设如有一长方体积二千一百八十七尺其髙数自乘与阔等阔数自乘与长数等问髙阔长各若干法借一根为髙自乘得一平方为阔以阔自乘得一三乘方为长长阔相乘得一五乘方再以髙乘之得一六乘方为长方体积与二千一百八十七尺相等乃以二千一百八十七尺为六乘方积用开六乘方法算之得三尺为一根之数卽长方之髙自乘得九尺卽长方之阔以阔自乘得八十一尺为长方之长乃以长阔相乘再以髙乘之得二千一百八十七尺以合原数也【此开六乘方法】
　　设如甲丙正方花园二所园中各有正方水池一面甲池每边为丙池每边之三倍甲园每边与甲池之面积等丙园每边与丙池之面积等若以两园之面积相乘得五百三十万八千四百一十六尺问园池每边各若干
　　法借一根为丙池每边之数则甲池每边之数为三根以一根自乘得一平方为丙池之面积卽丙园每边之数自乘得一三乘方为丙园之面积以三根自乘得九平方为甲池之面积卽甲园每边之数自乘得八十一三乘方为甲园之面积两园之面积相乘得八十一七乘方与五百三十万八千四百一十六尺相等八十一七乘方旣与五百三十万八千四百一十六尺相等则一七乘方必与六万五千五百三十六尺相等乃以六万五千五百三十六尺为七乘方积用开七乘方法算之得四尺为一根之数卽丙池每边之数三因之得十二尺卽甲池每边之数以甲池每边十二尺自乘得一百四十四尺为甲池之面积卽甲园每边之数以丙池每边四尺自乘得一十六尺为丙池之面积卽丙园每边之数以甲园每边一百四十四尺自乘得二万零七百三十六尺卽甲园之面积以丙园每边十六尺自乘得二百五十六尺卽丙园之面积乃以两园面积相乘得五百三十万八千四百一十六尺以合原数也【此开七乘方法】
　　设如有甲乙丙三长方体甲方之髙为阔二分之一乙方之髙与阔为甲方之二倍丙方之髙与阔为甲方之三倍俱不知长甲方体积与面积自乘之数等乙方之体积与髙阔相并乘甲方面积之数等丙方之体积与乙方体积自乘再乘之数等今但知丙方体积八十八万四千七百三十六丈问三方髙阔长各若干
　　法借一根为甲方之髙则甲方之阔为二根乙方之髙亦为二根乙方之阔为四根丙方之髙为三根丙方之阔为六根以甲方髙一根与阔二根相乘得二平方卽甲方之面积自乘得四三乘方卽甲方之体积乙方髙二根与阔四根相并得六根与甲方面积二平方相乘得十二立方卽乙方之体积自乘再乘得一千七百二十八八乘方卽丙方之体积与八十八万四千七百三十六丈相等一千七百二十八八乘方旣与八十八万四千七百三十六丈相等则一八乘方必与五百一十二丈相等乃以五百一十二丈为八乘方积用开八乘方法算之得二丈为一根之数卽甲方之髙倍之得四丈卽甲方之阔髙阔相乘得八丈卽甲方之面积自乘得六十四丈卽甲方之体积又将甲方髙二丈倍之得四丈卽乙方之髙将甲方阔四丈倍之得八丈卽乙方之阔髙阔相并得一十二丈与甲方面积八丈相乘得九十六丈卽乙方之体积又以髙四丈阔八丈相乘得三十二丈以除体积九十六丈得三丈卽乙方之长又将甲方髙二丈三因之得六丈卽丙方之髙将甲方阔四丈三因之得一十二丈卽丙方之阔以乙方体积九十六丈自乘再乘得八十八万四千七百三十六丈卽丙方之体积又髙六丈阔十二丈相乘得七十二丈以除体积八十八万四千七百三十六丈得一万二千二百八十八丈卽丙方之长也【此开八乘方法】
　　设如有客船不言数但云每船之人数与船数等每人之本银数与船数自乘再乘之数等其共银自乘之数为六千零四十六万六千一百七十六两问船数人数各若干
　　法借一根为船数亦为每船之人数以一根自乘得一平方为共人数再乘得一立方为每人本银数与一平方相乘得一四乘方为共银数以一四乘方自乘得一九乘方为本银自乘之数与六千零四十六万六千一百七十六两相等乃以六千零四十六万六千一百七十六为九乘方积用开九乘方法算之得六为一根之数卽船数亦卽每船之人数自乘得三十六为共人数再乘得二百一十六为每人之银数以三十六人乘之得七千七百七十六两为共银数自乘得六千零四十六万六千一百七十六两以合原数也【此开九乘方法】

　　御制数理精蕴下编卷三十六
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷三十七
　　末部七
　　难题

