机器学习公式详解（第2版）

序（王斌  小米AI 实验室主任、NLP 首席科学家）

前言

主要符号表

资源与支持

 

第1章 绪论   1

1.1 引言    1

1.2 基本术语  1

1.3 假设空间  5

1.4 归纳偏好  5

1.4.1 式(1.1) 和式(1.2) 的解释 6

第2章 模型评估与选择  8

2.1 经验误差与过拟合  8

2.2 评估方法  9

2.2.1 算法参数（超参数）与模型参数  10

2.2.2 验证集  10

2.3 性能度量  11

2.3.1 式(2.2) ～ 式(2.7) 的解释  11

2.3.2 式(2.8) 和式(2.9) 的解释  11

2.3.3 图2.3 的解释  11

2.3.4 式(2.10) 的推导  11

2.3.5 式(2.11) 的解释  12

2.3.6 式(2.12) ～ 式(2.17) 的解释  13

2.3.7 式(2.18) 和式(2.19) 的解释  13

2.3.8 式(2.20) 的推导  14

2.3.9 式(2.21) 和式(2.22) 的推导  16

2.3.10 式(2.23) 的解释  18

2.3.11 式(2.24) 的解释  19

2.3.12 式(2.25) 的解释  20

2.4 比较检验  22

2.4.1 式(2.26) 的解释  22

2.4.2 式(2.27) 的推导  23

2.5 偏差与方差  26

2.5.1 式(2.37) ～ 式(2.42) 的推导  26

参考文献  29

第3章 线性模型  30

3.1 基本形式  30

3.2 线性回归  30

3.2.1 属性数值化  30

3.2.2 式(3.4) 的解释  31

3.2.3 式(3.5) 的推导  32

3.2.4 式(3.6) 的推导  32

3.2.5 式(3.7) 的推导  33

3.2.6 式(3.9) 的推导  35

3.2.7 式(3.10) 的推导  36

3.2.8 式(3.11) 的推导  36

3.3 对率回归  39

3.3.1 式(3.27) 的推导  39

3.3.2 梯度下降法  41

3.3.3 牛顿法  42

3.3.4 式(3.29) 的解释  44

3.3.5 式(3.30) 的推导  44

3.3.6 式(3.31) 的推导  45

3.4 线性判别分析 46

3.4.1 式(3.32) 的推导  46

3.4.2 式(3.37) ～ 式(3.39) 的推导  47

3.4.3 式(3.43) 的推导  48

3.4.4 式(3.44) 的推导  48

3.4.5 式(3.45) 的推导  49

3.5 多分类学习  52

3.5.1 图3.5 的解释  52

3.6 类别不平衡问题  52

参考文献  52

第4章 决策树  53

4.1 基本流程  53

4.2 划分选择  54

4.2.1 式(4.1) 的解释  54

4.2.2 式(4.2) 的解释  58

4.2.3 式(4.4) 的解释  58

4.2.4 式(4.5) 的推导  59

4.2.5 式(4.6) 的解释  59

4.3 剪枝处理  62

4.4 连续值与缺失值  63

4.4.1 式(4.7) 的解释  63

4.4.2 式(4.8) 的解释  64

4.4.3 式(4.12) 的解释  64

4.5 多变量决策树 64

4.5.1 图4.10 的解释  65

4.5.2 图4.11 的解释  65

参考文献  66

第5章 神经网络  67

5.1 神经元模型  67

5.2 感知机与多层网络  67

5.2.1 式(5.1) 和式(5.2) 的推导  67

5.2.2 图5.5 的解释  70

5.3 误差逆传播算法  70

5.3.1 式(5.10) 的推导  70

5.3.2 式(5.12) 的推导  70

5.3.3 式(5.13) 的推导  71

5.3.4 式(5.14) 的推导  72

5.3.5 式(5.15) 的推导  73

5.4 全局小与局部极小  73

5.5 其他常见神经网络  73

5.5.1 式(5.18) 的解释  73

5.5.2 式(5.20) 的解释  73

5.5.3 式(5.22) 的解释  74

5.5.4 式(5.23) 的解释  74

5.6 深度学习  74

5.6.1 什么是深度学习  75

5.6.2 深度学习的起源  75

5.6.3 怎么理解特征学习 75

参考文献  75

 

