数学史简明教程

第1章从“勾股定理”谈起——分析学的起源与发展11.1勾股定理——度量的实质1
1.1.1勾股定理1
1.1.2毕达哥拉斯数组2
1.1.3勾股定理的本质——两点距离公式3
1.2坐标系——解析几何的舞台5
1.2.1数形结合5
1.2.2笛卡儿与解析几何5
1.2.3费马与解析几何6
1.3微积分——变量数学的开端7
1.3.1古希腊的数学遗产7
1.3.2站在巨人的肩膀上——牛顿10
1.3.3莱布尼茨与微积分12
1.4两次数学危机——分析的严密化12
1.4.1次数学危机12
1.4.2第二次数学危机13
1.4.3戴德金分割14
1.4.4康托尔与集合论15
1.5度量的叛离——拓扑学16
1.5.1拓扑学的开端——哥尼斯堡七桥问题16
1.5.2欧拉定理与四色定理17
1.5.320世纪的拓扑学18
参考题19
扩展阅读——有趣的分析学19
第2章从“万物皆有理”谈起——优雅的数论与抽象的代数学23
2.1再谈勾股定理——以子之矛攻子之盾23
2.1.1毕达哥拉斯学派与万物皆数23
2.1.2以子之矛攻子之盾——无理数的诞生24
2.2代数方程——代数学发展的不竭动力24
2.2.1丢番图的墓志铭24
2.2.2《九章算术》中的盈不足问题25
2.2.3孙子算经与中国剩余定理25
2.2.4不定方程27
2.2.5一元三次方程的求解27
2.2.6费拉里与一元四次方程求解29
2.2.7代数基本定理 29
2.3阿贝尔与伽罗瓦——抽象代数的双子星30
2.3.1阿贝尔与群30
2.3.2伽罗瓦与古希腊三大几何作图问题31
2.3.3代数学的女王——诺特32
2.4代数几何——菲尔兹奖的宠儿32
2.4.1代数几何及其重要性32
2.4.2代数几何学的7个时期33
2.4.3代数几何学的上帝——格罗滕迪克33
2.5哥德巴赫猜想——“数学女王”皇冠上的宝石34
2.5.1哥德巴赫猜想34
2.5.2华罗庚——中国数学的圆心34
2.5.3中国的解析数论学派34
2.6怀尔斯——费马后定理的终结者35
2.6.1费马后定理35
2.6.2费马后定理的近代研究35
2.6.3莫德尔猜想与谷山志村韦依猜想36
2.6.4费马后定理的证明37
2.6.5算术代数几何——费马后定理的丰富遗产38
参考题38
扩展阅读——奇妙的数论与代数学39
〖2〗数学史简明教程目录第3章从《几何原本》谈起——数学演绎的几何舞台44
3.1《几何原本》——欧氏几何与公理化体系44
3.1.1历成功的教科书——《几何原本》44
3.1.2《几何原本》中的定义、公理和公设45
3.1.3《几何原本》的论证方法46
3.1.4柏拉图多面体与开普勒太阳系模型46
3.1.5割圆曲线与海伦公式48
3.2天体运行规律——解析几何与微积分的光辉49
3.2.1托勒密与地心说49
3.2.2哥白尼与日心说50
3.2.3开普勒行星运动三大定律的数学推导50
3.3欧几里得的遗产——非欧几何与公理化52
3.3.1欧几里得第五公设52
3.3.2几何学中的哥白尼——罗巴切夫斯基52
3.3.3黎氏几何与黎曼几何53
3.3.4希尔伯特的公理化运动54
3.4埃尔朗根纲领——几何学之大成55
3.5广义相对论——黎曼几何的功绩56
3.5.1黎曼及其数学贡献56
3.5.2黎曼几何与广义相对论57
3.5.3宇宙膨胀58
3.6流形——数学的新宠儿58
3.6.1布尔巴基的“结构数学”58
3.6.2流形59
3.6.3后一位数学全才——庞加莱59
参考题60
扩展阅读——唯美的几何学61
第4章从“牛顿第二定律”谈起——上帝创造世界的方程64
4.1牛顿运动定律——微分方程的起点64
4.1.1牛顿运动定律64
4.1.2常微分方程和偏微分方程65
4.2麦克斯韦方程组——电与磁的唯美统一69
4.2.1电磁现象69
4.2.2麦克斯韦方程组70
4.2.3电磁波方程73
4.2.4电与磁统一的意义——数学的功绩74
4.3三体问题——微分方程定性理论与动力系统74
4.3.1三体问题与微分方程定性理论75
4.3.2动力系统76
4.4混沌——偶然掉落于20世纪的数学77
4.4.1洛伦兹的天气预报与混沌的概念77
4.4.2混沌的应用与价值79
4.5非线性——现代数学之奥义79
4.5.1线性与非线性的概念79
4.5.2非线性与线性的关系80
4.5.3现代数学的奥义82
4.6超弦——爱因斯坦之梦、包罗万象的理论82
4.6.1超弦的界定82
4.6.2超弦与数学的联系 83
4.7数学物理的融合——牛顿的启示83
参考题85
扩展阅读——广泛应用的微分方程86
第5章从“上帝掷骰子吗”谈起——从确定到随机88
5.1古典概率——赌博中的概率数学88
5.2大数定律——频率的稳定性90
5.3柯尔莫哥洛夫——概率的公理化91
5.3.1概率的经典定义 91
5.3.2贝特朗悖论92
5.3.3概率的公理化93
5.4概率——量子力学的精髓94
5.4.1量子力学简介94
5.4.2波函数的概率解释95
5.4.3永远的不确定性原理96
5.5无处不在的统计学——海量数据的挖掘97
5.5.1统计学简介97
5.5.2统计学习理论100
参考题101
扩展阅读——概率统计学家及量子力学年谱101
第6章从“数学之神”阿基米德谈起——数学学派与数学大奖106
6.1古希腊学派——数学之鼻祖106
6.1.1古典时期106
6.1.2亚历山大时期111
6.2剑桥学派——顶天立地的巨人116
6.2.1剑桥学派前期117
6.2.2剑桥学派后期118
6.3哥廷根学派——一脉相承，承前启后119
6.4布尔巴基学派——现代数学的源泉121
6.5菲尔兹奖——青年数学精英之奖122
6.6沃尔夫奖——数学之终生成就奖124
参考题125
扩展阅读——数学大奖与数学难题125
参考文献128