　　难题
　　算术之学不外于线面体其间比例相求或借根借方等法既已分门别类于前然设问中有纡廻繁襍之不同者非审详明辨则何以得其统绪兹又探赜钩深编为难题一卷俾学者殚思观变以不迷于入算之方庶几数理之微人心之巧由此引而伸之触类而长之将以穷天下之变亦不难也
　　设如甲乙丙三人值班甲三日一次乙四日一次丙五日一次问三人何日同班
　　法以三日与四日相乘得十二日再与五日相乘得六十日即三人同班之日也此法葢因六十为三四五皆可以度尽之数三与四相乘得十二日是甲乙同班之日而不能与丙同班三与五相乘得十五日是甲丙同班之日而不能与乙同班四与五相乘得二十日是乙丙同班之日而不能与甲同班惟六十日为甲第二十次值班之日为乙第十五次值班之日为丙第十二次值班之日故为三人同班之日也
　　设如有钱不知总数以三数之余二文以五数之余三文以七数之亦余二文问钱总数几何
　　法先以三数之率定为七十五数之率定为二十一七数之率定为十五乃以三数之率七十与余二相乘得一百四十以五数之率二十一与余三相乘得六十三以七数之率十五与余二相乘得三十三数相并得二百三十三又以三五七递乘得一百零五于二百三十三内减两次余二十三即总钱数也此法以三数之率定为七十者以其用七数五数皆尽惟用三数之余一也今以余二相乘得一百四十则是用七数五数皆尽惟用三数之余二矣以五数之率定为二十一者以其用三数七数皆尽惟用五数之余一也今以余三相乘得六十三则是用三数七数皆尽惟用五数之余三矣以七数之率定为十五者以其用三数五数皆尽惟用七数之余一也今以余二相乘得三十则是用三数五数皆尽惟用七数之余二矣以此三数相并自为三数余二五数余三七数余二之数又以三五七递乘得一百零五者此数用三五七皆可数尽故二百三十三虽为三数余二五数余三七数余二之数然减去一百零五余一百二十八以三五七数之其所余之数仍同也即再减去一百零五余二十三以三五七数之其所余之数亦同也是以问数在一百零五以下必二十三如问数在一百零五以上必一百二十八或二百三十三如原数更在二百三十三以上则递加一百零五求之必有合也至其作率之法不过一乘一减如以三五七命算则以五七相乘得三十五以三减之余二不可为率以其所余为二难与他数相乘也故将三十五倍之得七十以三减之余一故七十即为三数之率三七相乘得二十一以五减之余一故二十一即为五数之率三五相乘得一十五以七减之余一故十五即为七数之率或以五数七数九数命算皆仿此例推之
　　设如三人治田一人日耘七亩一人日耕三亩一人日种五亩今令一人自耕自种自耘问一日治田几何
　　法以七亩三亩五亩连乘得一百零五亩为治田总衰数以每日耘七亩除之得十五日为耘田衰数以每日耕三亩除之得三十五日为耕田衰数以每日种五亩除之得二十一日为种田衰数三数相并得七十一日为一率一百零五亩为二率一日为三率得四率一亩四分七厘有余即每日自耕自种自耘之数也此法葢因一日耘七亩则一百零五亩湏耘十五日一日耕三亩则一百零五亩湏耕三十五日一日种五亩则一百零五亩湏种二十一日并之得七十一日是一人自耕自种自耘治田一百零五亩即知一日治田一亩四分七厘有余也
　　设如甲乙二人甲借乙本银一千二百両已经还讫仍欠四月利银今乙又借甲银八百両欲与前利银抵兑问得月数几何
　　法以今借银八百両为一率原借银一千二百両为二率原欠利银四月作一百二十日为三率得四率一百八十日以三十日归之得六月为所求之日数也葢甲借乙之银数多故月数少乙借甲之银数少故月数多而其利相等为转比例四率也
　　设如原买小布一疋长一丈八尺阔一尺三寸价一钱一分七厘今买大布一疋长二丈五尺阔一尺六寸问价几何
　　法以原布长一丈八尺阔一尺三寸相乘得二十三尺四十寸为一率价一钱一分七厘为二率今布长二丈五尺阔一尺六寸相乘得四十尺为三率求得四率二钱即今布之价也凡物惟长不同或惟阔不同则各以其长阔为比例今长阔俱不同故以其长阔各相乘为面与面之比例也
　　设如有银三百九十六両令甲乙丙丁四人分之甲得二分之一又多十両乙得五分之三内少二十両丙得三分之一又多八両丁得四分之一内少六両问四人各得银数几何
　　法先以总银三百九十六両内减去甲多十両丙多八両余三百七十八両又加乙少二十両丁少六両共得四百零四両为各分之总银数乃以甲分母二乙分母五丙分母三丁分母四连乘之得一百二十为总衰数于总衰一百二十内取二分之一得六十为甲衰取五分之三得七十二为乙衰取三分之一得四十为丙衰取四分之一得三十为丁衰并之得二百零二衰为一率以各分总银数四百零四両为二率一衰为三率得四率二両乃以二両用甲衰六十乘之得一百二十両加所多十両得一百三十両即甲所分之银数用乙衰七十二乘之得一百四十四両内减所少二十両余一百二十四両即乙所分之银数用丙衰四十乘之得八十両加所多八両得八十八両即丙所分之银数用丁衰三十乘之得六十両减所少六両余五十四両即丁所分之银数将四人所分之银并之得三百九十六両以合原数也
　　设如甲乙丙三商货殖二年共得利银八千五百八十両甲原出本银三千両至满八月収回一千両至满十九月又添一千二百两乙原出本银二千四百両至满六月収回八百両至满十五月又添一千四百両丙原出本银二千両满七月悉収回至满十七月别出本银一千六百両问各人分得利银若干
　　法以甲本银三千両与八月相乘【满八月収回一千両是八月以前皆为三千両】得二万四千両又以収回一千両与原本银三千両相减余二千両以八月与十九月相减余十一月【八月収回一千両余二千両十九月后方添一千二百両则是八月以后十九月以前此十一月皆为二千両】以十一月与二千両相乘得二万二千両又以二千両加所添一千二百両得三千二百両以十九月与二年之二十四月相减余五月【十九月后添一千二百両是十九月以后二十四月以前此五月皆为三千二百両】以五月与三千二百両相乘得一万六千両以三得数相并共六万二千両为甲之共衰数乙本银二千四百両与六月相乘【满六月収回八百両是六月以前皆为二千四百両】得一万四千四百両又以収回八百両与原本银二千四百両相减余一千六百両以六月与十五月相减余九月【六月后収回八百両余一千六百両十五月后方添一千四百両是六月以后十五月以前此九月皆为一千六百両】以九月与一千六百両相乘得一万四千四百両又以一千六百両加所添一千四百両得三千両以十五月与二年之二十四月相减余九月【十五月后添一千四百両是十五月以后二十四月以前此九月皆为三千両】以九月与三千両相乘得二万七千両三数相并共五万五千八百両为乙之共衰数丙本银二千両与七月相乘【满七月悉収回则七月以前皆为二千両】得一万四千両又以十七月与二十四月相减余七月与别出本银一千六百両相乘【七月悉収回不算外至第十七月方出本一千六百両是十七月以后二十四月以前止七月也】得一万一千二百両二数相并共二万五千二百両为丙之共衰数以甲乙丙三衰数相并【甲六万二千乙五万五千八百丙二万五千二百】共得一十四万三千両为一率总利银八千五百八十両为二率一両为三率求得四率六分以各人衰数乘之甲得三千七百二十両乙得三千三百四十八両丙得一千五百一十二両为各人所得利银之数也
　　设如有一大石不知其重但知一小石重四両求大石重几何
　　法用一木杆结系于中両端令平乃以大石挂于一端以小石作砣称之如大石距提系一寸小石距提系六寸得平则以一寸为一率小石重四両为二率六寸为三率求得四率二十四両即大石之重也如圗甲乙为大石距提系一寸甲丙为小石距提系六寸丁为大石戊为小石戊小石之重即甲乙之分丁大石之重即甲丙之分故甲乙与戊小石之比同于甲丙与丁大石之比也
　　设如有银大小二锭共重十五両求大小锭各重几何
　　法用一木杆结系于中両端令平乃以大锭小锭各挂一端如大锭距提系四寸小锭距提系六寸得平则以四寸六寸相加得十寸为一率共重十五両为二率大锭距提系四寸为三率得四率六両即小锭之重如以小锭距提系六寸为三率则得四率九両即大锭之重也如圗甲乙为大锭距提系四寸甲丙为小锭距提系六寸故以甲乙甲丙共分与丁戊共重之比同于甲乙与戊小锭之比亦同于甲丙与丁大锭之比也
　　设如以戥称银戥数不足将砣上加四两称之得二百两原砣重八两问银实重几何
　　法以原砣重八两爲一率又以原砣八两与加四两相并得十二两爲二率以今称二百两爲三率得四率三百两爲原银之重数也如图甲乙爲二百两之分丙爲砣重十二两试将甲乙戥衡引长至丁甲丁爲三百两之分戊爲原砣重八两甲乙乗丙砣卽与甲丁乗戊砣之数等故以戊砣与甲乙之比同于丙砣与甲丁之比爲转比例四率也
　　设如戥子失去坠砣欲配一砣不知轻重以重三两之物用六钱之砣称之得四两问原砣重几何法以原重三两爲一率今称得四两爲二率今砣重六钱爲三率求得四率八钱卽原砣之重也如图甲乙爲戥盘距提系之分丙爲物重甲丁爲三两之分戊为原砣甲己为四両之分庚为今砣以比例论之甲乙与戊砣之比同于甲丁与丙重之比又甲乙与庚砣之比同于甲己与丙重之比是甲丁乘戊砣即与甲己乘庚砣之数等故以甲丁与庚砣之比即同于甲己与戊砣之比为转比例四率也
　　设如河口上寛十尺下寛六尺深五尺求每日流水几何
　　法以木板一块置于水面用騐时仪坠子候之看六十秒内木板流逺几丈如流逺十丈即以十丈变为一百尺乃以河上寛十尺与下寛六尺相加折半得八尺与河深五尺相乘得四十尺又与木板流逺一百尺相乘得四千尺即六十秒内所流之数又以六十秒収为一分为一率水流四千尺为二率以每日二十四小时化为一千四百四十分【一小时为四刻一刻为十五分】为三率求得四率五千七百六十万尺即一日内所流之数也此法先用木板以騐所流之缓急水急则木随水流亦急水缓则木随水流亦缓看木之缓急即知水流之多少故先求得河口面积再以逺乘之即得水流之积数也
　　设如有房一所不知间数亦不知房价但云每房六间每年租银二十四両五年后适得本银每房八间每年租银三十五両八年后得本银外又得利银二千一百六十両问房数房价各几何
　　法以五年与每年二十四両相乘得一百二十両以八年与每年三十五両相乘得二百八十両是为每房六间租一百二十両适足每房八间租二百八十両盈二千一百六十両乃以六间互乘二百八十両得一千六百八十両以八间互乘一百二十両得九百六十両相减余七百二十両为一率以六间与八间相乘得四十八间为二率以利银二千一百六十両为三率得四率一百四十四间即房之总数也又以六间为一率五年得一百二十両为二率总房一百四十四间为三率得四率二千八百八十両即房价或以八间为一率八年得二百八十両为二率总房一百四十四间为三率得四率五千零四十両内减利银二千一百六十両亦得二千八百八十両为房价也此法葢因五年八年之数不同故以五年八年与每年银数相乘作总得租银算也
　　设如有银买物不知银数亦不知物价但云取银六分之五买之则多六両取银四分之三买之仍多二両问银数及物价各几何
　　法以前分母六互乘后分子三得十八以后分母四互乘前分子五得二十相减余二分为一率盈六両与盈二両相减余四両为二率両分母互乘得二十四分为三率求得四率四十八両即为银数取六分之五为四十両减盈六两得三十四両为物价或取四分之三得三十六両减盈二両亦得三十四両为物价也
　　又先得物价之法以前分母六互乘后分子三得十八以后分母四互乘前分子五得二十又以十八互乘盈六両得盈一百零八両为加十八倍以二十互乘盈二両得盈四十両为加二十倍乃以十八倍与二十倍相减余二倍为一率互乘所得両盈数相减余六十八両为二率一倍为三率求得四率三十四両即物价加盈六両得四十両即原银六分之五乃用五归六因得四十八両为原银数或于物价三十四両加盈二両得三十六両即原银四分之三乃用三归四因亦得四十八両为原银数也此盈朒单法因带分母子不同故用通分互乘以齐其分耳
　　设如有银买米不知米数亦不知米价只云买米四分之一用银二十両则米少一石若买三分之一用银二十四両则米多二石问米数及米价各几何
　　法以前分母四互乘得分子一得四以后分母三互乘前分子一得三乃以互乘所得后分子四互乘二十両得八十両互乘朒一石得朒四石又以互乘所得前分子三互乘二十四両得七十二両互乘盈二石得盈六石乃以朒四石与盈六石相加得十石为一率八十両与七十二両相减余八両为二率一石为三率求得四率八钱即米一石之价也既得米价乃以八钱除二十両得二十五石减朒一石余二十四石为米四分之一以四因之得九十六石即米数或以八钱除二十四両得三十石加盈二石得三十二石为米三分之一以三因之亦得九十六石为米数也葢以分母互乘前则为十二分之三后则为十二分之四【両分母互乘得十二】又以分子互乘前则为米十二分【両分子互乘亦得十二分】用银八十两朒四石后则为米十二分用银七十二両盈六石夫米之分数既同而银差八両则盈朒差十石故知十石价八両即知一石价八钱也此防套盈朒之法但有米之分数又有石数故立法微不同若止带零分则惟用通分法余俱与防套盈朒之法同
　　又先得米数之法以银数列于上分数列于下乃以前分母四互乘后分子一得四以后分母三互乘前分子一得三又以二十両互乘后所得分子四得八十分互乘盈二石得盈四十石以二十四両互乘前所得分子三得七十二分互乘朒一石得朒二十四石乃以七十二分与八十分相减余八分为一率朒二十四石与盈四十石相加得六十四石为二率両分母互乘得十二分为三率求得四率九十六石即原米数也既得米数四归之得二十四石加朒一石得二十五石以除二十両得八钱为米价或将米数三归之得三十二石减盈二石余三十石以除二十四両亦得八钱为米价也葢用互乘前则为四百八十両【二十両与二十四両互乘得四百八十両】买米十二分之七十二朒二十四石后则为四百八十両买米十二分之八十盈四十石夫银数既同而米差八分则盈朒相差六十四石故知八分为六十四石即知十二分为九十六石也
　　又法以二十両朒一石俱用四因之得八十両朒四石【因四分之一价二十両故用四因为米总价】又以二十四両盈二石俱用三因之得七十二両盈六石【因三分之一价二十四両故用三因为米总价】作盈朒单法算以朒四石与盈六石相加得十石为一率八十両与七十二両相减余八両为二率一石为三率求得四率八钱即米一石之价也此法葢因分数整齐故可比例而得其全分之价若有竒零则湏用前法或用通分法算之
　　设如有一数不知几何但云以三乘之再加一十又以四乘之再加二十又以五乘之再加三十又以六乘之再加四十共得六千七百问原数几何法先以所加之一十以四乘之又以五乘之又以六乘之得一千二百再以所加之二十以五乘之又以六乘之得六百再以所加之三十以六乘之得一百八十乃以所得之三数相加得一千九百八十并所加之四十共二千零二十与共数六千七百相减余四千六百八十为连乘之整数乃借一衰为原数以三乘之仍得三又以四乘之得一十二又以五乘之得六十又以六乘之得三百六十衰为一率原数一衰为二率以连乘整数四千六百八十为三率求得四率十三即为原数也此法葢因三乘原数外加一十而又用四乘五乘六乘则此一十己用四乘五乘六乘矣四乘后加二十而又用五乘六乘则此二十已用五乘六乘矣五乘后加三十而又用六乘则三十已用六乘矣故将一十二十三十之数亦用连乘并后所加之四十与共数相减然后为三四五六与原数连乘之整分而以三四五六连乘所得之三百六十与原数一为比例即同于今三四五六连乘所得之四千六百八十与原数十三之比例也
　　设如甲乙二车运粮甲车先行二日乙车后行五日追及甲车比乙车运价少五钱又甲车先行二日乙车后行七日追过甲车八十里甲车比乙车运价少一両一钱问甲乙二车日行里数及运价各几何
　　法以乙车五日为正甲车七日为负里数相等作一空位【甲车先行二日乙车行五日追及是乙车行五日甲车行七日其里数相等】运价多五钱为正列于上又以乙车七日为正甲车九日为负过八十里为正运价多一両一钱为正列于下乃以上乙五日遍乘下乙七日甲九日多八十里多一両一钱得乙三十五日仍为正甲四十五日仍为负多行四百里运价多五両五钱仍为正又以下乙七日遍乘上乙五日甲七日运价多五钱得乙三十五日仍为正甲四十九日仍为负多三両五钱仍为正相等无可乘仍为空位于是以上层为主両下相较则乙各三十五日彼此减尽甲両下相减余四日本层少变负为正里数无可加减仍得四百里为正价両下相减余二両依本层为正即甲车四日行四百里运价二両也以四日除四百里得一百里为甲车每日所行之里数以四日除二両得五钱即甲车每日之运价以乙车七日比甲车九日多行八十里价多一両一钱计之则甲车九日行九百里加多八十里共九百八十里为乙车七日所行之里数以七日除之得一百四十里即乙车每日所行之里数甲车九日运价四両五钱加多一両一钱共五両六钱为乙车七日之运价以七日除之得八钱即乙车每日之运价也此法因有里数运价二种或名叠脚然不过除両次耳若里数为较运价为和难以分列正负者则分両法算之
　　设如甲乙丙三人有银各不知数只云甲得乙银二分之一乙得丙银三分之一丙得甲银四分之一则各得七百两问三人原银各几何
　　法先以甲三分乙一分共七百両列于上【甲原银四分丙得去一分余三分又得乙一分故为甲三分乙一分共七百両丙无数作空位以足其分】又以甲一分丙二分共七百両列于下【丙原银三分乙得去一分余二分又得甲一分故为甲一分丙二分共七百両乙无数亦作空位以足其分】乃以上甲三分遍乘下甲一分丙二分共七百両得甲三分丙六分共二千一百両又以下甲一分遍乘上甲三分乙一分共七百両仍得原数于是以下层为主両下相较则甲各三分彼此减尽乙一分无可减仍为一分依本层为正丙六分无可减仍为六分本层无数则为负银両下相减余一千四百両本层少爲负即乙一分比丙六分少一千四百両也次以乙一分为正丙六分为负少一千四百両为负列于上又以乙一分丙一分共七百两列于下【乙原银二分甲得去一分余一分又得丙一分故为乙一分丙一分共七百両因为和数故不用号】因首色皆为一故省互乘両下相较则乙各一分彼此减尽丙六与丙一相加得七分银一千四百与七百相加得二千一百両即为丙七分之共数以七除之得三百両为丙一分之数以丙原银三分乘之得九百両为丙之银数以乙一分丙一分共七百両计之则于七百両内减去丙一分三百両余四百両即乙一分之数以乙原银二分乘之得八百両为乙之银数以甲三分乙一分共七百両计之则于七百両内减去乙一分四百両余三百両三归之得一百両即甲一分之数以甲原银四分乘之得四百両为甲之银数也
　　设如有长方面积八百六十四歩一长二阔三和四较共三百一十二歩问长阔各几何
　　法以积数八因之得六千九百一十二歩为大长方形积乃以长阔和较共数三百一十二歩为长阔和折半得一百五十六歩为半和自乘得二万四千三百三十六歩与六千九百一十二歩相减余一万七千四百二十四歩开平方得一百三十二歩为半较与半和一百五十六歩相减得二十四歩为原阔数以阔除原积八百六十四歩得三十六歩为原长数也此法葢因三和内有三长三阔加一长二阔共四长五阔如以四较加于四阔则又成四长是共得八长一阔此三百一十二歩即八长一阔之共数今将原积八倍之成一大长方形其阔即原阔其长为原长之八倍故以三百一十二为长阔和求得阔即为原阔以原阔除原积即得原长也
　　设如买果木树不知树数亦不知树价但知树每株之价为树共数之六倍而每株脚钱六文其脚钱并树价共三千六百文问树每株价及树数各几何
　　法先以共钱三千六百文六因之得二万一千六百文为长方积脚钱六文为纵多爰以纵多六文折半得三文为半较自乘得九文与二万一千六百文相加得二万一千六百零九文开平方得一百四十七文为半和内减半较三文得一百四十四文为树每株之价六归之得二十四为树之共数也此法以树数为阔树价并脚钱为长成长方形因每株之价为树数之六倍是长为阔之六倍又多六文故六倍其积则长比阔多六文故以带纵开方法算之得阔为树价六归之得树数也
　　设如一河寛一丈二尺中间生一蒲草出水面三尺斜引蒲稍至岸适与岸齐问蒲长水深各几何法以河寛一丈二尺折半得六尺为勾以蒲稍出水三尺为股较乃以勾六尺自乘得三十六尺以股较三尺除之得一十二尺为股和加股较三尺得一十五尺折半得七尺五寸为即蒲之长内减股较三尺余四尺五寸为股即水之深也如图甲乙为河寛丙丁为蒲长与甲丁等戊丁为水深丙戊为蒲稍出水三尺故戊丁为股甲戊为勾甲丁为丙戊为股较用有勾有股较之法求得股为水深得为蒲之长也
　　设如圆柱髙二十一尺周四尺以绳自底至末绕柱七周与柱适齐问绳长几何
　　法以柱周四尺七因之得二十八尺为股柱髙二十一尺为勾求得三十五尺即绳之长也此法葢合七勾股为一勾股算也如图甲乙为柱髙二十一尺甲丙为七分之一若将柱面平铺之成一平面则丙丁即柱周四尺甲丁即绳绕柱之一周成甲丙丁勾股形今柱髙为甲丙之七倍绳长为甲丁之七倍故将柱周亦加七倍成甲乙戊勾股形甲乙为勾乙戊为股求得甲戊即绳长也
　　设如一方匣内对角斜容一比例尺长一尺一寸寛三寸问匣方边几何
　　法以比例尺寛三寸与长一尺一寸相加得一尺四寸自乘折半开方得九寸八分九厘九豪即方匣之边数也如圗甲乙丙丁方匣内容戊己庚辛比例尺丁乙为对角斜线癸壬为比例尺之长壬乙与丁癸二叚与己庚寛度等葢以己庚度作己子丑庚正方形则乙为方之中心壬乙为己庚方边之一半与壬庚等而壬乙与丁癸両段即与己庚等故以比例尺之长阔相加即为丁乙对角斜线用斜求方之法自乘折半开方即得方边也
　　设如三角形底二丈八尺小腰与中垂线之较二尺大腰与中垂线之较六尺问両腰各几何
　　法借一衰为中垂线则小腰为一衰多二尺小腰与中垂线之和为二衰多二尺与小腰较二尺相乗得四衰多四尺为小分底自乘方积大腰为一衰多六尺大腰与中垂线之和为二衰多六尺与大腰较六尺相乘得十二衰多三十六尺为大分底自乘方积以両方积相较则大分底方为小分底方之三倍多二十四尺【大分底方十二衰为小分底方四衰之三倍即将小分底方四衰多四尺以三因之得十二衰多十二尺与大分底方十二衰多三十六尺相减仍余二十四尺】乃以底二十八尺自乘得七百八十四尺内减去所多之二十四尺余七百六十尺为小分底自乘四正方小分底乘大分底二长方积折半得三百八十尺为小分底自乘二正方小分底乘大分底一长方积共成一大长方底二十八尺为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十尺为小分底自乘得一百尺以小腰较二尺除之得五十尺为小腰与中垂线之和内加小腰较二尺得五十二尺折半得二十六尺即小腰又以小腰较二尺与大腰较六尺相减余四尺即大腰与小腰之较与小腰二十六尺相加得三十尺即大腰也如圗甲乙丙三角形甲乙为小腰甲丙为大腰乙丙为底自甲角作甲丁垂线则分为甲丁乙甲丁丙両勾股形以甲乙甲丁股和与甲乙甲丁股较相乘则得乙丁勾自乘之乙戊己丁正方形【见勾股法】以甲丁甲丙股和与甲丁甲丙股较相乘则得丁丙勾自乘之丁庚辛丙正方形丁庚辛丙正方形既为乙戊己丁正方形之三倍多二十四尺故于乙壬癸丙大正方形内减去二十四尺余者即与乙戊己丁三正方等是共得乙戊己丁四正方戊壬子己庚子癸辛为大分底乘小分底二长方共成丑寅卯丙一长方形折半得丑辰己丙长方形乙丙即长阔之较故用带纵较数开平方法算之得阔为乙丁小勾自乘以股较除之得股和故加股较折半即得甲乙为也或求得甲丙边亦同
　　设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙边一丈二尺二寸甲乙甲丙両边较三尺八寸求乙角丙角度几何
　　法依甲丙边度截甲乙边于丁余乙丁即両边较自丙至丁作丙丁线成乙丁丙钝角形乃以乙丙边一丈二尺二寸为一率乙丁边三尺八寸为二率甲角五十三度八分与一百八十度相减余一百二十六度五十二分折半得六十三度二十六分即丁钝角之外角【与丁丙甲角等】其正八万九千四百四十一为三率求得四率二万七千八百五十八为丙分角正捡表得十六度十分为丙分角与丁丙甲角六十三度二十六分相加得七十九度三十六分即丙角度以丙分角与丁外角相减余四十七度十六分即乙角度也
　　设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲丙边一丈一尺二寸甲乙乙丙両边较二尺八寸求乙角丙角度各几何
　　法依乙丙边度截甲乙边于丁余甲丁即両边较自丙至丁作丙丁线成甲丁丙钝角形乃以甲丁边二尺八寸与甲丙边一丈一尺二寸相加得一丈四尺为一率甲丁与甲丙相减余八尺四寸为二率甲角半外角六十三度二十六分之正切线一十九万九千九百八十六为三率求得四率一十一万九千九百九十一为半较角切线捡表得五十度十二分为半较角度与半外角相减余十三度十四分为丙分角倍之与甲角相加得七十九度三十六分即丙角度以甲角丙角相倂与半周相减余四十七度十六分即乙角度也葢以丙分角与甲角相加则得丙丁乙角与丙大分角等是丙大分角与一丙小分角一甲角之度等故倍小分角与甲角相加得丙全角也
　　设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙边一丈二尺二寸甲乙甲丙両边和二丈六尺二寸求丙角乙角度各几何
　　法以甲乙与甲丙相加得丙丁自乙至丁作乙丁线成丁乙丙三角形乃以乙丙边一丈二尺二寸为一率丙丁边二丈六尺二寸为二率甲角五十三度八分折半得二十六度三十四分即丁角【与甲乙丁角等】其正四万四千七百二十四为三率求得四率九万六千零四十六为丙乙丁角正捡表得七十三度五十分为丙乙丁角内减半甲角二十六度三十四分【即甲乙丁角】余四十七度十六分即乙角度以甲角乙角相并与半周相减余七十九度三十六分即丙角度也
　　设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲乙边一丈五尺甲丙乙丙両边和二丈三尺四寸求乙角丙角度几何
　　法以甲丙与乙丙相加得甲丁自乙至丁作乙丁线成甲乙丁三角形乃以甲丁边二丈三尺四寸与甲乙边一丈五尺相加得三丈八尺四寸为一率甲丁边与甲乙边相减余八尺四寸为二率甲角五十三度八分与半周相减折半得半外角六十三度二十六分其正切线一十九万九千九百八十六为三率求得四率四万三千七百四十七为半较角切线捡表得二十三度三十八分为半较角与半外角相减余三十九度四十八分为丁角度倍之得七十九度三十六分即丙角度以甲角丙角相倂与半周相减余四十七度十六分即乙角度也
　　设如有一旗杆不知其髙用日影测之问髙几何法先立一表长五尺看影长几尺如得四尺同时看旗杆影为几尺如得二丈四尺乃以表影长四尺为一率表髙五尺为二率旗杆影长二丈四尺为三率求得四率三丈即旗杆之髙也如圗甲乙为旗杆乙丙为旗杆影丁戊为表髙戊己为表影甲乙丙与丁戊己为同式勾股形故己戊与丁戊之比同于乙丙与甲乙之比也
　　设如有塔一座不知其髙亦不知其逺用日影测之问塔髙几何
　　法先立一表长六尺影长四尺同时看塔影所至记之阅时看表影长五尺塔影比先所记之处长几尺如得八尺乃以表影差一尺为一率表髙六尺为二率影差八尺为三率求得四率四丈八尺即塔之髙也如圗甲乙为塔髙乙丙为先所记塔影乙丁为后所记塔影戊己为表髙己庚为先所记表影己辛为后所记表影戊庚辛与甲丙丁戊己庚与甲乙丙皆为同式形故庚辛与戊己之比同于丙丁与甲乙之比也
　　设如逺望一村欲知其逺用放鎗騐时仪坠子之问逺几何
　　法令一人在村边放鎗一见烟出即用騐时仪坠子之一闻鎗响即止计自见烟至闻响得几秒如得三秒即以一秒为一率一百二十八丈五尺七寸为二率三秒为三率求得四率三百八十五丈七尺一寸即距村之逺也葢响与烟一时并出其见烟而未闻响者声未至也故自见烟至闻响之分即路逺之分尝以其分较之路逺五里得七秒以七归之每秒得一百二十八丈五尺七寸闻雷亦然自一见电光至闻雷响其秒数即得里数也
　　设如梭形阔四尺中长九尺求积几何
