常微分方程

第1章绪论1
1.1微分方程实例1
习题1.14
1.2基本概念5
习题1.27
1.3微分方程解的几何解释8
习题1.310
第2章一阶微分方程的初等解法11
2.1变量分离方程11
2.1.1变量分离方程11
2.1.2可化为变量分离方程的微分方程13
2.1.3变量分离方程的应用实例16
习题2.117
2.2一阶线性微分方程17
2.2.1一阶线性微分方程17
2.2.2伯努利方程20
2.2.3里卡提（Riccati）方程21
习题2.222
2.3恰当微分方程与积分因子23
2.3.1恰当方程23
2.3.2积分因子26
2.3.3恰当微分方程的物理背景29
习题2.329
2.4一阶隐式微分方程30
2.4.1可解出y的方程30
2.4.2可解出x的方程32
2.4.3不显含y的方程34
2.4.4不显含x的方程35
习题2.437
第3章一阶微分方程解的存在定理38
3.1存在 性定理与逐步逼近法38
3.1.1存在 性定理38
3.1.2存在性定理45
习题3.146
3.2解的延展和解对初值的连续性与可微性47
3.2.1解的延展47
3.2.2解对初值的连续性和可微性49
习题3.249
3.3常微分方程的数值解法50
3.3.1基本概念50
3.3.2常用的单步法50
3.3.3龙格库塔方法（RungeKutta）52
3.3.4线性多步法53
3.3.5数值解的相容性、收敛性与稳定性54
3.3.6常微分方程组与高阶方程的数值解法56
3.3.7Matlab中求解常微分方程的命令58
习题3.359
第4章高阶微分方程60
4.1线性微分方程的基本理论60
4.1.1齐次线性微分方程解的性质与结构60
4.1.2非齐次线性微分方程与常数变易法65
习题4.169
4.2常系数线性微分方程的解法69
4.2.1二阶常系数齐次线性微分方程的解法70
4.2.2二阶常系数非齐次线性微分方程的解法71
习题4.277
4.3一般微分方程的解法78
4.3.1变量变换法78
4.3.2幂级数解法81
习题4.384
第5章线性微分方程组86
5.1线性微分方程组的一般理论86
5.1.1齐次线性微分方程组87
5.1.2非齐次线性微分方程组91
习题5.193
5.2常系数线性微分方程组的解法94
5.2.1矩阵指数函数95
5.2.2矩阵范数95
5.2.3eAx的适定性、连续可导性95
5.2.4齐次线性微分方程组的通解96
5.2.5非齐次线性微分方程组的通解及常数变易公式96
5.2.6eAx的计算97
习题5.2104
5.3消元法和拉普拉斯变换法105
5.3.1消元法105
5.3.2拉普拉斯变换法107
习题5.3112
5.4 积分法113
习题5.4119
第6章定性和稳定性理论初步120
6.1稳定性120
习题6.1124
6.2李雅普诺夫第二方法125
习题6.2127
6.3平面自治系统的基本概念127
6.3.1相平面、相轨线与相图128
6.3.2平面自治系统的基本性质130
6.3.3常点、奇点和闭轨130
习题6.3131
6.4平面自治系统的奇点理论131
6.4.1线性系统的奇点131
6.4.2非线性系统的奇点135
习题6.4136
部分习题参考答案137
附录Maple在常微分方程中的应用152
参考文献159