鞅与随机微分方程（第二版）

目录
前言
第一版前言
全文符号
第一篇　概率论基础
第1章　可测空间与乘积可测空间　3　
1.1　σ代数理论　3　
1.1.1　σ代数　3　
1.1.2　单调类定理　7　
1.2　可测空间和乘积可测空间　10　
1.2.1　可测空间　10　
1.2.2　有限维乘积可测空间　11　
1.2.3　无穷维乘积可测空间　13　
1.3　可测映射与随机变量　15　
1.3.1　映射、可测映射　15　
1.3.2　可测函数——随机变量　16
1.3.3　可测函数的运算　17　
1.3.4　函数形式的单调类定理　20　
1.3.5　多维随机变量　21　
第2章　测度与积分　23　
2.1　测度与测度空间　23　
2.1.1　测度空间　23　
2.1.2　代数上的测度　24　
2.1.3　完备测度　25　
2.1.4　分布函数及其生成的测度　26　
2.2　随机变量的数字特征　29　
2.2.1　积分——期望　29　
2.2.2　随机变量的矩　32
2.2.3　随机向量的数学特征　34　
2.3　随机变量及其收敛性　35　
2.3.1　随机变量的等价类　35　
2.3.2　几乎必然（a.s.）收敛　37　
2.3.3　依概率收敛　38　
2.3.4　依分布收敛　39　
2.3.5　平均收敛　40　
2.4　独立性与零一律　41　
2.4.1　独立性　41　
2.4.2　零一律　43　
2.5　乘积可测空间上的测度　45　
2.5.1　有限维乘积空间上的测度　46　
2.5.2　无限维乘积空间上的测度　51　
第3章　条件期望　55　
3.1　广义测度　55　
3.1.1　Hahn-Jordan分解　55　
3.1.2　Lebesgue分解　58　
3.1.3　Radon-Nikodym定理　61　
3.2　条件期望　65　
3.2.1　条件期望的定义　65　
3.2.2　条件期望的性质　68　
3.2.3　条件概率分布　71　
3.2.4　条件独立性　78　
第二篇　鞅
第4章　随机过程　83　
4.1　随机过程的概念　83　
4.2　可料过程　91　
4.3　停时　96　
4.3.1　连续时间随机过程的停时　96　
4.3.2　离散时间随机过程的停时　102　
4.3.3　停时随机变量　104　
4.3.4　停时过程和截断过程　106　
4.4　Lp收敛和一致可积　108
4.4.1　Lp收敛　108
4.4.2　随机变量族的一致可积　110
第5章　鞅　120
5.1　鞅、下鞅和上鞅　120　
5.1.1　鞅、下鞅和上鞅的定义　120　
5.1.2　鞅的凸理论　125　
5.1.3　离散时间的增过程和Doob分解　125　
5.1.4　鞅变换　128　
5.2　下鞅基本不等式　131　
5.2.1　可选停时和可选采样　132　
5.2.2　极大和极小不等式　139　
5.2.3　上穿和下穿不等式　147　
5.3　下鞅的收敛性　156　
5.3.1　离散时间下鞅的收敛性　156　
5.3.2　连续时间下鞅的收敛性　161　
5.3.3　用一个*终元素封闭下鞅　164　
5.3.4　离散时间平方可积（L2）鞅　167　
5.4　一致可积下鞅　172　
5.4.1　一致可积下鞅的收敛性　172　
5.4.2　逆时间下鞅　172　
5.4.3　无界停时的可选采样　180　
5.4.4　停时随机变量族的一致可积性　187　
5.5　下鞅样本函数的正则性　190　
5.5.1　右连续下鞅的样本函数　190　
5.5.2　下鞅的右连续修正　194　
5.6　连续时间的增过程　202　
5.6.1　关于增过程的积分　202　
5.6.2　右连续类（DL）下鞅的Doob-Meyer分解　207　
5.6.3　正则下鞅　225　
第三篇　随机积分　
第6章　随机积分　235　
6.1　平方可积鞅和它的二次变差过程　235　
6.1.1　右连续平方可积（L2）鞅空间　235
6.1.2　局部有界变差过程　244　
6.1.3　右连续平方可积（L2）鞅的二次变差过程　247　
6.2　关于鞅的随机积分　252　
6.2.1　有界左连续适应简单过程关于L2鞅的随机积分　252　
6.2.2　可料过程关于L2鞅的随机积分　261　
6.2.3　截断被积函数和用停时停止积分　272　
6.3　适应Brownian运动　278　
6.3.1　独立增量过程　278　
6.3.2　Rd值Brownian运动　280　
6.3.3　一维Brownian运动　287　
6.3.4　关于Brownian运动的随机积分　292　
6.4　随机积分的推广　300　
6.4.1　局部平方可积（L2）鞅和它们的二次变差　300　
6.4.2　随机积分对局部鞅的推广　306　
6.5　关于拟鞅的It公式　311　
6.5.1　连续局部半鞅和关于拟鞅的It公式　311　
6.5.2　关于拟鞅的随机积分　326　
6.5.3　指数拟鞅　328　
6.5.4　关于拟鞅的多维It公式　330　
6.6　It随机微积分　335　
6.6.1　随机微分的空间　335　
6.6.2　It过程　340　
6.6.3　矩不等式　345　
6.6.4　Gronwall型不等式　352　
第四篇　随机微分方程理论　
第7章　It型随机微分方程的一般理论　357　
7.1　随机微分方程概述　357　
7.1.1　问题介绍　357　
7.3　解的估计　370　
7.3.1　解的Lp-估计　370　
7.3.2　解的几乎处处渐近估计　375　
7.4　It型随机微分方程的近似解　384　
7.4.1　Caratheodory近似解　385　
7.4.2　Euler-Maruyama近似解　389　
7.4.3　强解和弱解　391　
7.5　SDE和PDE：Feynman-Kac公式　393　
7.5.1　Dirichlet问题　395　
7.5.2　初始边界值问题　398　
7.5.3　Cauchy问题　399　
7.6　随机微分方程解的Markov性　401　
第8章　线性随机微分方程　409　
8.1　线性随机微分方程简介　409　
8.2　随机Liouville公式　410　
8.3　常数变易公式　414　
8.4　几种特殊情形的研究　417　
8.4.1　标量线性方程　417　
8.4.2　狭义线性方程　417　
8.4.3　自治线性方程　418　
8.5　某些特殊的线性随机微分方程　419　
第9章　随机微分方程的稳定性　426　
9.1　稳定性的一般概念　426　
9.2　解的依概率稳定性　430　
9.3　解的几乎必然指数稳定性　440　
9.4　解的矩指数稳定性　448　
9.5　随机稳定化与不稳定化　457　
9.6　解稳定性的进一步论题　463　
参考文献　469　
名词索引　470