　　法以中长九尺与阔四尺相乘得三十六尺折半得十八尺即梭形积也如圗甲乙丙丁梭形以乙丁与甲丙相乘则成戊己庚辛长方形其积比梭形多一倍故半之为梭形积也此法必甲乙与乙丙等甲丁与丁丙等或甲乙与甲丁等乙丙与丁丙等则其中长适为両三角形之垂线故长阔相乘折半而得积也若中长不得为垂线则湏先量得四边数及长数或阔数用三角形求中垂线法算之
　　设如三广形上阔三尺中阔五尺下阔四尺上截长六尺下截长四尺求积几何
　　法以中阔五尺与上阔三尺相加折半得四尺与上截长六尺相乘得二十四尺又以中阔五尺与下阔四尺相加折半得四尺五寸与下截长四尺相乘得十八尺両数相并得四十二尺即三广形积也如圗甲乙丙丁戊己三广形以乙戊线分之则成甲乙戊己乙丙丁戊両梯形故用梯形求积之法【见第十九卷直线形】求得両梯形之积而并之即为三广形积也旧术以上下阔相加折半加中阔与长相乘得积此必上下両截长数相等者然后可算若上下不相等湏用両梯形算之
　　设如眉形両尖相距长二十四尺外弧距九尺内弧距四尺求积几何
　　法以両尖相距二十四尺为外弧距九尺为矢用弧矢求积法以矢九尺为首率二十四尺折半得十二尺为中率求得末率十六尺加矢九尺得二十五尺为圜径折半得半径十二尺五寸为一率半十二尺为二率半径十万为三率求得四率九万六千为半外弧之正捡八线表得七十三度四十五分为半外弧之度分倍之得一百四十七度三十分为外弧之度分乃以三百六十度为一率外弧一百四十七度半为二率全径二十五尺求得全周七十八尺五寸三分九厘八豪为三率求得四率三十二尺一寸七分九厘五豪为外弧之数与半径十二尺五寸相乘折半得二百零一尺十二寸十八分为自圜心所分弧背三角形积又以矢九尺与半径十二尺五寸相减余三尺五寸与二十四尺相乘折半得四十二尺为自圜心至所分直线三角形积与弧背三角形积相减余一百五十九尺一十二寸一十八分为外弧矢全积【见第二十卷曲线形】又以両尖相距二十四尺为内弧距四尺为矢亦用弧矢求积法求得内弧矢虚积六十五尺三十七寸六十分与外弧矢积相减余九十三尺七十四寸五十八分即眉形积也如圗甲乙丙丁眉形甲丙为乙戊为外弧矢丁戊为内弧矢成甲乙丙戊甲丁丙戊両弧矢形故先求得甲乙丙戊弧矢形积又求得甲丁丙戊弧矢形积相减即得甲乙丙丁眉形积也
　　设如橄防形长二尺四寸阔八寸求积几何
　　法以长二尺四寸为阔八寸折半得四寸为矢用弧矢求积法求得弧矢积六十五尺三十七寸六十分倍之得一百三十尺七十五寸二十分即橄防形积也如圗甲乙丙丁橄防形自甲至丙作甲丙线平分乙丁于戊则成甲乙丙戊甲丁丙戊両弧矢形故求得弧矢形积倍之即橄防形积也
　　设如钱形径一尺二寸求积几何
　　法以钱形径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘又求得内容方积七十二寸相减余四十一寸零九分七十三厘倍之得八十二寸一十九分四十六厘即钱形积也如图甲乙丙丁钱形作戊己己庚庚辛辛戊四线则分为壬癸子丑寅卯辰巳八弧矢形故先求得圜形积又求得戊己庚辛内方积相减余壬癸子丑四弧矢形倍之即得钱形积也
　　设如银锭形径一尺二寸求积几何
　　法以银锭形径一尺二寸自乘得一尺四十四寸折半得七十二寸即银锭形积也如图甲乙丙丁戊己银锭形以甲丁径自乘折半则得乙丙戊己正方其所虚庚辛二弧矢形与所盈壬癸二弧矢形之积等故乙丙戊己正方积即与银锭形之积等也
　　设如甲乙丙丁四平圜共积二百一十七尺五十五寸五十三分一十厘甲圜径比乙圜径多三尺乙圜径比丙圜径多三尺丙圜径比丁圜径多二尺问四圜径各几何
　　法用圜积方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率四平圜共积二百一十七尺五十五寸五十三分一十厘为三率求得四率二百七十七尺为四平方共积乃以丙圜径比丁圜径所多之二尺自乘得四尺又以乙圜径比丁圜径所多之五尺【丙比丁多二尺乙又比丙多三尺故乙比丁多五尺】自乘得二十五尺又以甲圜径比丁圜径所多之八尺【乙比丁多五尺甲又比乙多三尺故甲比丁多八尺】自乘得六十四尺三数相并得九十三尺与四平方共积二百七十七尺相减余一百八十四尺为长方积以丙圜径比丁圜径多二尺乙圜径比丁圜径多五尺甲圜径比丁圜径多八尺相加得十五尺为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八尺二归之得四尺即丁圜径加二尺得六尺即丙圜径再加三尺得九尺即乙圜径再加三尺得十二尺即甲圜径也如图甲乙丙丁四平圜形变为甲乙丙丁四平方形则四圜径之较即四方边之较故于四方形内减去壬癸子三较方余戊己庚辛四小正方丑寅卯辰巳午六长方共成未申酉戌一长方戌亥为长阔之较即三边较之共数故用带纵较数开平方法算之得阔折半而得丁方边即丁圜径递加之即得甲乙丙各圜径也
　　设如有一方形内不切方边容一圜形但知方边离圜界五丈方内圜外积三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分问方边圜径各几何
　　法以方边离圜界五丈自乘得二十五丈四因之得一百丈与方内圜外积三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分相减余二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分乃以圜积定率七八五三九八一六与方积定率一○○○○○○○○相减余二一四六○一八四为一率方积一○○○○○○○○为二率今减余积二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分为三率求得四率一千零三十一丈九十五尺八十四寸五十八分为长方积又以二一四六○一八四为一率一○○○○○○○○为二率以方边离圜界五丈四因之得二十丈为三率求得四率九十三丈一尺九寸五分为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十丈即内圜径加方边离圜界共十丈得二十丈即外方边也如图甲乙丙丁方形内容戊圜形以方边离圜界五丈自乘四因与积相减则减去己庚辛壬四小方形余癸子丑寅四长方形及卯辰巳午四隅积今欲以卯辰巳午四隅积补足戊圜虚积共成未申酉戌长方形应以定率之方积圜积相减余方内圜外积为一率方积为二率今所余之卯辰巳午方内圜外积为三率则得四率为未亥方积而戊圜虚积即补足在其中然今乃以卯辰巳午四隅积并癸子丑寅四长方积共为三率则戊圜虚积固已补足而癸子丑寅四长方积必多补出之分是知癸子丑寅四长方形其寛仍为戌酉而亥酉之长必亦多补出之分矣【癸子丑寅四长】【方形为二平行线内直角方形其面之互相为比同于其底之互相为比见几】【何原本八卷第七节】故又以定率之方积圜积相减余方内圜外积为一率方积为二率以方边离圜界五丈四因之得亥酉之长为三率求得四率即将亥酉之长亦増补出之分乃以此为长阔之较求得未申阔即为内圜径也
　　设如有一方形内不切方边容一圜形但知方角离圜界二十一丈二尺一寸三分方内圜外积一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分问方边圜径各几何
　　法以方角离圜界二十一丈二尺一寸三分自乘得四百五十丈倍之得九百丈与方内圜外积一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分相减余五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分乃以定率弧矢积二八五三九八一六为一率【方积一○○○○○○○○方内容圜积七八五三九八一六圜内容方积五○○○○○○○相减余二八五三九八一六为弧矢积】圜内容方积五○○○○○○○为二率今减余积五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分为三率求得四率九百五十一丈十六尺三十寸四十八分为长方积又以二八五三九八一六为一率五○○○○○○○为二率以方角离圜界二十一丈二尺一寸三分用斜求方法求得四隅方边十五丈四因之得六十丈为三率求得四率一百零五丈一尺一寸六分为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十丈即内圜所容方边以四隅方边十五丈倍之得三十丈与内圜所容方边十丈相加得四十丈即外方边以内圜所容方边十丈求得对角斜线十四丈一尺四寸二分即内圜径加方角离圜界共四十二丈四尺二寸六分得五十六丈五尺六寸八分即外方对角斜线也如图甲乙丙丁方形内容戊圜形以方角离圜界甲卯自乘倍之与积相减则减去己庚辛壬四小正方形【以甲卯自乘折半得己正方形积故甲卯自乘倍之即得四正方形积也】余癸子丑寅四长方形而内虚未申酉戌四弧矢形今欲以所虚之未申酉戌四弧矢形变为卯辰巳午一正方形应以定率弧矢积为一率方积为二率未申酉戌四弧矢虚积为三率则得四率为卯辰巳午虚方积然今无未申酉戌四弧矢虚积而以癸子丑寅四长方形内虚未申酉戌四弧矢形之余积为三率实积既变则虚积亦变故求得四率为卯辰亥干长方形而内虚卯辰巳午正方形葢癸子丑寅四长方实积与午巳亥干长方积之比同于弧矢积与方积之比则其所虚之未申酉戌四弧矢形与卯辰巳午正方形之比亦同于弧矢积与方积之比而癸子丑寅之共长与长亥之比亦必同于弧矢积与方积之比矣故以四长方之共边比例得辰亥边为长阔和求得卯辰阔为内圜所容正方形之每一边也
　　设如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界离方角五丈圜内方外积二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分问圜径方边各几何
　　法以圜界离方角五丈自乗得二十五丈四因之得一百丈又以圜积定率七八五三九八一六为一率方积一○○○○○○○○为二率今圜内方外积二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分为三率求得四率三百三十六丈三十三尺八十寸二十三分内减所得一百丈余二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分乃以定率弧矢积二八五三九八一六【方积一○○○○○○○○内容圜积七八五三九八一六圜内容方积五○○○○○○○相减余二八五三九八一六】用圜积变方积法通之得三六三三八○二三为一率方积一○○○○○○○○为二率今减余积二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分为三率求得四率六百五十丈三十八尺七十四寸为长方积又以三六三三八○二三为一率一○○○○○○○○为二率以圜界离方角五丈四因之得二十丈为三率求得四率五十五丈零三寸八分七厘四豪为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十丈即内方对角斜线用斜求方法算之得七丈零七寸一分即内方边以内方对角斜线十丈加圜界离方角共十丈得二十丈即外圜径也如图甲乙圜形内容丙方形以圜积方积定率比例则变为丁戊己庚辛壬癸子方环形而多丑寅卯辰四弧矢形所变之积葢圜环变为方环今圜内方外积比圜环积多丑寅卯辰四弧矢形故所变之方环亦多丑寅卯辰四弧矢形所变之积也以圜界离方角五丈自乘四因与积相减则减去巳午未申四小方形余酉戌亥干四长方形及丑寅卯辰四弧矢形所变之积今欲以丑寅卯辰四弧矢形所变之积补成辛壬癸子正方形共成辛壬坎艮长方形应以定率四弧矢形已变之积为一率方积为二率【设方积为一○○○○○○○○方内容圜积为七八五三九八一六圜内容方积为五○○○○○○○内圜积与内方积相减余二八五三九八一六是二八五三九八一六与一○○○○○○○○相比为弧矢积与外方积之定率也然今所多之四弧矢积先已用圜率变为方率故又以圜积七八五三九八一六为一率方积一○○○○○○○○为二率弧矢积二八五三九八一六为三率得四率三六三三八○二三是三六三三八○二三与一○○○○○○○○相比为已变之弧矢积与外方积之定率也】今所多之丑寅卯辰四弧矢形已变之积为三率则得四率为辛壬癸子正方积然今乃以丑寅卯辰四弧矢形已变之积并酉戌亥干四长方积共为三率则辛壬癸子正方积固已补足而酉戌亥干四长方必多补出之分是知酉戌亥干四长方其寛仍为子癸而癸坎之长必亦多补出之分矣故又以四弧矢形已变之积为一率方积为二率以圜界离方边五丈四因之得癸坎之长为三率求得四率即将癸坎之长亦増补出之分乃以此为长阔之较求得辛壬阔即内方对角斜线也
　　设如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界离方边十五丈圜内方外积一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分问圜径方边各几何法以圜界离方边十五丈自乘得二百二十五丈四因之得九百丈又以圜积方积定率比例圜积七八五三九八一六为一率方积一○○○○○○○○为二率今圜内方外积一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分为三率求得四率一千四百七十二丈六十七尺六十寸四十六分内减所得九百丈余五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分乃以方内圜外积二一四六○一八四【方积一○○○○○○○○内容圜积七八五三九八一六相减余二一四六○一八四】用圜积变方积法通之得二七三二三九五五为一率方积一○○○○○○○○为二率今减余积五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分为三率求得四率二千零九十五丈八十八尺六十三寸六十一分为长方积又以二七三二三九五五为一率一○○○○○○○○为二率以圜界离方边十五丈四因之得六十丈为三率求得四率二百一十九丈五尺八寸八分为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十丈即内方边加圜界离方边共三十丈得四十丈即外圜径也如图甲乙圜形内容丙方形以圜积方积定率比例则变为丁戊己庚辛壬癸子方环形而少丑寅卯辰四隅所变之积葢圜环变为方环今圜内方外积比圜环积少丑寅卯辰四隅故所变之方环亦少丑寅卯辰四隅所变之积也以圜界离方边十五丈自乘四因与积相减则减去巳午未申四小正方形余酉戌亥干四长方形而内少丑寅卯辰四隅所变之积今欲以所虚之丑寅卯辰四隅形所变之积作为辛壬癸子正方形应以定率四隅形已变之积为一率方积为二率【设方积为一○○○○○○○○方内容圜积为七八五三九八一六相减余二一四六○一八四是三一四六○一八四与一○○○○○○口○相比为圜外四隅积与外方积之定率也然今所少者乃圜外四隅积用圜积方积比例之数故又以圜积七八五三九八一六为一率方积一○○○○○○○○为二率圜外四隅积二一四六○一八四为三率求得四率二七三二三九五五是二七三二三九五五与一○○○○○○○○相比为已变之四隅积与外方积之定率也】丑寅卯辰四隅形已变之虚积为三率则得四率为辛壬癸子虚方积然今无辛壬癸子四隅形已变之虚积而以酉戌亥干四长方内虚丑寅卯辰四隅形之余积为三率实积既变则虚积亦变故求得四率为辛壬坎艮长方形而内虚辛壬癸子正方形葢酉戌亥干四长方实积与子癸坎艮长方形之比同于己变之四隅积与方积之比则其所虚之丑寅卯辰四隅已变之积与辛壬癸子正方形之比亦同于己变之四隅积与方积之比而酉戌亥干之共长与壬坎之比亦少同于己变之四隅积与方积之比矣故以四长方之共边比例而得壬坎边为长阔和求得辛壬阔为内方边也
　　设如有一大　　　　　　　　【寸】球体内容四　　　　　　　　　　　　　　【为】小球　　　　　　　　　　　　　　　　　【长】体大球径一
　　尺二　　　　　　【方】寸求小
　　球径几何法以大球径一尺二寸自乘得一尺四十四寸倍之得二百八十八
　　积以大　　　　　　　　　　　【分】球径一尺二寸四因之得四尺八寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔五寸三分九厘三豪即
　　内容四　　　　　　　　　　　【之】小球之径也如图甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【二】乙大
　　球体内容丙丁戊　　　　　　　　　　　　　　　【故】己四小球体　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【甲】试自四小球之中心俱各作线聮之则成
　　一四等面体　　　　　　　　　　　　　【癸】又以甲乙大球心为【丁】心丙丁戊己小球心为界作一虚圆则
　　成　　　　　　　　　【子】四等面体外切圆球体其　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【正】四面
　　体之一边即小球径　　　　　　　　　　　　　　　　【方】以四面体　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【形】外
　　切丁　　　　　　　　　　【为】庚虚球径　　　　　　　　　　　　　　　【丁】加一小球径即大
　　球径故以大球径自乘得甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【庚】乙辛壬正【辛丑即四面体每边自】方形内甲癸丁子为小
　　球径　　　　　　　　　　【乘】自乘方丁庚辛丑为四面体外
　　切圆球径自乘方癸乙庚丁　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】子丁丑壬为四面体之每边与外切圆球径相乘二长方凡四面体每边【见第二十八卷球内容四面体法】自乘方为外切圆球径自乘方三正方形三分之二将甲乙辛壬正方形倍之则得甲癸丁子二正方丁庚辛丑二正方癸乙庚丁四长方而丁庚辛丑二正方为甲癸丁子正方形之三倍是共得甲癸丁子五正方癸乙庚丁四长方即与寅卯辰巳长方积等其巳午长
　　阔之较为甲乙　　　　　　　　　　　　　　【开】球径之四倍故四因大球径为较纵求得阔即小球径也如
　　先有　　　　　　　　　　【平】小球径　　　　　　　　　　　　　　【方】求大球径　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【法】则以小球径为四面体之一边自乘二归三因
　　开平方得四面　　　　　　　　　　　　　　【算】体外切圆球　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】径再
　　加　　　　　　　　　【得】一小
　　球径即大球　　　　　　　　【阔】径也设如有　　　　　　　　　　　　　　【四】一大　　　　　　　　　　　　　　　　　【寸】球体内容六
　　小球　　　　　　【九】体大球
　　径一尺　　　　　　　　　　　【分】二寸求小球径几何法以大
　　球径一尺三寸自乘得　　　　　　　　　　　　　　　　　【七】一尺四十四寸为长方积以大球径一尺二寸倍之得二尺四寸为长阔之较用带纵较数
　　厘即内容六小　　　　　　　　　　　　　　【大】球之径数也如图甲
　　乙　　　　　　　　　【球】大球体内容丙丁戊己庚辛　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【径】六小球体试自六小球之中心俱各作线聮之则成一八等面体其八面体之一
　　【则】边即小球径以八面体之对角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【以】线
　　加一　　　　　　　　　　【小】小球径即　　　　　　　　　　　　　　　【球】大球径故以大球
　　径自乘得甲乙壬癸正方形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【径】内甲子丙【为即八面体每边自乘】丑为小球径自乘方丙戌壬寅为八面体对角线自乘方子乙戊丙丑丙寅癸为八面体之每边与对角线相乘二长方凡八面体每边自乘方为对【方见第二十七卷八面体】角线自乘方之一半故丙戊壬寅一正方与甲子丙丑二正方等是甲乙壬癸一正方共为甲子丙丑三正方子乙戊丙二长方与卯辰
　　巳午长方积等其午　　　　　　　　　　　　　　　　【法】未长阔之较为甲乙球径之二倍故倍大球径为较纵求得阔即小球径也如先有小球径求八面体之一边自乘加倍开方得对角
　　线再加一小　　　　　　　　　　　　　【小】球径即　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】大球
　　径也设如一大球体内容八小球体大球径一尺二
　　寸　　　　　【径】求小球
　　径几何　　　　　　　　　　　【乘】法以大球径一尺二寸自乘得一百四十四寸折半得七十二寸为
　　长　　　　　　　　　【正】方积以大球径一尺二寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔
　　四寸三分九厘二豪　　　　　　　　　　　　　　　　【方】即内容八小球
　　之径数　　　　　　　　　　　【体】也如图甲乙大球体内容丙
　　丁戊　　　　　　　　　　【对】己庚辛壬癸　　　　　　　　　　　　　　　　【角】八小球体试自八小球之中心俱各作线聮之则成一
　　正方体　　　　　　　　　　　【斜】其正方体之一边即小球径
　　以正方体　　　　　　　　　　　　【线】之丙壬　　　　　　　　　　　　　　　　【二】对角斜线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【长】加一小球径即大球径故以大球径自乘
　　得甲　　　　　　　　　　【方】乙子丑正方形内甲寅卯辰为小球径自乘方卯巳子午为正方体对角斜线自乘方寅乙巳卯辰卯午丑为凡正方对角斜线自乘方为每边自乘方之三倍【尺自乘得见第二十八卷球内容】故卯巳子午正方形为甲寅卯辰正方形之三倍折半即得未甲辰申甲寅卯辰二正方寅乙巳卯一长方共成未乙巳申一长
　　方甲乙　　　　　　　　　　　【正】球径即长阔之较故用带纵
　　较数开平方法算之得阔即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】小球径也如先有小球径求大球径则以小球径为正方体之一边自乘三因之开平
　　方得正方体对角斜线再加　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】一小球
　　【法】径即
　　大球径也设如有三角形底十四尺中埀线十二尺大腰与小腰之较二尺求両
　　腰各几何法借一根为小腰则大腰为一根多二尺以一根自乗得一平方为小腰之面积内减中垂线十二尺自乗之一百四十四尺余一平方少一百四十四尺为小分底之面积以一根多二一平方多四根多四尺为大腰之面积内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺余一平方多四根少一百四十尺为大分底之面积又以底十四尺自乘得一百九十六尺内减去大小両分底之共面积二平方多四根少二百八十四尺余四百八十尺少二平方少四根折半得二百四十尺少一平方少二根为小分底乘大分底之面积此数与大分底之面积及小分底之面积为连比例三率葢大分底之面积为首率而小分底乘大分底之面积为中率小分底之积为末率也乃以首率大分底之面积一平方多四根少一百四十尺与末率小分底之面积一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方多四立方少二百八十四平方少五百七十六根多二万零一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面积二百四十尺少一平方少二根自乘得一三乘方多四立方少四百七十六平方少九百六十根多五万七千六百尺此二数为相等両边各减一三乘方四立方二万零一百六十尺又各加四百七十六平方九百六十根得一百九十二平方多三百八十四根与三万七千四百四十尺相等一百九十二平方多三百八十四根既与三万七千四百四十尺相等则一平方多二根必与一百九十五尺相等乃以一百九十五尺为长方积以多二根作二尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔十三尺为一根之数即小腰加二尺得十五尺即大腰也
　　设如有三角形底十四尺中垂线十二尺大腰与小腰之和二十八尺求大小腰各几何
　　法借一根为小腰则二十八尺少一根为大腰以一根自乘得一平方为小腰之面积内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺余一平方少一百四十四尺为小分底之面积以二十八尺少一根自乘得七百八十四尺少五十六根多一平方为大腰之面积内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺余一平方少五十六根多六百四十尺为大分底之而积又以底四十尺自乘得一百九十六尺内减去大小両分底之共面积二平方少五十六根多四百九十六尺余五十六根少三百尺少二平方折半得二十八根少一百五十尺少一平方为小分底乘大分底之面积此数与大分底之面积及小分底之面积为连比例三率葢大分底之面积为首率而大分底乗小分底之而积为中率小分底之而积为末率也乃以首率大分底之面积一平方少五十六根多六百四十尺与末率小分底之面积一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方少五十六立方多四百九十六平方多八千零六十四根少九万二千一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面积二十八根少一百五十尺少一平方自乘得一三乘方少五十六立方多一千零八十四平方少八千四百根多二万二千五百尺此二数为相等両边各减一三乘方又各加五十六立方得四百九十六平方多八千零六十四根少九万二千一百六十尺与一千零八十四平方少八千四百根多二万二千五百尺相等両边各减四百九十六平方各加八千四百根又各加九万二千一百六十尺得一万六千四百六十四根与五百八十八平方多一十一万四千六百六十尺相等一万六千四百六十四根既与五百八十八平方多一十一万四千六百六十尺相等则二十八根必与一平方多一百九十五尺相等故以一百九十五尺为长方积以二十八根作二十八尺为长阔和求得阔十三尺为一根之数即小腰也

