正规族理论及其新研究

目录
前言
第1章 基础知识 1
1.1 全纯函数列的一致收敛. 1
1.1.1 欧氏距离及复数列的收敛性 1
1.1.2 函数列的一致收敛和内闭一致收敛 1
1.1.3 内闭一致收敛连续函数列的性质 3
1.1.4 内闭一致收敛全纯函数列的性质 4
1.1.5 函数列的一致紧发散 5
1.2 亚纯函数列的一致收敛. 5
1.2.1 球面距离 6
1.2.2 球面距离意义下数列的收敛性 7
1.2.3 球面距离意义下函数列一致收敛的定义及 Cauchy 准则 7
1.2.4 按球面距离一致收敛连续函数列的性质. 8
1.2.5 按球面距离一致收敛亚纯函数列的性质 11
1.2.6 一个注记 16
1.3 亚纯函数正规族的基本概念 17
1.3.1 定义及基本性质 17
1.3.2 等度连续函数族 18
1.3.3 内闭一致有界函数族与 Montel 定则 19
1.3.4 球面导数与 Marty 定则 20
第2章 亚纯函数值分布理论简介 23
2.1 Poisson-Jensen 公式 23
2.2 Nevanlinna 特征函数 26
2.3 Ahlfors-Shimizu 特征函数 28
2.4 Nevanlinna 基本定理 31
2.5 对数导数引理. 35
2.6 Milloux 不等式与 Hayman 不等式 48
第3章 Bloch 原理 54
3.1 Zalcman 引理与 Zalcman 定则 54
3.1.1 Zalcman 引理 54
3.1.2 Zalcman 定则 56
3.1.3 顾永兴定则的简化证明 57
3.2 Zalcman 引理的推广. 61
3.3 Bloch 原理的反例 69
第4章 Ahlfors 定理和 Bergweiler-Eremenko 定理 70
4.1 Picard 定理、Nevanlinna 重值定理和 Ahlfors 五岛定理 70
4.1.1 Picard 定理和 Ahlfors 三岛定理 70
4.1.2 Nevanlinna 五重值定理和 Ahlfors 五岛定理 71
4.1.3 Nevanlinna 重值定理和 Ahlfors 岛屿定理 72
4.1.4 类多项式的 Ahlfors 定理 73
4.2 有理函数的若干性质 74
4.3 有界型超越亚纯函数的一个性质 79
4.4 Bergweiler-Eremenko 定理 81
4.5 Hayman 定理的推广 (I). 86
4.6 Hayman 定理的推广 (II). 89
第5章 Hayman 猜想的涉及重值的推广 93
5.1 Hayman 猜想. 93
5.2 Hayman 猜想的推广: 函数具有重值. 93
5.3 Hayman 猜想的推广: 导数具有非零重值 95
5.4 Hayman 猜想的推广: 导数 1 值点离散分布. 98
5.4.1 引理. 99
5.4.2 定理 5.4.1 的证明 102
第6章 正规族与例外函数或重函数 103
6.1 若干辅助引理 103
6.2 Montel 定则的推广: 例外函数 106
6.3 Montel 定则的推广: 重值与重函数 110
6.4 顾永兴定则的推广 (I). 112
6.5 顾永兴定则的推广 (II) 117
6.5.1 关于有理函数的一个引理 119
6.5.2 例外函数具有零点的正规族 129
6.5.3 例外函数具有极点的正规族 140
第7章 正规族与分担值或分担函数 149
7.1 与导函数具有分担值的正规族. 149
7.1.1 Schwick 定理及相关结果 149
7.1.2 与导数分担一个三元数集的正规族 153
7.1.3 与导数分担一个二元数集的正规族 155
7.2 函数与导数、导数与导数具有分担值 161
7.2.1 函数与导数、导数与导数的分担值相同 161
7.2.2 若干引理. 162
7.2.3 定理 7.2.4—定理 7.2.6 的证明. 177
7.2.4 函数与导数、导数与导数的分担值相异 178
7.3 同族函数具有分担值. 181
7.4 异族函数具有分担值. 183
7.5 涉及分担函数的正规族 193
第8章 亚纯函数拟正规族 203
8.1 基本概念与基本性质. 203
8.2 Montel 拟正规定则 205
8.3 涉及导数的拟正规定则 206
8.3.1 若干引理. 207
8.3.2 定理 8.3.2 的证明 217
8.4 涉及对数导数的正规与拟正规定则 220
8.4.1 定理 8.4.3 的证明 223
8.4.2 定理 8.4.4 的证明 228
第9章 正规族与迭代函数不动点 236
9.1 与迭代函数不动点相关的全纯函数正规族 236
9.1.1 杨乐问题的解答 236
9.1.2 没有周期点的全纯函数族的正规性与拟正规性 239
9.1.3 没有排斥周期点的全纯函数族的正规性与拟正规性 242
9.2 与迭代函数不动点相关的亚纯函数正规族 246
9.3 与迭代函数排斥不动点相关的亚纯函数正规族. 249
9.3.1 定理 9.3.1 的证明 249
9.3.2 问题 9.3.1 的进一步研究 255
第10章 共形度量与广义正规族 257
10.1 基础知识 257
10.1.1 距离空间基础知识 257
10.1.2 共形半度量与度量 258
10.2 连续函数空间 C[Δ， Ω] 260
10.2.1 C[Δ， Ω] 上的度量. 260
10.2.2 相对紧性和 Arzelà-Ascoli 定理 262
10.2.3 相对紧的 M.bius 映照族 263
10.3 一致 Lipschitz 函数族 266
10.3.1 一致 Lipschitz 条件 266
10.3.2 Lipschitz 函数族的相对紧性 269
10.4 正规族定义的推广 270
10.4.1 相对于大配域的 Lipschitz 条件. 271
10.4.2 正规族定义的推广 274
10.4.3 Escher 条件 275
10.4.4 Lipschitz 映照正规族 276
10.4.5 注记 278
第11章 正规族理论的应用 279
11.1 在复解析动力系统中的应用 279
11.2 在复微分方程中的应用 281
11.3 在亚纯函数模分布中的应用 283
11.4 在整函数与亚纯函数唯一性中的应用. 284
11.4.1 在整函数唯一性中的应用 284
11.4.2 在亚纯函数唯一性中的应用 290
第12章 球面密度与 Marty 型常数. 296
12.1 Montel 定则对应的 Marty 型常数 296
12.1.1 球面密度. 296
12.1.2 球面反射原理 299
12.1.3 球面密度的整体*小值 300
12.1.4 Marty 常数 M0 的值 303
12.2 顾永兴定则对应的 Marty 型常数 305
参考文献 306
人名索引 315
名词索引 316