数学分析（上册）

目录
前言
第1章　集合与函数　1
1.1　集合　1
1.1.1　集合的概念　1
1.1.2　包含关系　2
1.1.3　集合的运算　2
1.1.4　有限集与无限集　3
1.1.5　集合的笛卡儿乘积　5
1.2　实数　5
1.2.1　实数的无限小数表示与顺序　6
1.2.2　实数系的连续性　9
1.3　函数　14
1.3.1　函数的概念　14
1.3.2　初等函数　15
1.3.3　函数的分段表示、隐式表示以及参数表示　17
1.3.4　函数的简单特性　20
1.3.5　由已知函数构造新函数的方法　21
1.3.6　几个常用不等式　24
第2章　数列极限　28
2.1　数列极限的概念与性质　28
2.1.1　数列极限的定义　28
2.1.2　数列极限的性质　36
2.2　无穷大量　44
2.2.1　无穷大量的概念　44
2.2.2　无穷大量的性质和运算　45
2.2.3　Stolz定理　47
2.3　单调收敛原理及应用　53
2.3.1　单调收敛原理　53
2.3.2　无理数e和欧拉常数c　55
2.4　实数系基本定理　60
2.4.1　闭区间套定理　60
2.4.2　有限覆盖定理　61
2.4.3　致密性定理　63
2.4.4　柯西收敛原理　65
2.4.5　实数系基本定理的等价性　69
2.5　数列的上极限与下极限　71
2.5.1　上极限与下极限的概念与性质　71
2.5.2　上极限与下极限的运算　75
2.5.3　上极限和下极限的等价定义　79
第3章　函数极限与连续函数　83
3.1　函数极限　83
3.1.1　函数极限的定义　83
3.1.2　函数极限的性质　86
3.1.3　函数极限概念的推广　90
3.1.4　函数极限与数列极限的关系　97
3.1.5　函数极限的柯西收敛原理　100
3.2　函数的连续性与间断点　104
3.2.1　函数的连续与间断　104
3.2.2　间断点的类型　106
3.2.3　函数连续的性质和运算　109
3.2.4　初等函数的连续性　112
3.3　闭区间上连续函数的性质　114
3.3.1　有界性定理　114
3.3.2　零点存在定理　115
3.3.3　*值定理　116
3.3.4　介值定理　117
3.3.5　一致连续　118
3.4　无穷小量与无穷大量的比较　123
3.4.1　无穷小量的比较　123
3.4.2　无穷大量的比较　125
第4章　导数与微分　129
4.1　导数　129
4.1.1　引例　129
4.1.2　导数概念　130
4.1.3　导数的几何意义　134
4.1.4　可导与连续的关系　134
4.2　求导数的方法　136
4.2.1　导数的四则运算法则　137
4.2.2　反函数的求导法　139
4.2.3　复合函数的求导法　140
4.2.4　隐函数的求导法　144
4.2.5　由参数方程所表示函数的求导法　146
4.3　微分　149
4.3.1　微分的概念　149
4.3.2　微分的几何意义　151
4.3.3　微分的运算法则和基本微分公式　152
4.3.4　一阶微分的形式不变性　153
4.3.5　微分在近似计算中的应用　155
4.4　高阶导数与高阶微分　157
4.4.1　高阶导数　157
4.4.2　高阶微分　165
第5章　微分中值定理及应用　169
5.1　微分中值定理　169
5.1.1　费马定理　169
5.1.2　罗尔定理　170
5.1.3　拉格朗日中值定理　172
5.1.4　柯西中值定理　176
5.2　洛必达法则　180
5.2.1　*及*待定型　180
5.2.2　其他待定型　185
5.3　泰勒公式及应用　190
5.3.1　带佩亚诺余项的泰勒公式　191
5.3.2　带拉格朗日余项的泰勒公式　197
5.3.3　泰勒公式的应用　199
5.4　导数的应用　206
5.4.1　函数的单调性　206
5.4.2　函数的极值　208
5.4.3　函数的*值　210
5.4.4　函数的凸性与拐点　212
5.4.5　渐近线　217
5.4.6　函数作图　219
第6章　不定积分　225
6.1　原函数与不定积分　225
6.1.1　原函数与不定积分的概念　225
6.1.2　基本积分表　227
6.1.3　不定积分的基本性质　228
6.2　换元积分法　231
6.2.1　第一类换元法　231
6.2.2　第二类换元法　236
6.3　分部积分法　240
6.4　有理函数的不定积分及应用　248
6.4.1　有理函数的不定积分　248
6.4.2　可化为有理函数的不定积分　255
第7章　定积分　262
7.1　定积分的概念　262
7.1.1　引例　262
7.1.2　定积分的定义　265
7.1.3　定积分的几何意义　267
7.2　可积性问题　269
7.2.1　可积的必要条件　269
7.2.2　达布和　270
7.2.3　可积准则　274
7.2.4　可积函数类　277
7.2.5　再论可积性准则　281
7.3　定积分的性质　283
7.4　微积分基本定理　294
7.4.1　变速直线运动位置函数与速度之间的联系　294
7.4.2　变限定积分　295
7.4.3　微积分基本定理　298
7.5　定积分的换元法和分部积分法　305
7.5.1　定积分的换元法　305
7.5.2　定积分的分部积分法　313
7.6　定积分在几何学中的应用　319
7.6.1　微元法　319
7.6.2　平面图形的面积　320
7.6.3　平行截面面积已知的立体的体积　326
7.6.4　平面曲线的弧长　329
7.6.5　旋转曲面的面积　332
7.7　定积分在物理学中的应用　335
7.7.1　平面曲线弧与平面图形的质心　336
7.7.2　转动惯量　340
7.7.3　变力沿直线所做的功　343
7.8　定积分的近似计算　344
7.8.1　梯形公式　344
7.8.2　抛物线公式　347
第8章　反常积分　351
8.1　无穷积分的概念和性质　351
8.1.1　无穷积分的概念　351
8.1.2　无穷积分的性质　353
8.1.3　无穷积分的计算　356
8.2　无穷积分的敛散性判别法　362
8.2.1　非负函数无穷积分的敛散性判别法　362
8.2.2　任意函数无穷积分的敛散性判别法　367
8.3　瑕积分　377
8.3.1　瑕积分的概念　377
8.3.2　瑕积分的敛散性判别法　380
8.3.3　瑕积分的计算　385
部分习题答案与提示　389