　　御制数理精蕴下编巻三十七
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷三十八
　　末部八
　　对数比例

　　对数比例
　　对数比例乃西士若往讷白尔所作以借数与眞数对列成表故名对数表又有恩利格巴理知斯者复加增修行之数十年始至中国其法以加代乘以减代除以加倍代自乘故折半即开平方以三因代再乘故三归即开立方推之至于诸乘方莫不皆以假数相求而得眞数葢为乘除之数甚繁而以假数代之甚易也其立数之原起于连比例葢比例四率二率与三率相乘一率除之得四率而递加递减之四数第二数第三数相加减第一数则得第四数作者有见于此故设假数以加减代乘除之用此表之所以立也然连比例之大者莫如十百千万葢一与十十与百百与千千与万万与十万其数皆为一而递进一位取其整齐而无竒零也一为数之始以之乘除数皆不变故一之假数定为○而十之假数定为一百之假数定为二千之假数定为三万之假数定为四十万之假数定为五推之百千万亿皆递加一数此对数之大纲也其间之零数则用中比例累求而得以首率末率两眞数相乘开方即得中率之眞数以首率末率两假数相加折半即得中率之假数又法用递乘而得以眞数递次相乘其乘得之位数即所得之假数此二法者理虽易明而数则甚繁也又有递次开方一法以眞数递次开方假数递次折半至于数十次使彼此皆可为比例而假数由之而生又有相较之一法省开方之多次尤为甚防至于他数之可以乘除得者如二与三相乘而得六则以二之假数与三之假数相加即为六之假数又以二除十而得五则以二之假数与十之假数相减即为五之假数之类其不由乘除而得者则又以累乘累除之法求之此对数之细目也今为推其理考其数先详作表之原次明用表之法使学者知作者之难而用之甚易甚勿以易而忘其难也

　　明对数之原之一
　　凡眞数连比例四率任对设递加递减之较相等之四假数其第二率相对之假数与第三率相对之假数相加内减第一率相对之假数即得第四率相对之假数若减第四率相对之假数即得第一率相对之假数
　　如二四八十六连比例四率任对设二之假数为一四之假数为二八之假数为三十六之假数为四其递加递减之数皆为一以二率四相对之假数二与三率八相对之假数三相加得五内减一率二相对之假数一即得四率十六相对之假数四若减四率十六相对之假数四即得一率二相对之假数一或以二之假数为三四之假数为五八之假数为七十六之假数为九其递加递减之数皆为二以二率四相对之假数五与三率八相对之假数七相加内减一率二相对之假数三即得四率十六相对之假数九若减四率十六相对之假数九即得一率二相对之假数三
　　明对数之原之二
　　凡眞数连比例三率任对设递加递减之较相等之三假数其中率相对之假数倍之内减首率相对之假数即得末率相对之假数若减末率相对之假数即得首率相对之假数
　　如一三九连比例三率任对设一之假数为四三之假数为五九之假数为六其递加递减之数皆为一以中率三相对之假数五倍之得十内减首率一相对之假数四即得末率九相对之假数六若减末率九相对之假数六即得首率一相对之假数四或以一之假数为八三之假数为五九之假数为二其递加递减之数皆为三以中率三相对之假数五倍之内减首率一相对之假数八即得末率九相对之假数二若减末率九相对之假数二即得首率一相对之假数八
　　明对数之原之三
　　凡眞数连比例几率任对设递加递减之较相等之假数其中隔位取比例四率其第二率相对之假数与第三率相对之假数相加内减第一率相对之假数亦得第四率相对之假数若减第四率相对之假数亦得第一率相对之假数
　　如二四八十六三十二六十四一百二十八二百五十六连比例几率任对设二之假数为一四之假数为二八之假数为三十六之假数为四三十二之假数为五六十四之假数为六一百二十八之假数为七二百五十六之假数为八其递加递减之数皆为一任取四八六十四一百二十八之四率以二率八相对之假数三与三率六十四相对之假数六相加得九内减一率四相对之假数二即得四率一百二十八相对之假数七若减四率一百二十八相对之假数七即得一率四相对之假数二

　　明对数之纲之一
　　凡假数皆可随意而定然一之假数必定为○方与眞数相应而眞数连比例率十百千万皆为一但递进一位则其假数亦皆递加一数
　　葢乘除之数始于一故一不用乘亦不用除而加减之数始于○故○无可加亦无可减也假数旣以加减代乘除故一之假数必定为○而一与十十与百百与千千与万万与十万皆为加十倍之相连比例率然其数皆为一但递进一位故一之假数定为○者十之假数即定为一百之假数即定为二千之假数即定为三万之假数即定为四十万之假数即定为五百万之假数即定为六千万之假数即定为七亿之假数即定为八亦皆递加一数而假数即与位数相同试以一百与一千相乘得十万为进二位以一百相对之假数二与一千相对之假数三相加即得十万相对之假数五亦为加二数也以一十除一千得一百为退一位以一十相对之假数一与一千相对之假数三相减即得一百相对之假数二亦为减一数也如或以十之假数定为二百之假数定为四千之假数定为六是为递加二数未甞不可然眞数进一位者假数则加二数即不得与位数相同矣
　　明对数之纲之二
　　凡眞数不同而位数同者其假数虽不同而首位必同眞数相同而递进几位者其假数首位必递加几数而次位以后却相同
　　如自一至九眞数皆为单位则假数首位皆为○故二之假数为○三○一○二九九九五七三之假数为○四七七一二一二五四七四之假数为○六○二○五九九九一三五之假数为○六九八九七○○○四三六之假数为○七七八一五一二五○四首位以后零数递增至十则首位皆为一至百则首位皆为二至千则首位皆为三至万则首位皆为四至十万则首位皆为五如一十一一百一十一千一百一万一千一十一万虽递进一位而其数皆为一一故其假数首位虽递加一数而次位以后皆同为○四一三九二六八五二

　　明对数之目用中比例求假数法之一
　　凡连比例率以首率末率两眞数相乘开方即得中率之眞数以首率末率两假数相加折半即得中率之假数
　　如一十为首率一百为中率一千为末率以首率一十与末率一千相乘开平方得一百为中率以首率一十之假数一○○○○○○○○○○与末率一千之假数三○○○○○○○○○○相加折半得二○○○○○○○○○○即中率一百之假数葢首率末率相乘与中率自乘之数等以首率末率两假数相加即与中率之假数加倍之数等故折半为中率之假数也
　　明对数之目用中比例求假数法之二
　　凡十百千万之假数既定而欲求其间零数之假数则以前后相近之两数一为首率一为末率求得中率之眞数并求得中率之假数累次比例使中率恰得所求之眞数其假数即为所求之假数如求九之假数因九在一与十之间则以一为首率十为末率相乘开方得三一六二二七七七为第一次之中率即以首率一之假数○○○○○○○○○○○与末率十之假数一○○○○○○○○○○相加折半得○五○○○○○○○○○为第一次中率之假数此所得之中率较之首率去九为近故以所得之中率复为首率十为末率相乘开方得五六二三四一三二为第二次之中率即以第二次之首率末率两假数相加折半得○七五○○○○○○○○为第二次中率之假数又以第二次所得之中率复为首率十为末率相乘开方得七四九八九四二一为第三次之中率即以第三次之首率末率两假数相加折半得○八七五○○○○○○○为第三次中率之假数又以第三次所得之中率复为首率十为末率相乘开方得八六五九六四三二为第四次之中率即以第四次之首率末率两假数相加折半得○九三七五○○○○○○为第四次中率之假数又以第四次所得之中率复为首率十为末率相乘开方得九三○五七二○四为第五次之中率即以第五次之首率末率两假数相加折半得○九六八七五○○○○○为第五次中率之假数此所得之中率较之末率去九为近故以第五次所得之中率复为末率仍以第五次之首率为首率相乘开方得八九七六八七一三为第六次之中率即以第六次首率末率两假数相加折半得○九五三一二五○○○○为第六次中率之假数由此递推去九渐近而即以相近之两率比例相求得第七次之中率为九一三九八一七○其假数为○九六○九三七五○○○第八次之中率为九○一七九七七七其假数为○九五七○三一二五○○第九次之中率为九○一七三三三三其假数为○九五五○七八一二五○第十次之中率为八九九七○七九六其假数为○九五四一○一五六二五第十一次之中率为九○○七二○○八其假数为○九五四五八九八四三七第十二次之中率为九○○二一三八八其假数为○九五四三四五七○三一第十三次之中率为八九九九六○八八其假数为○九五四二二三六三二八第十四次之中率为九○○○八七三七其假数为○九五四二八四六六七九第十五次之中率为九○○○二四一二其假数为○九五四二五四一五○三第十六次之中率为八九九九九二五○其假数为○九五四二三八八九一五第十六次之中率为九○○○○八二一其假数为○九五四二四六五二○九第十八次之中率为九○○○○○四一其假数为○九五四二四二七○六二第十九次之中率为八九九九九六五○其假数为○九五四二四○七九八九第二十次之中率为八九九九九八四五其假数为○九五四二四一七五二六第二十一次之中率为八九九九九九四三其假数为○九五四二四二二二九四第二十二次之中率为八九九九九九九二其假数为○九五四二四二四六七八第二十三次之中率为九○○○○○一六其假数为○九五四二四二五八七○第二十四次之中率为九○○○○○○四其假数为○九五四二四二五二七四第二十五次之中率为八九九九九九九八其假数为○九五四二四二四九七六至第二十六次之中率则恰得九○○○○○○○其假数为○九五四二四二五一二五即所求之假数也然所得中率虽爲九而七空位之后尚有竒零故所得之假数犹为稍大故开方之位数愈多则所得之假数愈密也