第6章 支持向量机  77

6.1 间隔与支持向量  77

6.1.1 图6.1 的解释  77

6.1.2 式(6.1) 的解释  77

6.1.3 式(6.2) 的推导  78

6.1.4 式(6.3) 的推导  78

6.1.5 式(6.4) 的推导  80

6.1.6 式(6.5) 的解释  80

6.2 对偶问题  80

6.2.1 凸优化问题  80

6.2.2 KKT 条件  80

6.2.3 拉格朗日对偶函数 81

6.2.4 拉格朗日对偶问题 82

6.2.5 式(6.9) 和式(6.10) 的推导  85

6.2.6 式(6.11) 的推导  85

6.2.7 式(6.13) 的解释  86

6.3 核函数  87

6.3.1 式(6.22) 的解释  87

6.4 软间隔与正则化  87

6.4.1 式(6.35) 的推导  87

6.4.2 式(6.37) 和式(6.38) 的推导  87

6.4.3 式(6.39) 的推导  87

6.4.4 式(6.40) 的推导  88

6.4.5 对率回归与支持向量机的关系  88

6.4.6 式(6.41) 的解释  89

6.5 支持向量回归 89

6.5.1 式(6.43) 的解释  89

6.5.2 式(6.45) 的推导  90

6.5.3 式(6.52) 的推导  91

6.6 核方法  92

6.6.1 式(6.57) 和式(6.58) 的解释  92

6.6.2 式(6.65) 的推导  92

6.6.3 式(6.66) 和式(6.67) 的解释  93

6.6.4 式(6.70) 的推导  94

6.6.5 核对率回归  98

参考文献  99

 

第7章 贝叶斯分类器  100

7.1 贝叶斯决策论  100

7.1.1 式(7.5) 的推导  100

7.1.2 式(7.6) 的推导  100

7.1.3 判别式模型与生成式模型 100

7.2 极大似然估计  101

7.2.1 式(7.12) 和式(7.13) 的推导  101

7.3 朴素贝叶斯分类器  104

7.3.1 式(7.16) 和式(7.17) 的解释  104

7.3.2 式(7.18) 的解释  104

7.3.3 贝叶斯估计  105

7.3.4 Categorical 分布  105

7.3.5 Dirichlet 分布  106

7.3.6 式(7.19) 和式(7.20) 的推导  106

7.4 半朴素贝叶斯分类器 110

7.4.1 式(7.21) 的解释  110

7.4.2 式(7.22) 的解释  111

7.4.3 式(7.23) 的推导  111

7.4.4 式(7.24) 和式(7.25) 的推导  112

7.5 贝叶斯网  112

7.5.1 式(7.27) 的解释  112

7.6 EM 算法  113

7.6.1 Jensen 不等式 113

7.6.2 EM 算法的推导  113

参考文献  121

 

