高等数学

第1章 函数(1)
1.1集合(1)
1.1.1集合的基本概念(1)
1.1.2集合之间的关系(2)
1.1.3区间与邻域(3)
1.1.4集合的运算(4)
1.2函数(6)
1.2.1函数的概念(6)
1.2.2反函数(8)
1.2.3函数的性质(9)
1.3基本初等函数(11)
1.3.1指数幂(11)
1.3.2幂函数(13)
1.3.3指数函数(14)
1.3.4对数函数(15)
1.3.5三角函数与反三角函数(17)
1.4初等函数(30)
1.4.1复合函数(30)
1.4.2初等函数(30)
1.4.3分段函数(30)
1.4.4函数模型的建立(31)
1.5 MATLAB简介及函数的MATLAB求解(33)
1.5.1 MATLAB简介(33)
1.5.2基本命令(34)
1.5.3求解示例(36)
拓展阅读(39)
数学的作用(39)
习题1(40)
第2章 极限与连续(44)
2.1数列的极限(44)
2.1.1数列(44)
2.1.2数列极限的定义(46)
2.1.3数列极限的四则运算法则(47)
2.2函数的极限(48)
2.2.1函数极限的定义(48)
2.2.2函数极限的性质(52)
2.3函数极限的运算法则(53)
2.3.1函数极限的四则运算法则(53)
2.3.2复合函数极限的运算法则(55)
2.4两个重要极限(56)
2.4.1重要极限Ⅰ(56)
2.4.2重要极限Ⅱ(57)
2.5无穷小与无穷大(59)
2.5.1无穷小(59)
2.5.2无穷大(60)
2.5.3无穷小的比较(60)
2.5.4等价无穷小代换定理(61)
2.6函数的连续性(62)
2.6.1函数的连续性定义(62)
2.6.2函数的间断点(64)
2.6.3初等函数的连续性(65)
2.6.4闭区间上连续函数的性质(66)
2.7极限的MATLAB求解(67)
2.7.1基本命令(67)
2.7.2求解示例(68)
拓展阅读(71)
数学家刘徽(71)
习题2(72)
第3章 微分学及其应用(76)
3.1导数的概念(76)
3.1.1引例(76)
3.1.2导数的定义(77)
3.1.3导数的几何意义(80)
3.1.4函数可导与连续的关系(80)
3.2导数的计算(81)
3.2.1函数的和、差、积、商的求导法则(81)
3.2.2基本初等函数的导数公式(83)
3.2.3复合函数的求导法则(84)
3.2.4高阶导数(87)
3.2.5隐函数及由参数方程所确定的函数的导数(89)
3.3函数的微分(92)
3.3.1引例(92)
3.3.2微分的概念(93)
3.3.3微分的计算(94)
3.3.4微分的几何意义(96)
3.3.5微分在近似计算中的应用(96)
3.4微分中值定理(98)
3.4.1罗尔定理(98)
3.4.2拉格朗日中值定理(100)
3.4.3柯西中值定理(102)
3.5导数的应用(103)
3.5.1洛必达法则(103)
3.5.2函数的单调性(105)
3.5.3函数的极值(106)
3.5.4函数的最值(109)
3.5.5曲线的凹凸性(112)
3.5.6函数图像的描绘(114)
3.5.7曲率(116)
3.6微分学及其应用的MATLAB求解(119)
3.6.1基本命令(119)
3.6.2求解示例(119)
拓展阅读(123)
数学家牛顿(123)
习题3(124)
第4章 积分学及其应用(129)
4.1不定积分的概念(129)
4.1.1原函数的概念(129)
4.1.2不定积分的概念(130)
4.1.3不定积分的性质(131)
4.1.4基本积分表(132)
4.2不定积分的计算(134)
4.2.1不定积分的第一类换元法(134)
4.2.2不定积分的第二类换元法(138)
4.2.3不定积分的分部积分法(141)
4.3定积分的概念(144)
4.3.1引例(144)
4.3.2定积分的定义(146)
4.3.3定积分的几何意义(147)
4.3.4定积分的性质(148)
4.4牛顿-莱布尼茨公式(151)
4.4.1积分上限的函数(151)
4.4.2牛顿-莱布尼茨公式(154)
4.5定积分的计算(156)
4.5.1定积分的换元法(156)
4.5.2定积分的分部积分法(159)
4.6定积分的应用(160)
4.6.1定积分的微元法(160)
4.6.2利用定积分求平面图形的面积(161)
4.6.3利用定积分求旋转体的体积(163)
4.6.4利用定积分求变力沿直线所做的功(165)
4.6.5利用定积分求液体的侧压力(166)
4.7积分学及其应用的MATLAB求解(167)
4.7.1基本命令(167)
4.7.2求解示例(167)
拓展阅读(172)
数学家莱布尼茨(172)
习题4(173)
第5章 常微分方程(179)
5.1常微分方程的基本概念(179)
5.2可分离变量的微分方程(181)
5.2.1可分离变量的微分方程的定义(181)
5.2.2可分离变量的微分方程的解法(182)
5.2.3可分离变量的微分方程的应用(183)
5.3一阶线性微分方程(184)
5.3.1一阶线性微分方程的定义(184)
5.3.2一阶齐次线性微分方程的解法(185)
5.3.3一阶非齐次线性微分方程的解法(185)
5.3.4一阶非齐次线性微分方程的应用(187)
5.4二阶常系数齐次线性微分方程(189)
5.4.1二阶常系数齐次线性微分方程的定义(189)
5.4.2二阶常系数齐次线性微分方程解的结构(189)
5.4.3二阶常系数齐次线性微分方程的解法(191)
5.4.4二阶常系数齐次线性微分方程的应用(194)
5.5常微分方程的MATLAB求解(195)
5.5.1基本命令(195)
5.5.2求解示例(196)
拓展阅读(198)
数学家欧拉(198)
习题5(199)
第6章 无穷级数(201)
6.1常数项级数(201)
6.1.1常数项级数的概念(201)
6.1.2收敛级数的基本性质(203)
6.2常数项级数的审敛法(205)
6.2.1正项级数及其审敛法(205)
6.2.2交错级数及其审敛法(208)
6.2.3绝对收敛与条件收敛(209)
6.3幂级数(210)
6.3.1函数项级数的一般概念(210)
6.3.2幂级数及其收敛域(211)
6.3.3幂级数的运算性质(213)
6.3.4将函数展开为幂级数(214)
6.4傅里叶级数(216)
6.4.1三角函数系的正交性(217)
6.4.2函数展开为傅里叶级数(218)
6.4.3正弦级数和余弦级数(221)
6.4.4非周期函数的傅里叶级数(222)
6.5无穷级数的MATLAB求解(224)
6.5.1基本命令(224)
6.5.2求解示例(225)
拓展阅读(226)
数学史上的三次危机(226)
习题6(228)
参考文献(230)