　　明对数之目用递次自乘求假数法之一
　　凡连比例率之自小而大者以第一率之眞数递次自乘即得加倍各率之眞数以第一率之假数递次加倍即得加倍各率之假数而以各率之假数按率除之即得第一率之假数
　　如以二为连比例第一率其假数为○三○一○二九九九五七以第一率之眞数二自乘得四为第二率之眞数以第一率之假数○三○一○二九九九五七加倍得○六○二○五九九九一三为第二率之假数而以第二率之假数用二除之即得第一率之假数又以第二率之眞数四自乘得十六为第四率之眞数以第二率之假数○六○二○五九九九一三加倍得一二○四一一九九八二六为第四率之假数而以第四率之假数用四除之即得第一率之假数也
　　明对数之目用递次自乘求假数法之二
　　凡连比例率自小而大者其假数之首位旣因眞数之位数而递加故求假数者以所求之眞数为连比例第一率递次自乘即得加倍各率之眞数以第一率假数之首位递次加倍即得加倍各率之假数而眞数自乘又进一位者则假数加倍后又加一数而以各率之假数按次除之即得所求第一率之假数
　　如求二之假数则以二为连比例第一率是为单位故傍纪○即第二率之假数首位为○也又以第一率之眞数二自乘得四为第二率之眞数仍为单位故傍亦纪○卽第二率之假数首位亦为○也又以第二率之眞数四自乘得十六为第四率之眞数是为进前一位故傍纪一即第四率之假数首位为一也又以第四率之眞数十六自乘得二百五十六为第八率之眞数以第四率之假数一倍之得二是为进前二位故傍纪二即第八率之假数首位为二也又以第八率之眞数二百五十六自乘得六万五千五百三十六为第十六率之眞数以第八率之假数二倍之得四是为进前四位故傍纪四即第十六率之假数首位为四也又以第十六率之眞数六万五千五百三十六自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六为第三十二率之眞数以第十六率之假数四倍之得八又因第十六率眞数自乘所得首位乃逢十又进一位之数故将假数加倍所得之八又加一得九是为进前九位故傍纪九即第三十二率之假数首位为九也由此递乘至第一万六千三百八十四率之眞数则自单位以前共得四千九百三十二位故傍纪四九三二为第一万六千三百八十四率之假数以一万六千三百八十四除之得○三○一○即为第一率二之假数葢以一万除四千为实不足法一倍则其首位必为○也然其位数尚少故仅得五位若再递乘至第一千三百七十四亿四千六百九十五万三千四百七十二率之眞数则自单位以前共得四百一十三亿七千五百六十五万五千三百零七位即其假数为四一三七五六五五三○七以率数除之得○三○一○二九九九五六六即为第一率二之假数也此法葢因眞数进一位则假数首位加一数今递乘所得之眞数既得若干位则其假数首位必加若干数乃以首位为单位递进向前者也而连比例各率之假数以率数除之即得第一率之假数故以率数除之所得第一率之假数为首位以后之零数也

　　明对数之目用递次开方求假数法之一
　　凡连比例率之自大而小者以第一率之眞数递次开方即得加倍各率之眞数以第一率之假数递次折半即得加倍各率之假数而以各率之假数按率乘之即得第一率之假数
　　如以二百五十六为连比例第一率其假数为二四○八二三九九六五三以第一率之眞数二百五十六开方得十六为第二率之眞数以第一率之假数二四○八二三九九六五三折半得一二○四一一九九八二六为第二率之假数而以第二率之假数用二乘之即得第一率之假数又以第二率之眞数十六开方得四为第四率之眞数以第二率之假数一二○四一一九九八二六折半得○六○二○五九九九一三为第四率之假数而以第四率之假数用四乘之即得第一率之假数
　　明对数之目用递次开方求假数法之二
　　凡递次开方率皆用二倍葢眞数开方假数折半而折半即二归故递次折半之假数以递次加倍之率数乘之即得第一率之假数
　　如原数为第一率加倍得二为第一次开方之率数【葢折半即二归以二归者复用二乘必仍得原数也】又加倍得四为第二次开方之率数【葢折半二次即四归以四归者复用四乘必亦得原数也】递次加倍则第三次之率为八第四次之率为十六第五次之率为三十二第六次之率为六十四第七次之率为一百二十八第八次之率为二百五十六第九次之率为五百一十二第十次之率为一千零二十四第二十次之率为一百零四万八千五百七十六第三十次之率为十亿七千三百七十四万一千八百二十四第四十次之率为一兆零九百九十五亿一千一百六十二万七千七百七十六第五十次之率为一千一百二十五兆八千九百九十九亿零六百八十四万二千六百二十四凡有眞数求假数皆以所求之数为第一率眞数开方几次则假数必折半几次今虽无第一率之假数而苟得其折半第几次之假数则加倍几次必得第一率之假数故以加倍第几次之率数与折半第几次之假数相乘即得第一率之假数也
　　明对数之目用递次开方求假数法之三
　　凡眞数不可与假数为比例者因眞数开方假数折半其相比之分数不同若开方至于数十次则开方之数即与折半之数相同故假数即可用眞数比例而得是以凡求假数者皆以其眞数开方至几十次与此所得之假数相比即得其开方第几十次之假数按前率数乘之即得所求之假数如眞数为一十假数为一○以眞数一十开方得三一六二二七七六六○一六八三七九三三一九九八八九三五四第二次开方得一七七八二七九四一○○三八九二二八○一一九七三○四一三第三次开方得一三三三五二一四三二一六三三二四○二五六六五三八九三○八第四次开方得一一五四七八一九八四六八九四五八一七九六六一九一八二一三第五次开方得一○七四六○七八二八三二一三一七四九七二一三八一七六五三八第六次开方得一○三六六三二九二八四三七六九七九九七二九○六二七三一三一第七次开方得一○一八一五一七二一七一八一八一八四一四七三七二三八一四四如此递次开方至第五十四次则得一○○○○○○○○○○○○○○○一二七八一九一四九三二○○三二三五而与第五十三次开方所得折半之数同是故眞数即可与假数为比例矣乃以一十之假数一○折半得○五第二次折半得○二五第三次折半得○一二五第四次折半得○○六二五第五次折半得○○三一二五第六次折半得○○一五六二五第七次折半得○○○七八一二五如此递次折半亦至第五十四次则得十七空位五五五一一一五一二三一二五七八二七○即为第五十四次开方之假数于是以眞数之零数一二七八一九一四九三二○○三二三五为一率假数之零数五五五一一一五一二三一二五七八二七○为二率眞数之零数一为三率【一率为十七位则三率亦加十六空位以足其分】得四率四三四二九四四八一九○三二五一八○四即为一○○○○○○○○○○○○○○○一之假数前亦仍得十七空位盖真数为一则假数为○今真数之零数即比一多之较假数之零数即比○多之较故以真数之较与假数之较为比例也凡求假数者皆以真数开方至几十次首位得一又得十五空位则以其后之零数与此所得之假数为比例即得其开方第几十次之假数按前率数乘之即得第一率之假数也

　　明对数之目用递次开方求假数法之四
　　凡真数首位为一者则开方首位必得一若首位非一者则以真数递乘几次使首位得一即以递乘所得之真数递次开方至得十五空位乃以其后之零数与前法所得一○○○○○○○○○○○○○○○一之假数相比例即得开方第几次之假数按前率数乘之即得递乘所得真数之假数再看递乘所得真数为连比例第几率则以第几率之数除之即得所求之假数