第8章 集成学习  122

8.1 个体与集成  123

8.1.1 式(8.1) 的解释  123

8.1.2 式(8.2) 的解释  123

8.1.3 式(8.3) 的推导  123

8.2 Boosting   124

8.2.1 式(8.4) 的解释  125

8.2.2 式(8.5) 的解释  125

8.2.3 式(8.6) 的推导  126

8.2.4 式(8.7) 的推导  126

8.2.5 式(8.8) 的推导  127

8.2.6 式(8.9) 的推导  127

8.2.7 式(8.10) 的解释  128

8.2.8 式(8.11) 的推导  128

8.2.9 式(8.12) 的解释  129

8.2.10 式(8.13) 的推导  129

8.2.11 式(8.14) 的推导  130

8.2.12 式(8.16) 的推导  131

8.2.13 式(8.17) 的推导  131

8.2.14 式(8.18) 的推导  132

8.2.15 式(8.19) 的推导  132

8.2.16 AdaBoost 的个人推导  133

8.2.17 进一步理解权重更新公式 137

8.2.18 能够接受带权样本的基学习算法  139

8.3 Bagging 与随机森林  140

8.3.1 式(8.20) 的解释  140

8.3.2 式(8.21) 的推导  140

8.3.3 随机森林的解释  141

8.4 结合策略  141

8.4.1 式(8.22) 的解释  141

8.4.2 式(8.23) 的解释  141

8.4.3 硬投票和软投票的解释  141

8.4.4 式(8.24) 的解释  142

8.4.5 式(8.25) 的解释  142

8.4.6 式(8.26) 的解释  142

8.4.7 元学习器的解释  142

8.4.8 Stacking 算法的解释  143

8.5 多样性  143

8.5.1 式(8.27) 的解释  143

8.5.2 式(8.28) 的解释  143

8.5.3 式(8.29) 的解释  143

8.5.4 式(8.30) 的解释  144

8.5.5 式(8.31) 的推导  144

8.5.6 式(8.32) 的解释  144

8.5.7 式(8.33) 的解释  145

8.5.8 式(8.34) 的解释  145

8.5.9 式(8.35) 的解释  145

8.5.10 式(8.36) 的解释  145

8.5.11 式(8.40) 的解释  145

8.5.12 式(8.41) 的解释  146

8.5.13 式(8.42) 的解释  146

8.5.14 多样性增强的解释  146

8.6 Gradient Boosting、GBDT、XGBoost的联系与区别  147

8.6.1 从梯度下降的角度解释AdaBoost   147

8.6.2 梯度提升  149

8.6.3 梯度提升树(GBDT)   151

8.6.4 XGBoost   152

参考文献  152

 

第9章 聚类  153

9.1 聚类任务  153

9.2 性能度量  153

9.2.1 式(9.5) 的解释  153

9.2.2 式(9.6) 的解释  155

9.2.3 式(9.7) 的解释  155

9.2.4 式(9.8) 的解释  156

9.2.5 式(9.12) 的解释  156

9.3 距离计算  156

9.3.1 式(9.21) 的解释  156

9.4 原型聚类  157

9.4.1 式(9.28) 的解释  157

9.4.2 式(9.29) 的解释  157

9.4.3 式(9.30) 的解释  158

9.4.4 式(9.31) 的解释  159

9.4.5 式(9.32) 的解释  159

9.4.6 式(9.33) 的推导  160

9.4.7 式(9.34) 的推导  161

9.4.8 式(9.35) 的推导  162

9.4.9 式(9.36) 的解释  164

9.4.10 式(9.37) 的推导  164

9.4.11 式(9.38) 的推导  165

9.4.12 图9.6 的解释  166

9.5 密度聚类  166

9.5.1 密度直达、密度可达与密度相连  167

9.5.2 图9.9 的解释  168

9.6 层次聚类  168

 

第10章 降维与度量学习  170

10.1 预备知识  170

10.1.1 符号约定  170

10.1.2 矩阵与单位阵、向量的乘法 170

10.2 矩阵的F 范数与迹  171

10.3 k 近邻学习  173

10.3.1 式(10.1) 的解释  173

10.3.2 式(10.2) 的推导  174

10.4 低维嵌入  175

10.4.1 图10.2 的解释  175

10.4.2 式(10.3) 的推导  175

10.4.3 式(10.4) 的推导  176

10.4.4 式(10.5) 的推导  177

10.4.5 式(10.6) 的推导  177

10.4.6 式(10.10) 的推导  178

10.4.7 式(10.11) 的解释  179

10.4.8 图10.3 关于MDS 算法的解释 179

10.5 主成分分析 180

10.5.1 式(10.14) 的推导  180

10.5.2 式(10.16) 的解释  184

10.5.3 式(10.17) 的推导  186

10.5.4 根据式(10.17) 求解式(10.16)   188

10.6 核化线性降维  188

10.6.1 式(10.19) 的解释  189

10.6.2 式(10.20) 的解释  189

10.6.3 式(10.21) 的解释  190

10.6.4 式(10.22) 的解释  190

10.6.5 式(10.24) 的推导  190

10.6.6 式(10.25) 的解释  191

10.7 流形学习  191

10.7.1 等度量映射(Isomap) 的解释  191

10.7.2 式(10.28) 的推导  192

10.7.3 式(10.31) 的推导  194

10.8 度量学习  196

10.8.1 式(10.34) 的解释  196

10.8.2 式(10.35) 的解释  197

10.8.3 式(10.36) 的解释  197

10.8.4 式(10.37) 的解释  198

10.8.5 式(10.38) 的解释  198

10.8.6 式(10.39) 的解释  198

参考文献  199

 

