数学基础（工程类）

导论　数学基础简介 1
0.1 数学的模型化方法 1
0.1.1 应用数学的研究对象 1
0.1.2 数学模型化 1
0.2 数学中的微积分哲学 2
0.2.1 微积分文化 3
0.2.2 微积分思想 4
单元1　函数 7
1.1 集合 8
1.1.1 集合的概念 8
1.1.2 常量与变量 9
1.2 函数 10
1.2.1 函数的概念 10
1.3 初等函数 18
1.3.1 基本初等函数 18
1.3.2 复合函数 19
1.3.3 初等函数 20
1.3.4 函数模型及其建立 20
1.4 常用函数 23
1.4.1 隐函数 23
1.4.2 参数方程确定的函数 24
1.4.3 极坐标方程确定的函数 25
综合训练1 27
单元2　极限与连续 31
2.1 极限的概念 32
2.1.1 数列的极限 32
2.1.2 函数的极限 34
2.2 极限的运算 38
2.2.1 极限的四则运算 38
2.2.2 有理分式和根式的型极限 39
2.2.3 时有理分式的型极限 40
2.3 两个重要极限 41
2.3.1 第一个重要极限 41
2.3.2 第二个重要极限 43
2.4 无穷大和无穷小 45
2.4.1 无穷大和无穷小 45
2.4.2 无穷小的比较 48
2.5 函数的连续性 50
2.5.1 连续函数的概念 50
2.5.2 初等函数的连续性 52
2.5.3 函数间断的概念 53
2.5.4 连续的性质 55
综合训练2 57
单元3　导数与微分 61
3.1 导数的概念 62
3.1.1 导数的定义 62
3.1.2 导数的意义 65
3.1.3 函数可导性与连续性的关系 68
3.2 导数公式与求导法则 70
3.2.1 导数基本公式 70
3.2.2 线性法则 72
3.2.3 乘法法则 73
3.2.4 除法法则 74
3.2.5 复合函数的求导法则 75
3.2.6 初等函数的导数 77
3.3 高阶导数 80
3.3.1 高阶导数的概念 80
3.3.2 高阶导数的意义 82
3.4 隐函数与由参数方程所确定的函数的导数 82
3.4.1 隐函数的求导方法 82
3.4.2 参数方程确定的函数的求导方法 84
*3.4.3 对数求导法 86
3.5 函数的微分 87
3.5.1 微分的定义及意义 87
3.5.2 微分的计算及应用 89
综合训练3 91
单元4　导数的应用 95
4.1 变化率 96
4.1.1 物理应用 96
4.1.2 社会生活应用 97
4.1.3 相关变化率 98
4.2 函数的单调性与极值 98
4.2.1 单调性的判断 98
4.2.2 极值的定义与必要条件 100
4.2.3 极值的判别 102
4.3 最值问题 105
4.3.1 函数最值的计算 105
4.3.2 最值问题的应用 107
4.4 曲线的凸凹性与拐点 110
4.4.1 凹凸性及拐点的定义 110
4.4.2 凹凸性的判别 111
4.4.3 凹凸性的应用 112
4.5 洛必达法则 113
4.5.1 型未定式 113
4.5.2 型未定式 115
4.5.3 其他类型的未定式 116
综合训练4 117
单元5　不定积分及其应用 121
5.1 不定积分的概念——微分法则的逆运算 122
5.1.1 原函数与不定积分的定义 122
5.1.2 不定积分的基本运算 125
5.2 不定积分常用计算法 127
5.2.1 换元积分法 127
5.2.2 分部积分法 130
5.2.3 有理函数积分法 132
综合训练5 135
单元6　定积分与反常积分 139
6.1 定积分的概念与性质 140
6.1.1 定积分概念的引例 140
6.1.2 定积分的定义 141
6.1.3 定积分的几何意义 143
6.1.4 定积分的性质 144
6.2 定积分的计算 146
6.2.1 牛顿?莱布尼兹公式 146
6.2.2 定积分的换元法 147
6.2.3 定积分的分部积分法 148
6.3 反常积分 149