　　如求二之假数则以二为连比例第一率递次乘之第二率得四第三率得八第四率得十六第五率得三十二第六率得六十四第七率得一百二十八第八率得二百五十六第九率得五百一十二第十率得一千零二十四是首位既得一又得一空位乃以此数命为第一率其首位之一千命为单位开方得一○一一九二八八五一二五三八八一三八六二三九七第二次开方得一○○五九四六七四三七四六三四八三二六六五四二四第三次开方得一○○二九六八九六四四九八○七八七三七三六二六八第四次开方得一○○一四八三三八二○三七九○四一八○三○一八三八第五次开方得一○○○七四一四一六一六九九八三五三三六二四九○六第六次开方得一○○○三七○六三六三九八二一○○一四○七一七六一五第七次开方得一○○○一八五三○二五三○五九一○八五三○五八二七七如此递次开方至第十七次则得一○○○○○○一八○九四二七五四八四四五三四三六三九五○一五四四第二十七次则得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二第三十七次则得一○○○○○○○○○○○○一七二五六○四四二四二三二五九四三四七七第四十七次则得一○○○○○○○○○○○○○○○一六八五一六○五七○五三九四九七七是已得十五空位矣乃以前法所得眞数之零数一为一率【三率有十七位则一率亦加十六空位以足其分】其假数十七空位后之零数四三四二九四四八一九○三二五一八○四为二率今所得眞数之零数一六八五一六○五七○五三九四九七七为三率得四率七三一八五五九三六九○六二三九二六八即为开方第四十七次之假数前亦仍为十七空位以加倍四十七次之率数一四○七三七四八八三五五三二八乘之得○○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五即为第一率一○二四之假数【葢开方第四十七次之假数为十八位前十七空位共三十五位今相乘得三十三位故前止有二空位亦共三十五位也此截用二十一位】然一○二四首位之一开方虽命为单位而其实则为千位千之假数首位应为三故首位加三得三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五是为一千零二十四之假数又因一千零二十四为二之连比例第十率故以十归之得○三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五即为所求之连比例第一率二之假数也
　　明对数之目用递次开方求假数法之五
　　凡求假数眞数开方之次数愈多则所得之假数愈密然用假数不过至十二位观前递次开方表内至九空位以后其开方之数与折半之数已同七位其零数所差甚微故眞数开方至二十七次即可以立率
　　如求二之假数按前法递次乘之至第十率得一○二四开方至二十七次得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二是已得九空位矣于是察前眞数一○递次开方表内第三十四次数得一○○○○○○○○○一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七亦为九空位即以其眞数之零数一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七为一率其假数十一空位后之零数五八二○七六六○九一三四六七四○七二二六五六二五为二率眞数之零数一为三率【一率为二十一位则三率亦加二十空位以足其分】得四率四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五即为一○○○○○○○○○一之假数前亦仍为十一空位乃即用此数为比例以眞数之零数一为一率【三率为二十二位则一率亦加二十一空位以足其分】其假数十一空位后之零数四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五为二率今以一○二四开方二十七次所得之零数一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二为三率得四率七六七四○六五七○九一三七七○八九○七○一四三九即为一○二四开方第二十七次之假数前亦仍为十一空位以加倍二十七次之率数一三四二一七七二八乘之得○○一○二九九九五六六四○○即为第一率一○二四之假数与前法所得之数同【前法得三九八収之亦为四○○以后竒零防有不合止截用十二位】再按前法首位加三而以率数十归之即得○三○一○二九九九五六六四○为二之假数也此法较之前法开方省二十次而所得之数同故求假数者用此法亦便也
　　明对数之目用递次开方求假数法之六
　　凡开方之数与折半之数虽不同然而不同之较递次渐少故又有相较之法至开方第十次以后则以较数相减即得开方之数
　　如求六之假数以六为连比例第一率递次乘之得连比例第九率为一千零七万七千六百九十六乃以此数命为第一率其首位之一千万命为单位开方得一○○三八七七二八三三三六九六二四五六六三八四六五五一第二次开方得一○○一九三六七六六一三六九四六六一六七五八七○二二九第三次开方得一○○○九六七九一四六三九○九九○一七二八八九○七二○第四次开方得一○○○四八三八四○二六八八四六六二九八五四九二五三五第五次开方得一○○○二四一八九○八七八八二四六八五六三八○八七二七与第四次开方所得折半之数渐近乃以第四次开方所得数折半【首位之一不折半葢首位之一诸次开方皆同其数不变也】得二四一九二○一三四四二三三一四九二七四六二六七与第五次开方所得数相减余二九二五五五九八六二九二八九三七五四○为第五次之较设使有第五次之较则将第四次开方所得数折半内减第五次之较即第五次开方所得数然第五次之较乃与第五次开方数相减而得故第五次犹必用开方也第六次开方得一○○○一二○九三八一二六三九七一三四五九四三九一九四又以第五次开方所得数折半得一二○九四五四三九四一二三四二八一九○四三六三与第六次开方所得数相减余七三一三○一五二○八二二四六五一六九为第六次之第一较又将第五次之较四归之得七三一三八九九六五七三二二三四三八五与第六次之第一较相减余八八四四四九○九七六九二一五为第六次之第二较设使有第二较则将第五次之较四归之内减第六次之第二较即为第六次之第一较将第五次开方所得数折半内减第六次之第一较即第六次开方所得数然第二较乃与第一较相减而得而第一较乃与第六次开方数相减而得故第六次犹必用开方也第七次开方得一○○○○六○四六七二三五○五五三○九六八○一六○○五又以第六次开方所得数折半得六○四六九○六三一九八五六七二九七一九五九七与第七次开方所得数相减余一八二八一四三二五七六一七○三五九二为第七次之第一较又将第六次之第一较四归之得一八二八二五三八○二○五六一六二九二与第七次之第一较相减余一一○五四四四三九一二七○○为第七次之第二较又将第六次之第二较八归之得一一○五五六一三七二一一五二与第七次之第二较相减余一一六九八○八四五二为第七次之第三较设使有第三较则将第六次之第二较八归之内减第七次之第三较即为第七次之第二较将第六次之第一较四归之内减第七次之第二较即为第七次之第一较将第六次开方所得数折半内减第七次之第一较即第七次开方所得数然第三较乃与第二较相减而得第二较乃与第一较相减而得而第一较乃与第七次开方数相减而得故第七次犹必用开方也第八次开方得一○○○○三○二三三一六○五○五六五七七五九六四七九四又以第七次开方所得数折半得三○二三三六一七五二七六五四八四○○八○○二与第八次开方所得数相减余四五七○二一九九七○八○四三二○八为第八次之第一较又将第七次之第一较四归之得四五七○三五八一四四○四二五八九八与第八次之第一较相减余一三八一七三二三八二六九○为第八次之第二较又将第七次之第二较八归之得一三八一八○五四八九○八七与第八次之第二较相减余七三一○六三九七为第八次之第三较又将第七次之第三较十六归之得七三一一三○二八与第八次之第三较相减余六六三一为第八次之第四较设使有第四较则将第七次之第三较十六归之内减第八次之第四较即为第八次之第三较将第七次之第二较八归之内减第八次之第三较即为第八次之第二较将第七次之第一较四归之内减第八次之第二较即为第八次之第一较将第七次之开方数折半内减第八次之第一较即第八次开方数然第四较乃与第三较相减而得第三较乃与第二较相减而得第二较乃与第一较相减而得而第一较乃与第八次开方数相减而得故第八次犹必用开方也至第九次开方得一○○○○一五一一六四六五九九九○五六七二九五○四八八又以第八次开方数折半得一五一一六五八○二五二八二八八七九八二三九七与第九次开方数相减余一一四二五三七七二一五○三一九○九为第九次之第一较又将第八次之第一较四归之得一一四二五五四九九二七○一○八○二与第九次之第一较相减余一七二七一一九七八八九三为第九次之第二较又将第八次之第二较八归之得一七二七一六五四七八三六与第九次之第二较相减余四五六八九四三为第九次之第三较又将第八次之第三较十六归之得四五六九一五○与第九次之第三较相减余二○七为第九次之第四较又将第八次之第四较三十二除之亦得二○七与第九次之第四较同故自第十次以后则不用开方【若间方止用二十二位则第八次之第三较已同至第九次即不用开方亦不用第四较】即以第九次之第四较三十二除之得六为第十次之第四较将第九次之第三较十六除之得二八五五五八内减第十次之第四较余二八五五五二即为第十次之第三较将第九次之第二较八归之得二一五八八九九七三六一内减第十次之第三较余二一五八八七一一八○九即为第十次之第二较将第九次之第一较四归之得二八五六三四四三○三七五七九七七内减第十次之第二较余二八五六三二二七一五○四六一六八即为第十次之第一较将第九次开方所得数折半得七五五八二三二九九九五二八三六四七五二四四内减第十次之第一较又加首位之一得一○○○○○七五五八二○四四三六三○一二一四二九○七六即为第十次开方所得数也至第十一次则将第十次之第四较三十二除之不足一倍故无第四较而以第十次之第三较十六除之得一七八四七即为第十一次之第三较将第十次之第三较八归之得二六九八五八八九七六内减第十一次之第三较余二六九八五七一一二九即为第十一次之第二较将第十次之第一较四归之得七一四○八○六七八七六一五四二内减第十一次之第二较余七一四○七七九八○一九○四一三即为第十一次之第一较将第十次开方所得数折半得三七七九一○二二一八一五○六○七一四五三八内减第十一次之第一较又加首位之一得一○○○○○三七九九○九五○七七三七○八○五二四一二五即为第十一次开方所得数也由此递推至第二十三次开方数得一○○○○○○○○○九二二六二八八九一○四三○七六六七是已得九空位矣乃以前法所得眞数之零数一为一率【三率截用十四位则一率亦加十三空位以足其分】其假数十一空位后之零数四三四二九四四八一八七四一四为二率【截用十四位以从简易】今开方二十三次所得之零数九二二六二八八九一○四三○七为三率得四率四○○六九二六三六一九七六五二即为开方第二十三次之假数前则为十空位【二率有十四位而其前为十一空位今四率得十五位故前为十空位】以加倍二十三次之率数八三八八六○八乘之得○○○三三六一二五三四五【葢开方第二十三次之假数为十五位并前十空位共二十五位今相乘得二十二位故前止有三空位亦共为二十五位也此截用十二位】即为第一率一○○七七六九六之假数然首位之一开方虽命为单位其实则为千万千万之假数首位应为七故首位为七得七○○三三六一二五三四五是为一千零七万七千六百九十六之假数又因其为连比例第九率故用九归之得○七七八一五一二五○三八即为连比例第一率六之假数也
　　明对数之目用递次开方求假数法之七
　　凡求假数先求得一至九一一至一九一○一至一○九一○○一至一○○九以及三○位零一至九四空位零一至九五空位零一至九六空位零一至九七空位零一至九八空位零一至九九空位零一至九之九十九数而他数皆由此生然此九十九数内有以两数相乘除而得者则以两假数相加减即为所求眞数之假数至五空位以后则又可以比例而得不必逐一而求也
　　如一至九之九数惟二三七之三数用前递次开方求假数法求之至于四则系二与二相乘所得之数故以二之假数○三○一○二九九九五六六倍之得○六○二○五九九九一三三即为四之假数至于五系以二除十所得之数故以二之假数与十之假数相减余○六九八九七○○○四三四即为五之假数至于六系二与三相乘所得之数故以二之假数与三之假数相加得○七七八一五一二五○三八即为六之假数【或先得六之假数内减二之假数即得三之假数】至于八系二与四相乘所得之数故以二之假数与四之假数相加得○九○三○八九九八六九九即为八之假数至于九系三与三相乘所得之数故以三之假数○四七七一二一二五四七二倍之得○九五四二四二五○九四四即为九之假数【或先得九之假数折半即得三十假数】如一一至一九之九数惟一一一三一七一九之四数用前递次开方求假数法求之至于一二系二与六相乘所得之数故以二之假数与六之假数相加得一○七九一八一二四六○四为一十二之假数内减首位之一余○○七九一八一二四六○四即为一二之假数【葢自一一至九空位零九其首位之一皆为单位首位以下为小余试将一十二以十除之仍得一二则其首位之一即为单位二为小余故于十二之假数内减首位之一即减去十之假数而所余为一二之假数也】至于一四乃二与七相乘所得之数故以二之假数与七之假数相加得一一四六一二八○三五六七为一十四之假数内减首位之一余○一四六一二八○三五六七即为一四之假数至于一五乃三与五相乘所得之数故以三之假数与五之假数相加得一一七六○九一二五九○六为一十五之假数内减首位之一余○一七六○九一二五九○六即为一五之假数余皆仿此【详见对数阐防】至于一○○○○○一以后之假数则即可用前递次开方表内相近数比例而得之如求一○○○○○一之假数则以前表内开方第二十一次眞数五空位后之零数一○九七九五八七三五为一率【截用十位以从简便】其假数七空位后之零数四七六八三七一五八二为二率【亦截用十位】今眞数之零数一为一率【添九空位以足其分】得四率四三四二九四三有余前亦仍为七空位【因假数止用十二位故四率止求七位并七空位为十四位已为足用】截前十二位得○○○○○○○四三四二九即为一○○○○○一之假数二因之得○○○○○○○八六八五九【第十三位满五则进一数余仿此】即为一○○○○○二之假数三因之得○○○○○○一三○二八八即为一○○○○○三之假数又以前表内开方第十九次眞数五空位后之零数四三九一八四二一七三为一率其假数六空位后之零数一九○七三四八六三二为二率今眞数之零数四为三率【添九空位以足其分】得四率一七三七一七四○前亦仍为六空位截前十二位得○○○○○○一七三七一七即为一○○○○○四之假数【不以前所得四率四因之者因前所得一○○○○○一之假数四因之则防小且表内第十九次开方数与此所求眞数相近故又用比例以求其准】将所得一○○○○○四之假数四归五因【将一○○○○○四之假数四归五因者因欲得一○○○○○一之假数而以五因之也】得○○○○○○二一七一四七即为一○○○○○五之假数将所得一○○○○○四之假数四归六因得○○○○○○二六○五七六即为一○○○○○六之假数又以前表内开方第十八次眞数五空位后之零数八七八三七○三六三四为一率其假数六空位后之零数三八一四六九七二六五为二率今眞数之零数七为三率得四率三○四○○四八○前亦仍为六空位截前十二位得○○○○○○三○四○○五即为一○○○○○七之假数【不以前所得四率四归七因者因前所得一○○○○○四之假数四归七因之则防小且表内第十八次开方数与此所求眞数相近故又用比例以求其准】将所得一○○○○○七之假数七归八因得一○○○○○三四七四三四即为一○○○○○八之假数又将所得一○○○○○七之假数七归九因得○○○○○○三九○八六三即为一○○○○○九之假数至于一○○○○○○一以后之假数则并不用比例葢五空位零一之假数为四三四二九而前所得十五空位零一之假数亦为四三四二九其假数皆相同但递退一位故以五空位零一至九之假数从未截去一位【末位满五以上则进一数】前添一空位即得六空位零一至九之假数以六空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得七空位零一至九之假数以七空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得八空位零一至九之假数以八空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得九空位零一至九之假数
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十八>
　　明对数之目用前所得九十九数求他假数法之一
　　凡求假数既得前九十九数而他数有由此乘除而得者则以假数相加减即得所求之假数其不由乘除而得者谓之数根【因无他数可以度尽即算法原本所谓连比例之至小数】则其假数亦不可以加减而得然有虽为数根而前九十九数中有为其根所生者则逆求之即得原根之假数
　　如前九十九数首位既皆为单位则以十乘之即为十以百乘之即为百以千乘之即为千以万乘之即为万故以二之假数与一十之假数相加即为二十之假数与一百之假数相加即为二百之假数与一千之假数相加即为二千之假数与一万之假数相加即为二万之假数又如十一之假数与一十之假数相加即为一百一十之假数以一○五之假数与一百之假数相加即为一百零五之假数与一千之假数相加即为一千零五十之假数眞数同则假数亦同但眞数进一位则假数首位加一数耳又如三与七相乘得二十一则以三之假数与七之假数相加即为二十一之假数二与十一相乘得二十二则以二之假数与十一之假数相加即为二十二之假数至于二十三二十九之类则不以乘除而得是为数根若夫五十三虽亦为数根然以五十三与二相乘则得一百零六前既得一○六之假数则与一百之假数相加即为一百零六之假数内减二之假数即为五十三之假数由此类推数自繁衍而其不可以乘除而得者则又以累乘累除之法而得之【详见后】要未有出于前九十九数之外者也
　　明对数之目用前所得九十九数求他假数法之二
　　凡求假数其眞数有以累乘而得者则以假数累加之即得所求之假数
　　如二万零七百零三为二万与一○三及一○○五累乘所得之数则以二万之假数四三○一○二九九九五六六与一○三之假数○○一二八三七二二四七一及一○○五之假数○○○二一六六○六一七六相加得四三一六○三三二八二一三即为二万零七百零三之假数若先有假数四三一六○三三二八二一三求眞数则视假数内足减二万之假数即以二万之假数书于原假数下相减余○○一五○○三二八六四七足减一○三之假数即以一○三之假数书于减余之下相减余○○○二一六六○六一七六与一○○五之假数恰合是知其假数为二万与一○三及一○○五之三假数相加所得之数则其眞数即知为三眞数累乘所得之数矣乃以二万与一○三相乘得二万零六百再以一○○五乘之得二万零七百零三即为所求之眞数也
　　明对数之目用前所得九十九数求他假数法之三
　　凡求假数而不知其眞数为何数累乘而得者则以所知前位之整数累除之除得累乘之眞数则以其假数累加之即得所求之假数
　　如求二十三之假数而不知其为何数累乘而得但知二十之假数为一三○一○二九九九五六六则以二十三为实以二十为法除之得一一又以两层所减数按位相加得二二即二十与一一相乘之数以之为法除原实二十三得一○四又以两层所减数按位相加得二二八八即二二与一○四相乘之数以之爲法除原实二十三得一○○五又以两层所减数按位相加得二二九九四四即二二八八与一○○五相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○二又以两层所减数按位相加得二二九九八九九八八八即二二九九四四与一○○○二相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○四又以两层所减数按位相加得二二九九九九一八八四【法止用十位故第十一位满五以上者进一数用若不满五则去之】即二二九九八九九八八八与一○○○○四相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○三又以两层所减数相加得二二九九九九八七八四即二二九九九九一八八四与一○○○○○三相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○五又以两层所减数按位相加得二二九九九九九九三四即二二九九九九八七八四与一○○○○○○五相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○○二又以两层所减数按位相加得二二九九九九九九八○即二二九九九九九九三四与一○○○○○○○二相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○○○八又以两层所减数按位相加得二二九九九九九九九八即二二九九九九九九八○与一○○○○○○○○八相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○○○○八是知二十三系二十与一一及一○四一○○五一○○○二一○○○○四一○○○○○三一○○○○○○五一○○○○○○○二一○○○○○○○○八一○○○○○○○○○八累乘所得之数乃以其各假数累加之得一三六一七二七八三六○六即为二十三之假数也若先有假数一三六一七二七八三六○六求眞数则视假数内足减二十之假数即以二十之假数书于原假数之下相减余○○六○六九七八四○四○足减一一之假数即以一一之假数书于减余之下相减余○○一九三○五一五五二四足减一○四之假数即以一○四之假数书于减余之下相减余○○○二二七一八一五九四足减一○○五之假数即以一○○五之假数书于减余之下相减余○○○○一○五七五四一八足减一○○○二之假数即以一○○○二之假数书于减余之下相减余○○○○○一八九○三九七足减一○○○○四之假数即以一○○○○四之假数书于减余之下相减余○○○○○○一五三二五四足减一○○○○○三之假数即以一○○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○二二九六六足减一○○○○○○五之假数即以一○○○○○○五之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○一二五一足减一○○○○○○○二之假数即以一○○○○○○○二之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○三八二足减一○○○○○○○○八之假数即以一○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○○三五足减一○○○○○○○○○八之假数即以一○○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减恰尽是知其假数为此十一假数累加所得之数而眞数即为此十一眞数累乘所得之数乃以此十一眞数累乘之得二十三即为所求之眞数也
　　又如求五千六百八十九之假数而不知其为何数累乘而得但知五千六百之假数为三七四八一八八○二七○○则以五千六百八十九为实以五千六百为法除之得一○一又以两层所减数按位相加得五六五六即五千六百与一○一相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○五又以两层所减数按位相加得五六八四二八即五六五六与一○○五相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○八又以两层所减数按位相加得五六八八八二七四二四即五六八四二八与一○○○八相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○三又以两层所减数按位相加得五六八八九九八○八九即五六八八八二七四二四与一○○○○三相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○三又以两层所减数按位相加得五六八八九九九七九六即五六八八九九八○八九与一○○○○○○三相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○○三又以两层所减数按位相加得五六八八九九九九六七即五六八八九九九七九六与一○○○○○○○三相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○○○五又以两层所减数按位相加得五六八八九九九九九五即五六八八九九九九六七与一○○○○○○○○五相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○○○○八是知五千六百八十九系五千六百与一○一及一○○五一○○○八一○○○○三一○○○○○○三一○○○○○○○三一○○○○○○○○五一○○○○○○○○○八累乘所得之数乃以其各假数累加之得三七五五○三五九三三七一即为五千六百八十九之假数也若先有假数三七五五○三五九三三七一求眞数则视假数内足减五千六百之假数即以五千六百之假数书于原假数之下相减余○○○六八四七九○六七一足减一○一之假数即以一○一之假数书于减余之下相减余○○○二五二六五三二九三足减一○○五之假数即以一○○五之假数书于减余之下相减余○○○○三六○四七一一七足减一○○○八之假数即以一○○○八之假数书于减余之下相减余○○○○○一三一七四四八足减一○○○○三之假数即以一○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○一四五八四足减一○○○○○○三之假数即以一○○○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○一五五五足减一○○○○○○○三之假数即以一○○○○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○二五二足减一○○○○○○○○五之假数即以一○○○○○○○○五之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○○三五足减一○○○○○○○○○八之假数即以一○○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减恰尽是知其假数为此九假数累加所得之数而眞数即为此九眞数累乘所得之数乃以此九眞数累乘之得五千六百八十九即为所求之眞数也

　　求八线对数
　　凡求八线之假数定半径为一百亿位数既多为用愈密且眞数十一位则假数首位为一○又取其便于用也先以正余之眞数求得假数复以正余之假数加减之即得切线割线之假数如一分之正为二九○八八八二求其假数得六四六三七二六一一○九又如六十度之正为八六六○二五四○三八求其假数得九九三七五三○六三一七如求六十度切线之假数则以六十度正之假数九九三七五三○六三一七为二率半径之假数一○○○○○○○○○○○为三率六十度余之假数九六九八九七○○○四三为一率二三率相加内减一率余一○二三八五六○六二七四即六十度正切线之假数如求六十度割线之假数则以半径之假数一○○○○○○○○○○○为二率又为三率六十度余之假数九六九八九七○○○四三为一率二率倍之内减一率余一○三○一○二九九九五七即六十度正割线之假数也

