序与数：数概念的形成与演变

第 1 章  绪论  1 
1.1  十九世纪末叶思想者对自然数观念的典型解释  3 
1.1.1  弗雷格在《算术基础》解释自然数  3 
1.1.2  赫尔姆霍兹否定算术知识的先验性  12 
1.1.3  克罗内克定义自然数  18 
1.1.4  戴德金论自然数的本质与含义  20 
1.1.5  皮亚诺算术公理  27 
1.1.6  对前述典型认知的几点评注  29 
1.2  面临的基本问题及基本假设  32 
1.2.1  思维过程涉及三种世界  33 
1.2.2  关于抽象与抽象能力  42 
1.2.3  关于数的哲学思考  44 
第 2 章  比较与排序  49 
2.1  生活中的比较问题  49 
2.2  等同  58 
2.2.1  相同关系  58 
2.2.2  等价类与商集  62 
2.3  关联准线性序与自然离散线性序  66 
2.3.1  关联准线性序关系  66
2.3.2  线性序  68 
2.3.3  关联准线性序之群体效应  69 
2.3.4  关联准线性序之提升  70 
2.3.5  一阶逻辑之量词  78 
2.3.6  量词所辖变元之变化范围问题  79 
2.3.7  关于抽象：从具体到一般  80 
2.3.8  序结构比较问题  81 
2.3.9  特殊字符串表及其字典序  85 
2.3.10  居民扩展名之等价类中名字的字典序  86 
2.3.11  商集 M/ 中的元素与商集 H0/中元素之比较  88 
2.3.12  竹简书卷长短比较  89 
2.4  “正”字字符串  92 
2.4.1  从实物标识到“正”字字符串表示  92 
2.4.2  “正”字字符串之有界部分团  95 
第 3 章  序型算术与自然数  98 
3.1  序同构与序型比较  98 
3.1.1  等势  98 
3.1.2  保序对应  101 
3.1.3  序同构法则  102 
3.1.4  自然离散线性序之刚性  102 
3.1.5  序型表示问题  106 
3.1.6  有限性与自然数  107 
3.1.7  “自然数”之内涵  108 
3.2  算术问题  108 
3.2.1  合并操作与整合操作  108 
3.2.2  无重合序合并与序型加法  109 
3.2.3  序型加法  111 
3.2.4  序型加法保持序型比较关系  112 
3.2.5  整合操作与干支乘积  123 
3.2.6  整合操作的基本性质  125 
3.3  序型算术的实现  126 
3.3.1  加法运算与乘法运算  126 
3.3.2  运算保序规律  131 
3.3.3  自然数数值内涵  134 
第 4 章  正分数  139 
4.1  平面直线线段长短比较问题  139 
4.1.1  平面直线线段长短比较  139 
4.1.2  平面长度度量假设  144 
4.2  平面整齐矩形面积量  146 
4.2.1  整齐矩形面积度量  146 
4.2.2  长度量之乘法以及面积量  148 
4.2.3  等分直线段与正分数  149 
4.3  正分数算术律  151 
4.3.1  发现正分数算术律  151 
4.3.2  长度量均分假设  155 
4.3.3  发现正真分数大小比较律  155 
第 5 章  几何量  158 
5.1  发现非分数几何量  158 
5.1.1  单位正方形主对角线长度问题  158 
5.1.2  发现双倍面积定理  159 
5.1.3  发现勾股弦面积定理  162 
5.2  几何原理  168 
5.2.1  默认假设追问  168 
5.2.2  欧几里得几何  169 
5.2.3  刘徽计算中的几何直观假设  171 
5.2.4  发现圆周率  172 
5.2.5  “数之法出于圆方”  173 
5.2.6  非有理几何量  174 
5.2.7  无理数  175 
5.2.8  几何量与正实数  175 
5.2.9  平面夹角及其大小比较  176 
5.2.10  平面上夹角的度量  178 
5.2.11  发现正弦变化律  179 
5.2.12  正弦值与三角形面积  183 
5.2.13  正无理长度  185 
5.2.14  正实数直线  185 
5.2.15  非负实数轴与平面直线线段长度  190 
5.2.16  镜面反射与负数  192 
5.2.17  整数直线、分数直线、实数直线  192 
5.2.18  实数轴  195 
第 6 章  向量  198 
6.1  实数平面与实数立体几何空间  198 
6.1.1  笛卡尔直角坐标系  198 
6.1.2  欧几里得平面参照系  201 
6.1.3  笛卡尔距离空间  203 
6.1.4  立体欧几里得空间参照系  206 
6.1.5  向量空间  208 
6.1.6  内积空间  214 
6.1.7  高维向量空间中的内积  216 
6.2  向量内积空间上的变换  217 
6.2.1  平移  217 
6.2.2  旋转  220 
6.2.3  旋转矩阵  221 
6.2.4  矩阵之代数运算  223 
6.2.5  旋转复合  230 
第 7 章  超限序数  235 
7.1  对应与函数  235 
7.2  康托建立集合论  239 
7.2.1  认识实变函数  239 
7.2.2  区分可排列与不可排列  244 
7.2.3  康托引入超限序数  246 
7.2.4  公理化之路  254 
7.2.5  集合论语言：形式规则、形式语义以及形式判断  256 
7.2.6  无穷集合存在性  259 
7.2.7  笛卡尔乘积以及交、并、差运算  268 
7.2.8  函数概念以及等价关系概念  271 
7.2.9  集合之势比较与等势  274 
7.3  有限数的集合表示  275 
7.3.1  自然数大小比较  275 
7.3.2  有限集合  276 
7.3.3  自然数平面之序与势  278 
7.3.4  递归定义  280 
7.3.5  自然离散线性序表示定理  282 
7.3.6  自然数算术  285 
7.3.7  整数及其算术  286 
7.3.8  有理数算术及其线性序  287 
7.3.9  有理数基本序列  289 
7.3.10  实数有序域  291 
7.3.11  希尔伯特“关于实数概念”  298 
7.4  秩序与序数  301 
7.4.1  秩序集合  302 
7.4.2  序数  303 
7.4.3  秩序典型代表问题  306 
7.4.4  序数算术  309 
7.4.5  秩序化问题  313 
7.4.6  集合论论域累积层次  314 
7.4.7  集合论公理体系 ZFC  315 
7.4.8  基数  315 
7.4.9  基数之和与积  319 
第 8 章  无穷小量  321 
8.1  无穷小量与非标准实数轴  321 
8.2  非标准实数轴的超幂构造  324 
8.2.1  自然数集合上的超滤子  324 
8.2.2  实数轴的一个超幂  325 
8.2.3  自然数算术非标准模型  328 
索引  330