第11章 特征选择与稀疏学习  200

11.1 子集搜索与评价  200

11.1.1 式(11.1) 的解释  200

11.1.2 式(11.2) 的解释  200

11.2 过滤式选择 201

11.3 包裹式选择 201

11.4 嵌入式选择与L1 正则化  202

11.4.1 式(11.5) 的解释  202

11.4.2 式(11.6) 的解释  202

11.4.3 式(11.7) 的解释  203

11.4.4 式(11.8) 的解释  203

11.4.5 式(11.9) 的解释  203

11.4.6 式(11.10) 的推导  203

11.4.7 式(11.11) 的解释  205

11.4.8 式(11.12) 的解释  205

11.4.9 式(11.13) 的解释  205

11.4.10 式(11.14) 的推导  205

11.5 稀疏表示与字典学习  208

11.5.1 式(11.15) 的解释  208

11.5.2 式(11.16) 的解释  208

11.5.3 式(11.17) 的推导  208

11.5.4 式(11.18) 的推导  208

11.6 压缩感知  213

11.6.1 式(11.21) 的解释  213

11.6.2 式(11.25) 的解释  213

参考文献  214

 

第12章 计算学习理论  215

12.1 基础知识  215

12.1.1 式(12.1) 的解释  216

12.1.2 式(12.2) 的解释  216

12.1.3 式(12.3) 的解释  216

12.1.4 式(12.4) 的解释  216

12.1.5 式(12.5) 和式(12.6) 的解释  216

12.1.6 式(12.7) 的解释  217

12.2 PAC 学习  217

12.2.1 式(12.9) 的解释  218

12.3 有限假设空间  218

12.3.1 式(12.10) 的解释  219

12.3.2 式(12.11) 的解释  219

12.3.3 式(12.12) 的推导  219

12.3.4 式(12.13) 的解释  220

12.3.5 式(12.14) 的推导  220

12.3.6 引理12.1 的解释  221

12.3.7 式(12.18) 的推导  221

12.3.8 式(12.19) 的推导  221

12.3.9 式(12.20) 的解释  222

12.4 VC 维 223

12.4.1 式(12.21) 的解释  223

12.4.2 式(12.22) 的解释  223

12.4.3 式(12.23) 的解释  224

12.4.4 引理12.2 的解释  224

12.4.5 式(12.28) 的解释  226

12.4.6 式(12.29) 的解释  227

12.4.7 式(12.30) 的解释  227

12.4.8 定理12.4 的解释  228

12.5 Rademacher 复杂度  229

12.5.1 式(12.36) 的解释  229

12.5.2 式(12.37) 的解释  229

12.5.3 式(12.38) 的解释  230

12.5.4 式(12.39) 的解释  230

12.5.5 式(12.40) 的解释  231

12.5.6 式(12.41) 的解释  231

12.5.7 定理12.5 的解释  231

12.6 定理12.6 的解释  233

12.6.1 式(12.52) 的证明  235

12.6.2 式(12.53) 的推导  235

12.7 稳定性  235

12.7.1 泛化损失/经验损失/留一损失的解释  236

12.7.2 式(12.57) 的解释  236

12.7.3 定理12.8 的解释  236

12.7.4 式(12.60) 的推导  237

12.7.5 经验损失小化  237

12.7.6 定理12.9 的证明的解释  237

参考文献  238

 