　　对数用法
　　设如一百二十三与四百五十六相乘问得几何法以对数表之一二三之假数二○八九九○五一一一四与四五六之假数二六五八九六四八四二七相加得四七四八八六九九五四一乃查假数四七四八八六九九五四一所对之眞数得五六○八八即五万六千零八十八为相乘所得之数也
　　设如三千四百五十六与二千六百七十九相乘问得几何
　　法以对数表之三四五六之假数三五三八五七三七三三八与二六七九之假数三四二七九七二七一三六相加得六九六六五四六四四七四因对数表假数首位止于四眞数止于五位故将相加所得假数首位之六暂当四查假数四九六六五四六四四七四相近畧少者为四九六六五四五三二一六其相对之眞数得九二五八六即为九二五八六○○【因假数首位多二数则眞数必多二位】又以九二五八六○○之假数与九二五八七○○之假数相减余四六九○七为一率以九二五八六○○与九二五八七○○相减余一○○为二率今相加所得之假数与九二五八六○○之假数相减余一一二五八为三率得四率二四即眞数九二五八六之后二位之数葢假数多四六九○七则眞数多一百今假数多一一二五八则眞数应多二十四为比例四率也乃以所得二四与九二五八六○○相加得九二五八六二四即九百二十五万八千六百二十四为相乘所得之数也大凡眞数二四位以后其假数之较相差无多故眞数即可与假数为比例若用前累乘累除之法固为甚密然较之比例则难而得数则同此对数表所以止于五位也
　　设如三千七百四十四以十六除之问得几何法以对数表之三七四四之假数三五七三三三五八四○一内减一六之假数一二○四一一九九八二七余二三六九二一五八五七四乃查假数二三六九二一五八五七四所对之眞数得三三四即二百三十四为归除所得之数也
　　设有米三十二石令一千零二十四人分之问毎一人应得几何
　　法以对数表之三二之假数首位加二为三五○五一四九九七八三【因法之假数大于实之假数故以实之假数加二即如以实之眞数加两空位也】内减一○二四之假数三○一○二九九九五六六余○四九四八五○○二一七因假数首位为○卽知眞数应得单位其得数首位为升仍以假数首位加三查三四九四八五○○二一七所对之眞数得三一七五【因眞数得四位故将假数首位作三查表若眞数求五位则将假数首位作四查表或五位后仍有余数则用比例求之】即三升一合二勺五撮为毎人所应得之数也
　　设如甲乙丙直角形甲角五十度丙角四十度甲乙边十二丈求丙乙边丙甲边各几何
　　法以甲角五十度之正假数九八八四二五三九六六五与甲乙边十二丈【作一二○○○】之假数四○七九一八一二四六○相加得一三九六三四三五二一二五内减丙角四十度之正假数九八○八○六七四九六七余四一五五三六七七一五八为丙乙边之假数查假数相近所对之眞数得一四三○一即一十四丈三尺零一分为丙乙边也求丙甲边则以乙角九十度之正假数一○○○○○○○○○○○【即半径之数】与甲乙边十二丈之假数四○七九一八一二四六○相加得一四○七九一八一二四六○内减丙角四十度之正假数九八○八○六七四九六七余四二七一一一三七四九三为丙甲边之假数查假数相近所对之眞数得一八六六九即一十八丈六尺六寸九分为丙甲边也
　　设如甲乙丙三角形甲角五十度甲乙边十六丈甲丙边十二丈问丙角乙角及乙丙边各若干法以甲乙边十六丈与甲丙边十二丈相加得二十八丈为边总甲乙边与甲丙边相减余四丈为边较甲角五十度与一百八十度相减余一百三十度折半为六十五度为半外角乃以边较四丈【作四○○○】之假数三六○二○五九九九一三与半外角六十五度之正切假数一○三三一三二七四五二二相加得一三九三三三八七四四三五内减边总二十八丈【作二八○○○】之假数四四四七一五八○三一三余九四八六二二九四一二二爲半较角正切之假数查正切假数相近所对之眞数得十七度二分为半较角与半外角相加得八十二度二分为对甲乙大边之丙角与半外角六十五度相减余四十七度五十八分为对甲丙小边之乙角也又求丙乙边则以五十度之正假数九八八四二五三九六六五与十六丈【作一六○○○】之假数四二○四一一九九八二七相加得一四○八八三七三九四九二内减丙角八十二度二分之正假数九九九五七八八二○九八余四○九二五八五七三九四为丙乙边之假数查假数相近所对之眞数得一二三七六即一十二丈三尺七寸六分为丙乙边也凡眞数用加减然后比例者须以眞数加减得数再查假数依法算之余皆仿此
　　设如六十四自乘问得几何
　　法以对数表之六四之假数一八○六一七九九七四○用二因之得三六一二三五九九四八○仍查假数所对之眞数得四○九六即四千零九十六为自乘所得之数也葢自乘两数相同则其两假数亦相同故二因之即如二假数相加也
　　设如正方面积三百六十一尺开平方问毎一边数几何
　　法以对数表之三六一之假数二五五七五○七二○一九折半得一二七八七五三六○○九仍查假数所对之眞数得一九即一十九尺为开平方所得毎边之数也葢正方面积之假数乃以毎边之假数加倍所得之数故折半即得毎边之假数对其眞数即得毎边之数也
　　设如正方面积一百五十二万二千七百五十六尺开平方问毎一边数几何
　　法先以方积前五位一五二二七查得假数为四一八二六一四三四七七因方积系七位今止查得五位仍余二位故将假数首位之四加二得六一八二六一四三四七七即为一五二二七○○之假数又以一五二二七○○与一五二二八○○相减余一○○为一率以一五二二七○○之假数与一五二二八○○之假数相减余二八五二○四为二率方积之后二位数五六为三率得四率一五九七○四葢眞数多一百则假数多二八五二○四今眞数多五十六则假数应多一五九七一四为比例四率也乃以所得四率与一五二二七○○之假数相加得六一八二六三○三一九一即为一五二二七五六之假数折半得三○九一三一五一五九六仍查假数所对之眞数得一二三四即一千二百三十四尺为开平方所得毎边之数也
　　又防法以一五二二七之假数首位加二得六一八二六一四三四七七即为一五二二七○○之假数折半得三○九一三○七一七三八查假数相近畧大者【葢一五二二七○○之假数畧少于一五二二七五六之假数则其折半之假数亦必畧少于一二三四之假数亦取畧大者用之】对其眞数得一二三四即为毎边之数也此法因方根止四位查表即得不用比例故以方积前五位查表后有几位则假数首位加几数折半查假数相近者即可得之若方根过五位以上者须用比例则以方积查假数亦须用比例方得密合
　　设如正方面积一百五十二兆四千一百五十七亿六千五百二十七万九千三百八十四尺问毎一边数几何
　　法以方积前五位一五二四一查得假数为四一八三○一三四六三一因方积系十五位今止查得五位仍余十位故将假数首位之四加十得一四一八三○一三四六三一即为一五二四一○○○○○○○○○○之假数又以一五二四一○○○○○○○○○○与一五二四二○○○○○○○○○○相减截用六空位得一○○○○○○为一率以一五二四一之假数与一五二四二之假数相减余二八四九四二为二率方积后十位数截用前六位得五七六五二七为三率【因表中假数止于十一位则眞数亦止须用十一位虽眞数后再多几位其假数前十一位亦相同故查表用五位比例用六位共为十一位】得四率一六四二七七与一五二四一○○○○○○○○○○之假数相加得一四一八三○二九八九○八即为一五二四一五七六五二七○○○○之假数亦即同于一五二四一五七六五二七九三八四之假数折半得七○九一五一四九四五四因假数首位为七即知眞数应得八位今对数表假数首位止于四眞数止于五位故将折半所得假数首位之七减去三得四○九一五一四九四五四查假数相近畧少者为四○九一四九一○九四三对其眞数得一二三四五即为一二三四五○○○【因假数首位多三数则眞数进三位】又以一二三四五○○○之假数与一二三四六○○○之假数相减余三五一七八三为一率以一二三四五○○○与一二三四六○○○相减余一○○○为二率今折半所余之假数与一二三四五○○○之假数相减余二三八五一一为三率得四率六七八与一二三四五○○○相加得一二三四五六七八即一千二百三十四万五千六百七十八尺为开平方所得毎一边之数也
　　设如勾二十七尺股三十六尺求若干
　　法以对数表之二七之假数一四三一三六三七六四二倍之得二八六二七二七五二八四为勾自乘之假数仍查假数所对之眞数得七二九为勾自乘之眞数又以三六之假数一五五六三○二五○○八倍之得三一一二六○五○○一六为股自乘之假数仍查假数所对之眞数得一二九六为股自乘之眞数两自乘之眞数相加【不以两自乘之假数相加者葢假数相加则是相乘故必对其眞数然后相加也】得二○二五为自乘之眞数查其假数得三三○六四二五○二七六折半得一六五三二一二五一三八仍查假数所对之眞数得四五即四十五尺为开方所得之数也
　　设如三十六自乘再乘问得几何
　　法以对数表之三六之假数一五五六三○二五○○八用三因之得四六六八九○七五○二四仍查假数所对之眞数得四六六五六即四万六千六百五十六为自乘再乘所得之数也葢自乘再乘系以方根乘二次则假数亦加二次故以方根之假数三因之即如以方根之假数加二次也其或位数多者依乘法之例推之
　　设如正方体积一万三千八百二十四尺开立方问毎一边数几何
　　法以对数表之一三八二四之假数四一四○六三三七二五一用三归之得一三八○二一一二四一七仍查假数所对之眞数得二四即二十四尺为开立方所得每边之数也葢正方体积之假数乃以毎边之假数三因所得之数故三归之即得每边之假数对其眞数即得毎边之数也其或位数多者依平方之例推之
　　设如方根一十六尺问三乘方积几何
　　法以对数表之一六之假数一二○四一一九九八二七用四因之得四八一六四七九九三○八仍查假数所对之眞数得六五五三六即六万五千五百三十六尺为三乘方之积数也葢三乘方系以方根乘三次则其假数亦加三次故以方根之假数四因之即如以方根之假数加三次也其或位数多者亦依乘法之例推之
　　设如三乘方积二万零七百三十六尺问方根几何法以对数表之二○七三六之假数四三一六七二四九八四二用四归之得一○七九一八一二四六○仍查假数所对之眞数得一二即一十二尺为开三乘方所得方根之数也葢三乘方积之假数乃以方根之假数四因所得之数故四归之即得方根之假数对其眞数即得方根之数也其或位数多者亦依平方之例推之大凡开诸乘方之理亦皆由于连比例葢方根为连比例第一率平方积为第二率立方积为第三率三乘方积为第四率四乘方积为第五率五乘方积为第六率六乘方积为第七率七乘方积为第八率八乘方积为第九率九乘方积为第十率【与借根方比例定位表同】以第一率方根之假数各以率数乘之即得各乘方积之假数而以各乘方积之假数各以率数除之亦即得第一率方根之假数故由三乘方而进之四乘方求积则用五因求根则用五归五乘方求积则用六因求根则用六归推之至于九乘方求积则用十因求根则用十归即至于一百乘方则以方根之假数用一百零一乘之即得方积之假数以方积之假数用一百零一除之即得方根之假数乘除之数愈繁愈见对数之易此对数之大用也

　　御制数理精蕴下编卷三十八
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷三十九
　　末部九
　　比例规解【平分线　分面线　更面线分体线　更体线　五金线】

　　比例规解
　　比例尺代算凡防线面体乘除开方皆可以规度而得然于画图制器尤所必需诚算器之至善者焉究其立法之原总不越乎同式三角形之比例葢同式三角形其各角各边皆为相当之率今张尺之两股为三角形之两腰其尺末相距即三角形之底遂成两边相等之三角形于中任截两边相等之各三角形则其各腰之比例必与各底之比例相当也一曰平分线以御三率一曰分面线一曰更面线以御面羃一曰分体线一曰更体线以御体积一曰五金线以御轻重一曰分圆线一曰正线一曰正切线一曰正割线以御测量并制平仪诸器凡此十线或总归一器或分为数体任意为之无所不可今将各线之分法及用法并着于篇此外又有假数尺即用对数及正割切诸线之对数为之用于三率比例测量尤为简捷亦详其法于后

　　平分线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷十九节之法将甲乙甲丙二线俱平分为二百分即为平分线也尺之长短任意为之尺短则平分一百分尺长则平分四五百分或一千分亦可分愈多而用愈便也
　　设如一丁戊线欲加五倍问得几何
　　法以比例尺平分线第十分之己庚二防依丁戊线度展开勿令移动次取平分线第五十分之辛壬二防相离之度作丁癸线即丁戊线之五倍也葢十分之防为己与庚而甲己庚为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底又五十分之防为辛与壬而甲辛壬为两边相等之三角形甲辛甲壬为腰辛壬相距为底此两三角形为同式形故甲庚与己庚之比同于甲壬与辛壬之比而甲庚与甲壬之比亦同于己庚与辛壬之比甲壬既为甲庚之五倍则辛壬必为己庚之五倍而丁癸亦为丁戊之五倍可知矣若欲将丁戊线加十五倍则仍以丁戊线度于十分上定尺取平分线第一百五十分之子丑二防相离之度作寅卯线即为丁戊线之十五倍也若欲将丁戊线加三分之二则将平分线第三十分之辰巳二防依丁戊线度展开勿令移动而取平分线第五十分之午未二防相离之度作申酉线即为丁戊线加三分之二也【以丁戊线为三分而加二分共得五分因三与五之防近枢难用故用三十与五十其比例同也】若有丁癸丁戊二线欲定其比例之分数则将平分线第一百分之戌亥二防依丁癸线度展开勿令移动次取丁戊线度寻至平分线第二十分之干坎二防其相离之度恰符即定为一百分之二十约为五分之一即丁癸丁戊两线之比例也要之用尺之法不外于三率求四率如以一率为腰二率为底而定尺则三率复为腰而其底即四率也以一率为腰三率为底而定尺则二率复为腰而其底亦即四率也若以一率为底二率为腰而定尺则三率复为底而其腰则四率也诸线之用虽各不同其比例之理则一也
　　设如一丁戊线欲分为六分问每分几何
　　法以比例尺平分线第六十分之己庚二防依丁戊线度展开勿令移动次取平分线第十分之辛壬二防相离之度截丁戊线于癸则丁癸即丁戊线六分之一也葢六十分之防为己与庚而甲己庚为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底又十分之防为辛与壬而甲辛壬亦为两边相等之三角形甲辛甲壬为腰辛壬相距为底此两三角形为同式形则甲庚与甲壬之比同于己庚与辛壬之比甲壬既为甲庚六分之一则辛壬必为己庚六分之一而丁癸亦为丁戊线六分之一可知矣若欲分丁戊线为七分则将平分线第七十分之子丑二防依丁戊线度展开勿令移动次取平分线第十分之辛壬二防相离之度截丁戊线于寅则丁寅即丁戊线七分之一也又若丁戊线欲取七分之三则仍以丁戊线度于七十分上定尺而取平分线第三十分之卯辰二防相离之度截丁戊线于己则丁己即丁戊线七分之三也
　　设如有十三人每人给银七两问其银几何
　　法以比例尺平分线第十分之丁戊二防依分厘尺七厘之度展开勿令移动次取平分线第一百三十分之己庚二防相离之度于分厘尺上量之得九分一厘即得共银为九十一两也葢十分之防为丁与戊而甲丁戊为两边相等之三角形甲丁甲戊为腰丁戊相距为底又一百三十分之防为己与庚而甲己庚亦为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底此两三角形为同式形故甲戊十分与甲庚一百三十分之比同于丁戊七厘与己庚九分一厘之比也又以十分当一人故以一百三十分当十三人以七厘当七两故九分一厘即为九十一两葢十分与一人之比同于一百三十分与十三人之比而
　　七厘与七两之比亦同于九分一厘与九
　　十一两之比也设如每官一员每月给公费钱二千二百文共给钱八千八百文问官员几何法以比例尺平分线第二十二分之丁戊二防依分厘尺一分之度展开勿令移动次取平分线第八十八分之己庚二防相离之度于分厘尺上量之得四分即得官四员也葢二十二分之防为丁与戊而甲丁戊为两边相等之三角形甲丁甲戊为腰丁戊相距为底又八十八分之防为己与庚而甲己庚为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底此两三角形为同式形故甲戊二十二分与甲庚八十八分之比同于丁戊一分与己庚四分之比也又以二十二分当钱二千二百故以八十八分当钱八千八百以一分当官一员故四分即为官四员葢二十二分与二千二百之比同于八十八分与八千八百之比而一分与一员之比亦同于四分与四员之比也
　　设如原有粟五斗易布二疋今有粟三石问易布几何
　　法以比例尺平分线第二十分之丁戊二防【四倍五斗之数因五分近枢难用故用四倍之数也】依分厘尺二分之度展开勿令移动次取平分线第一百二十分之己庚二防相离之度【四倍三石之数三石为三十斗故四倍之得一百二十也】于分厘尺上量之得一寸二分即得布十二疋也葢二十分之防为丁与戊一百二十分之防为己与庚而甲丁戊与甲己庚为同式两三角形故甲戊二十分与甲庚一百二十分之比同于丁戊二分与己庚一寸二分之比也又以二十分当五斗为四倍之数故以一百二十分当三石亦为四倍之数以二分当二疋故一寸二分即为十二疋葢二十分与五斗之比同于一百二十分与三石之比而二分与二疋之比亦同于一寸二分与十二疋之比也
　　设如有二十七及十八之两数问其相连比例之三数几何
　　法以比例尺平分线第二十七分之丁戊二防依分厘尺一分八厘之度展开勿令移动次取平分线第十八分之己庚二防相离之度于分厘尺上量之得一分二厘即相连比例之第三数为十二也葢二十七分之防为丁与戊十八分之防为己与庚而甲丁戊与甲己庚为同式三角形故甲戊二十七与甲庚十八之比同于丁戊十八与己庚十二之比也丁戊与甲庚既同为十八即连比例之中率则己庚十二为连比例之第三率无疑矣
　　设如有勾五尺股十二尺问几何
　　法以比例尺平分线甲丁四十分甲戊三十分之丁戊二防依本线五十分之度展开勿令移动次取平分线甲庚五十分【当勾数】甲己一百二十分【当股数】之己庚二防相离之度于本线上量之为一百三十分即得十三尺也葢勾三股四五为勾股之定数今以甲戊三十甲丁四十为两腰而丁戊五十为底则其两腰相交之甲角必为直角故以今有之勾股数为两腰而取其底即为所求之数也若有勾五尺有十三尺而求股则取本线一百三十分之度自五十分之庚防寻至一百二十分之己防其相离之度恰符即得股十二尺矣
　　设如有圆径三十五寸问圆周几何
　　法以比例尺平分线第二十一分之丁戊二防【径率七之三倍也因七分近枢故用三倍之数】依分厘尺三分五厘之度展开勿令移动次取平分线第六十六分之己庚二防相离之度【周率二十二之三倍也因径率用三倍故周率亦三倍之】于分厘尺上量之得一寸一分即一百一十寸为所求之圆周也葢二十一分之防为丁与戊六十六分之防为己与庚而甲丁戊与甲己庚为同式三角形故甲戊二十一与丁戊三分五厘之比同于甲庚六十六与己庚一寸一分之比而甲戊与甲庚既为径与周之比例则丁戊与己庚亦必为径与周之比例矣又甲戊为径率之三倍故甲庚亦用周率之三倍而丁戊以一厘当一寸故己庚亦以一厘当一寸其比例俱相当也

