛图标，也特别感谢南京的澄妈为本书做了细致的校对。牛牛爸爸 2018年5月
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