6.3.1 无穷限的反常积分 149
6.3.2 无界函数的反常积分 149
6.4 定积分与反常积分的进一步认识 150
6.4.1 积分上限函数及其导数 150
6.4.2 反常积分的审敛法举例 152
综合训练6 153
单元7　定积分与反常积分的应用 157
7.1 几何应用 158
7.1.1 微元法 158
7.1.2 平面图形的面积 158
7.1.3 旋转体的体积 160
7.2 工程应用 162
7.2.1 功的计算 162
7.2.2 液体的压力 163
7.3 在其他方面的应用举例 164
7.3.1 在经济上的应用 164
7.3.2 在生物医药领域的应用 165
7.4 定积分与反常积分应用的进一步认识 167
7.4.1 极坐标系下计算平面图形的面积 167
7.4.2 平面曲线的弧长 168
综合训练7 169
单元8　微分方程 171
8.1 微分方程模型 172
8.1.1 数学建模初步 172
8.1.2 微分方程的概念 173
8.1.3 常见的几种微分方程 175
8.2 微分方程的解 176
8.2.1 一阶微分方程求解 176
8.2.2 二阶常系数齐次线性微分方程求解 179
8.3 微分方程的应用 182
8.3.1 微分方程的实际应用 182
8.3.2 微分方程模型举例 183
综合训练8 185
单元9　多元微积分基础 189
9.1 多元函数及偏导数的计算 190
9.1.1 多元函数的定义 190
9.1.2 偏导数的计算 190
9.1.3 条件极值 194
9.2 多元函数微分法则 196
9.2.1 全增量与全微分 196
9.2.2 复合函数微分法则 197
9.2.3 隐函数的求导法则 199
9.3 二重积分的计算与应用 201
9.3.1 平面区域的数学描述 201
9.3.2 二重积分的定义 202
9.3.3 二重积分的计算 204
9.3.4 二重积分的应用 205
综合训练9 206
单元10　Fourier级数 209
10.1 级数 210
10.1.1 级数的定义 210
10.1.2 级数的敛散性 210
10.2 Fourier级数 212
10.2.1 三角函数系的正交性 212
10.2.2 傅里叶系数和傅里叶级数 213
10.2.3 函数在上的傅里叶展开 214
综合训练10 215
单元11　积分变换 217
11.1 复数及其表示 218
11.1.1 复数及其四则运算 218
11.1.2 复数的三角和指数表示 219
11.2 Laplace变换 220
11.2.1 Laplace 变换的定义 220
11.2.2 典型时间函数的Laplace变换 221
11.2.3 Laplace变换的性质 221
11.3 Laplace逆变换及其应用 223
11.3.1 Laplace逆变换及其线性性质 223
11.3.2 Laplace变换在解微分方程中的应用 224
综合训练11 225
单元12　线性代数基础 227
12.1 行列式 228
12.1.1 二阶、三行列式 228
12.1.2 n阶行列式 231
12.1.3 行列式的性质 233
12.1.4 行列式计算 236
12.2 矩阵及其运算 237
12.2.1 矩阵的概念 237
12.2.2 矩阵的运算 240
12.2.3 逆矩阵 244
12.2.4 矩阵的秩 247
12.3 初等变换和线性方程组 248
12.3.1 矩阵的初等变换 248
12.3.2 线性方程组的解 250
综合训练12 254
单元13　概率论基础 257
13.1 随机事件及其概率 258
13.1.1 随机事件与事件的概率 258
13.1.2 条件概率、全概率公式 268
13.1.3 事件的独立性与伯努利概型 272
13.2 随机变量及其数字特征 276
13.2.1 随机变量及其分布 276
13.2.2 数学期望 287
13.2.3 方差 290
综合训练13 293