第13章 半监督学习  240

13.1 未标记样本 240

13.2 生成式方法 240

13.2.1 式(13.1) 的解释  241

13.2.2 式(13.2) 的推导  241

13.2.3 式(13.3) 的推导  242

13.2.4 式(13.4) 的推导  242

13.2.5 式(13.5) 的解释  242

13.2.6 式(13.6) 的解释  243

13.2.7 式(13.7) 的解释  244

13.2.8 式(13.8) 的解释  246

13.3 半监督SVM   248

13.3.1 图13.3 的解释  248

13.3.2 式(13.9) 的解释  248

13.3.3 图13.4 的解释  248

13.3.4 式(13.10) 的解释  250

13.4 图半监督学习  250

13.4.1 式(13.12) 的推导  251

13.4.2 式(13.13) 的推导  252

13.4.3 式(13.14) 的推导  253

13.4.4 式(13.15) 的推导  253

13.4.5 式(13.16) 的解释  254

13.4.6 式(13.17) 的推导  254

13.4.7 式(13.18) 的解释  254

13.4.8 式(13.20) 的解释  254

13.4.9 式(13.21) 的推导  255

13.5 基于分歧的方法  259

13.5.1 图13.6 的解释  259

13.6 半监督聚类 260

13.6.1 图13.7 的解释  260

13.6.2 图13.9 的解释  260

参考文献  260

 

第14章 概率图模型  261

14.1 隐马尔可夫模型  261

14.1.1 生成式模型和判别式模型 261

14.1.2 式(14.1) 的推导  262

14.1.3 隐马尔可夫模型的三组参数 263

14.2 马尔可夫随机场  263

14.2.1 式(14.2) 和式(14.3) 的解释  263

14.2.2 式(14.4) ～ 式(14.7) 的推导  264

14.2.3 马尔可夫毯  264

14.2.4 势函数  265

14.2.5 式(14.8) 的解释  265

14.2.6 式(14.9) 的解释  265

14.3 条件随机场 265

14.3.1 式(14.10) 的解释  265

14.3.2 式(14.11) 的解释  266

14.4 学习与推断 266

14.4.1 式(14.14) 的推导  266

14.4.2 式(14.15) 和式(14.16) 的推导  266

14.4.3 式(14.17) 的解释  267

14.4.4 式(14.18) 的推导  267

14.4.5 式(14.19) 的解释  267

14.4.6 式(14.20) 的解释  268

14.4.7 式(14.22) 的推导  268

14.4.8 图14.8 的解释  269

14.5 近似推断  269

14.5.1 式(14.21) ～ 式(14.25) 的解释  269

14.5.2 式(14.26) 的解释  270

14.5.3 式(14.27) 的解释  270

14.5.4 式(14.28) 的推导  270

14.5.5 吉布斯采样与MH 算法  271

14.5.6 式(14.29) 的解释  272

14.5.7 式(14.30) 的解释  272

14.5.8 式(14.31) 的解释  273

14.5.9 式(14.32) ～ 式(14.34) 的推导  273

14.5.10 式(14.35) 的解释  274

14.5.11 式(14.36) 的推导  274

14.5.12 式(14.37) 和式(14.38) 的解释  276

14.5.13 式(14.39) 的解释  277

14.5.14 式(14.40) 的解释  277

14.6 话题模型  278

14.6.1 式(14.41) 的解释  278

14.6.2 式(14.42) 的解释  279

14.6.3 式(14.43) 的解释  279

14.6.4 式(14.44) 的解释  279

参考文献  279

 

第15章 规则学习 280

15.1 剪枝优化  280

15.1.1 式(15.2) 和式(15.3) 的解释  280

15.2 归纳逻辑程序设计  281

15.2.1 式(15.6) 的解释  281

15.2.2 式(15.7) 的推导  281

15.2.3 式(15.9) 的推导  281

15.2.4 式(15.10) 的解释  281

15.2.5 式(15.11) 的解释  281

15.2.6 式(15.12) 的解释  282

15.2.7 式(15.13) 的解释  282

15.2.8 式(15.16) 的推导  282

 

第16章 强化学习 283

16.1 任务与奖赏 283

16.2 K-摇臂赌博机  283

16.2.1 式(16.2) 和式(16.3) 的推导  283

16.2.2 式(16.4) 的解释  283

16.3 有模型学习 284

16.3.1 式(16.7) 的解释  284

16.3.2 式(16.8) 的推导  284

16.3.3 式(16.10) 的推导  285

16.3.4 式(16.14) 的解释  285

16.3.5 式(16.15) 的解释  285

16.3.6 式(16.16) 的推导  285

16.4 免模型学习 286

16.4.1 式(16.20) 的解释  286

16.4.2 式(16.23) 的解释  286

16.4.3 式(16.31) 的推导  286

16.5 值函数近似 287

16.5.1 式(16.33) 的解释  287

16.5.2 式(16.34) 的推导  287

 

参考文献  287