高等数学（微课版）

第

1章预备知识

1从有限走向无限

——“世界最大旅馆”

1

1.1　函数 2 1.2　初等数学常用公式

15总结提升

1

17

第

2章极限与连续

19中西数学的较量

——割圆术与穷竭法

19

2.1　极限的概念

21

2.2　无穷小量与无穷大量

29

2.3　极限的运算法则

33

2.4　两个重要极限

39

2.5　函数的连续性

44总结提升

2

51

第

3章　导数与微分

54微积分中的“幽灵”

——无穷小量

54

3.1　导数的概念

56

3.2　导数的基本公式与运算法则

63

3.3　复合函数的导数

72

3.4　高阶导数 76 3.5　微分及其应用

81总结提升

3

89

第

4章　导数的应用

94从应用走向理论

——微积分的发展历程

94

4.1　微分中值定理

96

4.2　洛必达法则

100

高等数学（微课版）

4.3　函数的单调性

105

4.4　函数的极值

110

4.5　函数的最值

114

4.6　导数在经济上的应用

117总结提升

4

126

第

5章　不定积分

129司马光砸缸中的数学思想

——逆向思维

129

5.1　不定积分的概念与性质

131

5.2　基本积分公式

137

5.3　直接积分法

141

5.4　第一换元积分法（凑微分法）

144

5.5　第二换元积分法

149

5.6　分部积分法

151总结提升

5

155

第

6章　定积分

158数学中的对立和统一 ——定积分 158 6.1　定积分的概念与性质

160

6.2　微积分基本定理

168

6.3　定积分的计算

177

6.4　定积分的应用

182总结提升

6

188

第

7章　多元函数微分学

192传染病模型和微分方程

192

7.1空间直角坐标系及曲面方程

195

7.2多元函数的概念与定义域

199

7.3二元函数的极限与连续

202

7.4偏导数 205 7.5高阶偏导数

211

7.6全微分 214 7.7多元函数的极值

217总结提升

7

222

第

8章　多元函数积分学

225几何流形中的“怪物”

225

8.1二重积分的概念与性质

228

8.2二重积分的计算 232 8.3二重积分的应用

238总结提升

8

241

IV

目　录

第

9章常微分方程

244最美数学之分形

244

9.1微分方程概述

247

9.2分离变量法

250

9.3一阶线性微分方程

254

9.4二阶常系数线性微分方程

258

9.5微分方程的应用

263总结提升

9

268

第

10章无穷级数

271棋盘上的麦粒

——无穷级数

271

10.1数项级数的概念和性质

274

10.2正项级数及其敛散性

282

10.3交错级数与任意项级数

288

10.4幂级数

292

*10.5函数的幂级数展开

298总结提升

10

305

参考文献 308

V