数值计算方法

第1章数值计算的基本概念和基本原则 §1.1数值计算方法的研究对象和特点 §1.2数值计算的误差 1.2.1误差的来源 1.2.2误差和有效数字 1.2.3函数求值的误差估计 1.2.4计算机中数的表示 §1.3算法的数值稳定性和数值计算的基本原则 1.3.1算法的数值稳定性 1.3.2数值计算的基本原则 §1.4向量和矩阵的范数 1.4.1向量的范数 1.4.2矩阵的范数 内容小结与评注 习题1 数值实验题1 第2章插值法 §2.1拉格朗日插值多项式 2.1.1多项式插值问题 2.1.2拉格朗日插值多项式 2.1.3插值余项 §2.2逐次线性插值 2.2.1逐次线性插值的思想 2.2.2埃特金算法 §2.3牛顿插值多项式 2.3.1均差及其性质 2.3.2牛顿插值多项式 2.3.3差分和等距节点插值多项式 §2.4埃尔米特插值多项式 §2.5分段低次插值 2.5.1多项式插值的问题 2.5.2分段线性插值 2.5.3分段三次埃尔米特插值 §2.6三次样条插值 2.6.1三次样条插值函数的概念 2.6.2三弯矩算法 2.6.3三转角算法 2.6.4三次样条插值函数的误差估计 内容小结与评注 习题2 数值实验题2 第3章函数的最佳逼近 §3.1正交多项式 3.1.1离散点集上的正交多项式 3.1.2连续区间上的正交多项式 §3.2连续函数的最佳逼近 3.2.1连续函数的最佳平方逼近 3.2.2连续函数的最佳一致逼近 §3.3离散数据的曲线拟合 3.3.1最小二乘拟合 3.3.2多项式拟合 3.3.3正交多项式拟合 内容小结与评注 习题3 数值实验题3 第4章数值积分和数值微分 §4.1牛顿科茨公式 4.1.1插值型求积法 4.1.2牛顿科茨公式 4.1.3牛顿科茨公式的误差分析 §4.2复化求积公式 4.2.1复化梯形公式 4.2.2复化辛普森公式 4.2.3变步长求积法 §4.3外推原理和龙贝格求积法 4.3.1外推原理 4.3.2龙贝格求积法 §4.4高斯型求积公式 4.4.1高斯型求积公式的基本理论 4.4.2常用的高斯型求积公式 4.4.3高斯型求积公式的余项和稳定性 §4.5数值微分 4.5.1插值型求导公式 4.5.2三次样条求导公式 4.5.3数值微分的外推算法 内容小结与评注 习题4 数值实验题4 第5章线性方程组的直接解法 §5.1高斯消去法 5.1.1高斯消去法的计算过程 5.1.2矩阵的三角分解 5.1.3主元消去法 5.1.4高斯若尔当消去法 §5.2求解线性方程组的三角分解法 5.2.1直接三角分解法 5.2.2追赶法 5.2.3平方根法 §5.3线性方程组的性态和误差估计 5.3.1矩阵的条件数 5.3.2线性方程组解的误差估计 内容小结与评注 习题5 数值实验题5 第6章线性方程组的迭代解法 §6.1基本迭代法 6.1.1迭代公式的构造 6.1.2雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法 §6.2迭代法的收敛性 6.2.1一般迭代法的收敛性 6.2.2雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法的收敛性 §6.3超松弛迭代法 §6.4块迭代法 内容小结与评注 习题6 数值实验题6 第7章非线性方程和非线性方程组的数值解法 §7.1一元非线性方程求根的二分法 §7.2一元非线性方程的不动点迭代法 7.2.1不动点迭代法及其收敛性 7.2.2局部收敛性和加速收敛法 §7.3一元非线性方程的常用迭代法 7.3.1牛顿迭代法 7.3.2割线法和抛物线法 §7.4非线性方程组的数值解法 7.4.1非线性方程组的不动点迭代法 7.4.2非线性方程组的牛顿迭代法 7.4.3非线性方程组的拟牛顿法 内容小结与评注 习题7 数值实验题7 第8章矩阵特征值问题的数值解法 §8.1特征值的性质和估计 §8.2幂法和反幂法 8.2.1幂法和加速方法 8.2.2反幂法和原点位移 §8.3雅可比方法 §8.4QR算法 8.4.1化矩阵为海森伯格形 8.4.2QR算法及其收敛性 8.4.3带原点位移的QR算法 内容小结与评注 习题8 数值实验题8 第9章常微分方程的数值解法 §9.1欧拉方法 9.1.1欧拉方法及其有关的方法 9.1.2局部误差和方法的阶 §9.2龙格库塔方法 9.2.1龙格库塔方法的基本思想 9.2.2几类RK方法 §9.3单步法的收敛性和数值稳定性 9.3.1单步法的收敛性 9.3.2单步法的数值稳定性 §9.4线性多步法 9.4.1基于数值积分的方法 9.4.2基于泰勒展开的方法 9.4.3预估校正算法 §9.5一阶常微分方程组的数值解法 9.5.1一阶常微分方程组和高阶常微分方程 9.5.2刚性方程组 §9.6边值问题的数值解法 9.6.1打靶法 9.6.2差分法 9.6.3差分法的收敛性 内容小结与评注 习题9 数值实验题9 习题参考答案与提示 参考文献