微积分（下）

第 7 章 多元函数微分学 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．1
7．1 多元函数的基本概念及其极限 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．1
7．1．1 n 维欧式空间 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．1
7．1．2 多元函数 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．2
7．1．3 多元函数的重极限与连续 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．3
7．1．4 多元函数的累次极限 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．7
习题 7．1 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．8
7．2 偏导数与高阶偏导数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．9
7．2．1 偏导数的定义 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．9
7．2．2 高阶偏导数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．11
习题 7．2 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．14
7．3 全微分 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．14
习题 7．3 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．18
7．4 复合函数求导法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．19
习题 7．4 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．25
7．5 隐函数求导法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．26
习题 7．5 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．30
7．6 偏导数的几何应用 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．31
7．6．1 空间曲线的切线与法平面 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．31
7．6．2 曲面的切平面与法线 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．33
7．6．3 二元函数全微分的几何意义 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．35
习题 7．6 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．35
7．7 多元函数的极值 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．36
7．7．1 多元函数的无条件极值 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．36
7．7．2 条件极值与拉格朗日乘数法 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．42
习题 7．7 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．46
7．8 方向导数与梯度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．46
7．8．1 场的基本概念 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．46
7．8．2 方向导数 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．46
7．8．3 梯度 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．49
习题 7．8 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．51
综合题 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．52
第 8 章 多元数量值函数积分学 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．53
8．1 黎曼积分 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．53
8．1．1 二重积分的概念 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．53
8．1．2 黎曼积分的概念 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．54
8．1．3 黎曼积分的分类 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．54
8．1．4 黎曼积分的性质 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．55
习题 8．1 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．57
8．2 二重积分的计算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．58
8．2．1 直角坐标系下二重积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．58
8．2．2 极坐标系下二重积分的计算 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．62
8．2．3 二重积分的对换对称性 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．66
8．2．4 二重积分的变量代换 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．67
习题 8．2 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．70
8．3 三重积分的计算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．72
8．3．1 直角坐标系下三重积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．72
8．3．2 柱坐标系下三重积分的计算 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．75
8．3．3 球坐标系下三重积分的计算 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．77
8．3．4 三重积分一般的变量代换 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．79
习题 8．3 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．81
8．4 第一型曲线积分 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．83
习题 8．4 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．86
8．5 第一型曲面积分的计算 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．87
习题 8．5 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．93
8．6 黎曼积分的应用实例 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．93
8．6．1 物体质心 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．94
8．6．2 转动惯量 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．96
习题 8．6 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．98
8．7 含参变量的积分 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．99
习题 8．7 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．101
综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．101
第 9 章 多元向量值函数积分学 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．104
9．1 向量场 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．104
9．1．1 向量场与向量线 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．104
9．1．2 向径的导数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．105
9．2 第二型曲线积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．106
9．2．1 第二型曲线积分的定义 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．106
9．2．2 第二型曲线积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．108
9．2．3 两种类型曲线积分的关系 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．111
习题 9．2 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．112
9．3 格林公式及平面流速场的环量与旋度 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????．113
9．3．1 格林公式 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．113
9．3．2 平面流速场的环量与旋度 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．117
习题 9．3 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．117
9．4 平面曲线积分与路径无关的条件及保守场 ??????????????????????????????????????????????????????????????．118
9．4．1 平面曲线积分与路径无关的条件 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????．118
9．4．2 保守场、原函数、全微分方程 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．123
习题 9．4 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．126
9．5 第二型曲面积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．127
9．5．1 第二型曲面积分的定义 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．127
9．5．2 第二型曲面积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．130
习题 9．5 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．135
9．6 高斯公式、通量与散度 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．136
9．6．1 高斯公式 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．136
9．6．2 向量场的通量与散度 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．139
9．6．3 第二型曲面积分的三个等价条件 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????．140
习题 9．6 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．142
9．7 斯托克斯公式、环量与旋度 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．144
9．7．1 斯托克斯公式 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．144
9．7．2 向量场的环量与旋度 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．146
习题 9．7 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．150
9．8 外微分形式 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．151
9．8．1 外积和外微分形式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．151
9．8．2 外微分运算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．151
9．8．3 梯度、旋度与散度的数学意义 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．152
9．8．4 多变量微积分的基本定理（一般的斯托克斯公式） ????????????????????????????????????????????????．154
综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．154
第 10 章 无穷级数 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．156
10．1 数项级数的敛散性 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．156
10．1．1 敛散性的概念 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．156
10．1．2 数项级数的几个基本性质 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．158
10．1．3 柯西收敛原理 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．160
习题 10．1 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．161
10．2 正项级数的敛散性及其判别法 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．162
习题 10．2 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．172
10．3 任意项级数的敛散性及其判别法 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????．174
习题 10．3 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．181
10．4 函数项级数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．182
10．4．1 函数项级数的收敛域与和函数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．182
10．4．2 函数项级数的一致收敛性 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．183
习题 10．4 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．189
10．5 幂级数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．189
10．5．1 幂级数的收敛半径和收敛域 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．190
10．5．2 幂级数的运算 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．194
习题 10．5 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．196
10．6 函数的幂级数展开 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．197
10．6．1 泰勒级数及直接展开法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．197
10．6．2 间接展开法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．201
10．6．3 幂级数和函数 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．204
习题 10．6 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．206
10．7 幂级数的应用举例 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．208
10．7．1 函数值的近似计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．208
10．7．2 在积分计算中的应用 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．209
10．7．3 方程的幂级数解法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．210
习题 10．7 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．212
10．8 傅里叶级数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．213
10．8．1 三角函数系的正交性 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．213
10．8．2 傅里叶级数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．214
10．8．3 正弦级数和余弦级数 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．216
10．8．4 以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????．217
10．8．5 有限区间上的函数的傅里叶展开 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????．219
习题 10．8 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．220
综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．222