　　分面线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷二十一节之法分之即为分面线也或设正方面界一百厘其积数一万厘以二因之得二万厘开平方得一百四十一厘为积二万厘之根又以三因之得三万厘开平方得一百七十三厘为积三万厘之根照此屡倍积数开平方将所得之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分面线也
　　设如有甲乙丙三正方形甲形每边一寸其积数之比例甲为一分乙为六分丙为九分今欲作一大正方形与甲乙丙三正方形之积等问其边几何法以比例尺分面线第一分之两防【因甲方之积为一分故用一分也】依甲正方形每边一寸之度展开勿令移动乃并三正方面积共十六分即取分面线第十六分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸即所求大正方形之每一边用其度作正方形其积与甲乙丙三正方形之共积等也葢十六分所作正方形原比一分所作正方形大十六倍则十六分相距之度所作正方形亦必比一分相距之度所作正方形大十六倍矣一分相距之度即甲正方形之一边其积为一分则以十六分相距之度所作正方形其积必为十六分与三正方形之共积相等也
　　设如有大小等边三角形小形每边一寸大形每边四寸今欲将两面积相减取其余积作同式等边三角形问其边几何
　　法以比例尺分面线第一分之两防依小形每边一寸之度展开勿令移动次以大形每边四寸之度于分面线上寻至第十六分之两防其相距之度恰合即大形与小形之比例为十六与一相减余十五为较积即取分面线第十五分两防相距之度于分厘尺上量之得三寸八分七厘即较形之每一边也葢大小同式多边形之比例同于相当界所作正方形之比例【见几何原本八卷第九节】今十六分所作正方形与一分所作正方形之比例为十六与一则十六分相距之度所作正方形与一分相距之度所作正方形之比例亦为十六与一矣夫大小两距度即大小两三角形之相当界其所作两正方形之比例既为十六与一则大小两三角形之比例亦必为十六与一矣既得两形之比例乃相减以得较既得较积之比例复用积以求边即得所求之边数也
　　设如有五等边形每边二尺欲三倍其积作同式五等边形问其每边几何
　　法以比例尺分面线第一分之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取第三分两防相距之度于分厘尺上量之得三寸四分五厘即三尺四寸五分为所求大形之每一边用其度作五等边形其积与原形之三倍等也葢大小同式形之比例同于相当界所作正方形之比例【见几何原本八巻第九节】今一分所作正方形与三分所作正方形之比例为一与三则一分相距之度所作正方形与三分相距之度所作正方形之比例亦必为一与三矣夫一分相距之度即原形之界则以三分相距之度为大形之界其积为原形之三倍可知矣又以二寸当原形之边二尺故三寸四分五厘即为三尺四寸五分也
　　设如有六等边形每边三尺欲取其积四分之三作同式六等边形问其每边几何
　　法以比例尺分面线第四分之两防依分厘尺三寸之度展开勿令移动次取分面线第三分两防相距之度于分厘尺上量之得二寸六分即二尺六寸为所求小形之每一边用其度作六边形其积即为原形四分之三也葢大小同式形之比例同于相当界所作正方形之比例今四分所作正方形与三分所作正方形之比例为四与三则四分相距之度所作正方形与三分相距之度所作正方形之比例亦必为四与三矣夫四分相距之度即原形之界则以三分相距之度为小形之界其积为原形四分之三可知矣又以三寸当原形之边三尺故二寸六分即为二尺六寸也
　　设如有三率相连比例数首率二尺末率八尺问中率几何
　　法以比例尺分面线第二分之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取分面线第八分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸即四尺为相连比例之中率也葢相连比例三率其首率所作正方形与中率所作正方形之比同于首率与末率之比今首率为二尺末率为八尺则首率所作正方形与中率所作正方形之比例即如二与八之比例故以二分相距之度为首率之数则八分相距之度必为中率之数可知矣又首率用二寸当二尺故中率四寸即为四尺也
　　设如有正方面积一千六百尺问每一边几何法以比例尺分面线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘得一百尺与积数一千六百尺相较其比例如一与十六即取分面线第十六分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸即四十尺为所求正方之每一边也葢一分之积既为一百尺则十六分之积必为一千六百尺而一分相距之度既为方积一百尺之每一边则十六分相距之度必为方积一千六百尺之每一边矣又以一寸当十尺故四寸即为四十尺也
　　设如有正方面积九千零二十五尺问每一边几何法以比例尺分面线第一百分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之一百厘作一百尺自乘得一万尺与积数九千零二十五尺相较其比例如一百与九十有余即取分面线第九十分有余相距之度于分厘尺上量之得九分五厘即九十五尺为所求正方之每一边也葢一百分之积既为一万尺则九十分有余之积必为九千余尺而一百分相距之度既为方积一万尺之每一边则九十分有余相距之度必为方积九千余尺之每一边矣又以一寸当一百尺故九分五厘即为九十五尺也

　　更面线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线设积数一亿用面部内面积相等边线不同之定率比例得各形之边线其方边一万圜径一万一千二百八十四三等边一万五千一百九十七五等边七千六百二十四六等边六千二百零四七等边五千二百四十六八等边四千五百五十一九等边四千零二十二十等边三千六百零五将各形边数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成更面线也
　　设如有甲圆形径一尺二寸欲作一正方形其积与圆积等问每边几何
　　法以比例尺更面线圆号之两防依分厘尺一寸二分之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸零六厘即一尺零六分为正方形之每一边用其度作正方形其积与圜积等也葢圆号与方号之比例原为同积之圆径与方边之比例则其两距度之比例亦必为圆径与方边之比例今圆号相距之度既为圆径则方号相距之度必为方边无疑矣又以一寸二分当圆径一尺二寸故一寸零六厘即为方边一尺零六分也
　　设如有甲三边形每边一十五尺又有乙五边形每边十尺欲并作一正方形问每边几何
　　法以比例尺更面线三边号之两防依分厘尺一寸五分之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得九分八厘七豪即九尺八寸七分为正方形之每一边用其度作正方形其积与甲三边形积等也又以五边号之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸三分一厘即十三尺一寸为方正形之每一边用其度作正方形其积与乙五边形积等也乃将两正方形用分面线求其积之比例以分面线第十分之两防依小方边九分八厘七豪之度展开勿令移动复以大方边一寸三分一厘之度于分面线上寻至第十七分六厘之处其相距之度恰合即两方形之比例为十分与十七分六厘并之得二十七分六厘即取分面线第二十七分六厘相距之度于分厘尺上量之得一寸六分四厘即十六尺四寸为正方形之每一边用其度作正方形其积与甲乙两形之积等也葢甲乙两形不同类不能得其比例即不能相加故先用更面线将甲乙两形俱变为正方形复用分面线求其比例而并之即得所求大正方形之一边也
　　设如有甲八边形每边十二尺又有乙六边形每边六尺今将两面积相减用其余积作一七边形问其边几何
　　法以比例尺更面线八边号之两防依分厘尺一寸二分之度展开勿令移动次取七边号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸三分八厘即十三尺八寸为七边形之每一边用其度作七边形其积与甲八边形积等也又以六边号之两防依分厘尺六分之度展开勿令移动次取七边号两防相距之度于分厘尺上量之得五分零七豪即五尺零七分为七边形之每一边用其度作七边形其积与乙六边形积等也乃将两七边形用分面线求其比例以分面线第十分之两防依小七边形之边五分零七豪之度展开勿令移动复以大七边形之边一寸三分八厘之度于分面线上寻至第七十八分之处其相距之度恰合即两七边形之比例为十分与七十八分相减余六十八分即取分面线第六十八分相距之度于分厘尺上量之得一寸三分即十三尺为所求七边形之每一边用其度作七边形其积与甲乙两形相减之余积等也葢甲乙两形不同类不能得其比例即不能相减故先用更面线将甲乙两形俱变为七边形复用分面线求其比例而后相减即得所求七边形之一边也
　　设如有十等边形积四千四百四十五尺问每一边几何
　　法先以比例尺分面线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘得一百尺与积四千四百四十五尺相较其比例如一与四十四又九之五即取分面线第四十四分又九之五相距之度于分厘尺上量之得六寸六分又三之二即六十六尺又三分尺之二为方形之一边用其度作正方形其积与十边形积等也乃以更面线方号之两防依方形每边六寸六分又三分之二之度展开勿令移动次取十边号两防相距之度于分厘尺上量之得二寸四分即二十四尺为所求十边形之每一边也葢正方形为各面形比例之宗故凡有积求边者必先用分面线求得方形之边然后用更面线使方号两防相距之度与方边等而取所求形之号两防相距之度即所求形之一边自圆形三边形以至九边形皆同一法也

　　分体线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷二十二节之法分之即为分体线也或设正方体界一百厘其积数一百万厘以二因之得二百万厘开立方得一百二十六厘为积二百万厘之根又以三因之得三百万厘开立方得一百四十四厘为积三百万厘之根照此屡倍积数开立方将所得之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分体线也
　　设如有甲乙丙三正方体甲形每边二寸其积数之比例甲为一分乙为三分丙为四分今欲作一大正方体与甲乙丙三正方体之积等问其边几何法以比例尺分体线第一分之两防依甲正方体每边二寸之度展开勿令移动乃并三正方体积共八分即取八分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸即所求大正方体之每一边用其度作正方体其积与甲乙丙三正方体之共积等也葢八分所作正方体原比一分所作正方体大八倍则八分相距之度所作正方体亦必比一分相距之度所作正方体大八倍矣一分相距之度即甲正方体之一边其积为一分则以八分相距之度所作正方体其积必为八分与三正方体之共积相等也
　　设如有大小两四等面体小体每边一寸大体每边三寸今将两体积相减取其余积作同式四面体问其边几何
　　法以比例尺分体线第一分之两防依小体每边一寸之度展开勿令移动次以大体每边三寸之度于分体线寻至第二十七分之两防其相距之度恰合即大形与小形之比例为二十七与一相减余二十六为较积即取分体线第二十六分两防相距之度于分厘尺上量之得二寸九分六厘即较体之每一边也葢大小同式体之比例同于相当界所作正方体之比例【见几何原本十卷第七节】今二十七分所作正方体与一分所作正方体之比例为二十七与一则二十七分相距之度所作正方体与一分相距之度所作正方体之比例亦必为二十七与一矣夫大小两距度即大小两体之相当界其所作两正方体之比例既为二十七与一则大小两四面体之比例亦必为二十七与一矣既得两体之比例乃相减以得较既得较积之比例复用积以求边即得所求之边数也
　　设如有八等面体每边一尺欲四倍其积作同式八等面体问其每边几何
　　法以比例尺分体线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动次取第四分两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分九厘即一尺五寸九分为所求体之一边用其度作八等面体其积与原体之四倍等也葢大小同式体之比例同于相当界所作正方体之比例今一分所作正方体与四分所作正方体之比例为一与四则一分相距之度所作正方体与四分相距之度所作正方体之比例亦必为一与四矣夫一分相距之度即原体之界则以四分相距之度为大体之界其积为原体之四倍可知矣又以一寸当原形边一尺故一寸五分九厘即为一尺五寸九分也
　　设如有圆　　　　　　　【依】球径三尺欲取其积五分之二作同式圆球体问其径几
　　何法以比例尺分体线第五分之两防分厘尺三寸之度展开勿令移动次取分体线第二分两防相距之度于分厘尺上量之得二寸二分一厘即二尺二寸一分为所求小体之一边用其度为
　　径作圆　　　　　　　　　　　【依】球体其积为原体五分之二也葢大小同式体之比例同于相当界所作正方体之比例今五分所作正方体与二分所作正方体之比例为五与二则五分相距之度所作正方体与二分相距之度所作正方体之比例亦必为五与二矣夫五分相距之度即原体之径则以二分相距之度为小体之径其积为原体五分之二可知矣又以三寸当原体之径三尺故二寸二分一厘即为二尺二寸一分
　　也设如有四率相连比例数一率八尺四率二十七尺求二率三率各几
　　何法以比例尺分体线第八分之两防分厘尺八分之度展开勿令移动次取分体线第二十七分之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸二分即十二尺为连比例四率之第二率既得二率乃用平分线有一率二率求连比例第三率之法以平分线第八分之两防依分厘尺一寸二分之度展开勿令移动次取平分线第十二分两防相距之度于分厘尺上量之得一寸八分即十八尺为连比例四率之第三率也葢相连比例四率其一率所作正方体与二率所作正方体之比例同于一率与四率之比例今一率为八尺四率为二十七尺则一率所作正方体与二率所作正方体之比例即如八与二十七之比例故以八分相距之度为一率之数则二十七分相距之度必为二率之数可知矣又一率用八分当八尺故二率一寸二分即为十二尺至于求第三率之法即平分线求连比例三率之理也
　　设如有正方体积二万七千尺问每一边几何法以比例尺分体线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘再乘得一千尺与积数二万七千尺相较其比例如一与二十七即取分体线第二十七分两防相距之度于分厘尺上量之得三寸即三十尺为所求正方体之每一边也葢一分之积既为一千尺则二十七分之积必为二万七千尺而一分相距之度既为方积一千尺之每一边则二十七分相距之度必为方积二万七千尺之每一边矣又以一寸当十尺故三寸即为三十尺也
　　设如有正方体积八十三万零五百八十四尺问每一边几何
　　法以比例尺分体线第一百分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之一百厘作一百尺自乘再乘得一百万尺与积数八十三万零五百八十四尺相较其比例如一百与八十三有余即取分体线第八十三分有余相距之度于分厘尺上量之得九分四厘即九十四尺为所求正方体之每一边也葢一百分之积既为一百万尺则八十三分有余之积必为八十三万余尺而一百分相距之度既为方积一百万尺之每一边则八十三分有余相距之度必为方积八十三万余尺之每一边矣又以一寸当一百尺故九分四厘即为九十四尺也
　　设如有银正方体每边二寸问重几何
　　法以比例尺分体线第九分之两防【银正方一寸之定率为九两故用九分度】依分厘尺一寸之度展开勿令移动次取分厘尺二寸之度于分体线上寻至第七十二分之两防其相距之度恰合即七十二两为银正方体之重数也葢各体重数之比例与积数之比例等相距之度一寸其积为九分相距之度二寸其积则为七十二分今相距一寸之九分既为正方一寸银体之重数则相距二寸之七十二分必为正方二寸银体之重数矣又以九分当九两故七十二分为七十二两也
　　设如有大铜　　　　　　　　【之】球体径二寸重三十一两四钱一分
　　今有小　　　　　　　【比】铜球体径一寸二分问重
　　几何法以比例尺分体线第三十一分
　　四厘之处　　　　　　　　　　　　【例】依大球径二寸之度展开
　　勿令移动　　　　　　　　　　　　【与】次取小球径一寸二分之度于分体线上寻至第六分七厘有余之处其相距之度恰合即六两七钱有余为小铜球体之重数也葢各体重数积数之比例等相距之度二寸其积为三十一分四厘相距之度一寸二分其积则为六分七厘今相距一寸之三十
　　一分四厘既为径二寸大铜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【钱】球体之重数则相距一寸二分之六分七厘必
　　为径一寸二分小　　　　　　　　　　　　　　　【也】铜球体之重数矣又以三十一分四厘当三十一两四钱故六分七厘即为六两七

　　更体线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线设积数一兆用体部内体积相等边线不同之定率比例得各体之边
　　线其立方边一万　　　　　　　　　　　　　　　【正】球径一万二千四百零七四面体边二万零三百九十七八面体边一万二千八百四十九十二面体边五千零七十二二十面体边七千七百一十将各体边线数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成更体线
　　也设如有　　　　　　　【方】甲球体径二尺欲作一正方体其　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【体】积与球积等问每
　　边几何法以比例尺　　　　　　　　　　　　　　　　【其】更体线球号之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸六分一厘即一尺六寸一分为正方体之每一边用其度作
　　积与甲　　　　　　　　　　　【厘】球积等也　　　　　　　　　　　　　　　　【即】葢球号与方号
　　之比例原为同　　　　　　　　　　　　　　【三】积之球径与立方边之比例则其两距度之比例亦必为球
　　径与立方边之　　　　　　　　　　　　　　【尺】比例今球号相距【一】之度既为球径则方号相距之度必为
　　方边无疑矣　　　　　　　　　　　　　【寸】又以二寸当球径二尺故一寸六分一厘即为一
　　尺六寸一分也设如有甲四面体每边三尺又有乙八面体每边四尺欲并作一正方
　　体问每边几何法以比例尺更体线四面号之两防依分厘尺三寸之度展开勿令移动次取方号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸四分六厘即一尺四寸六分为正方体之每一边用其度作正方体其积与甲四面体积等也又以八面号之两防依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取方号两防相距之度于分厘尺上量之得三寸一分一一分为正方体之每一边用其度作正方体其积与乙八面体积等也乃将两正方体用分体线求其积之比例以分体线第一分之两防依小方体每边一寸四分六厘之度展开勿令移动复以大方体每边三寸一分一厘之度于分体线上寻至第九分五厘之处其相距之度恰合即两方体之比例为一与九分五厘并之得十分五厘即取分体线第十分五厘相距之度于分厘尺上量之得三寸二分即三尺二寸为正方体之每一边用其度作正方体其积与甲乙两体之积等也葢甲乙两体不同类不能得其比例即不能相加故先用更体线将甲乙两体俱变为正方体复用分体线求其比例而并之即得所求大方体之一边也
　　设如有甲正方体每边二尺又有乙球体径亦二尺今将两体积相减用其余积作十二面体问其边几何
　　法以比例尺更体线方号之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取十二面号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸零一厘四豪即一尺零一分四厘为十二面体之每一边用其度作十二面体其积与甲正方体积等也又
　　以　　　　　　　　　【上】球号之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取十二面号两防相距之度于分厘尺上量之得八分一厘七豪即八寸一分七厘为十二面体之每一边用其度作十二面体其积与【寻】乙球体积等也乃将两十二面体用分体线求其比例以分体线第十分之两防依小十二面体每边八分一厘七豪之度展开勿令移动复以大十二面体每边一寸零一厘四豪之度于分体线至第十九分其相距之度恰合即两十二面体之比例为十分与十九分相减余九分即取分体线第九分两防相距之度于分厘尺上量之得七分九厘即七寸九分为所求十二面体之每一边用其度作十二面体与甲乙两体相减之余积等也葢甲乙两体不同类不能得其比例即不能相减故先用更体线将甲乙两体俱变为十二面体复用分体线求其比例而后相减即得所求十二面体之一边也
　　设如有二十面体积一万七千四百五十五尺问每一边几何
　　法先以比例尺分体线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘再乘得一千尺与积数一万七千四百五十五尺相较其比例如一与十七又九之五即取分体线第十七分又九之五相距之度于分厘尺上量之得二寸五分九厘即二十五尺九寸为正方体之一边用其度作正方体其积与二十面体积等也乃以更体线方号之两防依正方体每边二寸五分九厘之度展开勿令移动次取二十面号两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即二十尺为所求二十面体之每一边也葢正方体为各体形比例之宗故凡有积求边者必先用分体线求得方体之边然后用更体线使方号两防相距之度与方边等而取所求体之号两防相距之度即所求
　　体之一边自　　　　　　　　　　　　　【也】球体四面体至二十面体皆同一法

　　五金线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用各体权度比例定率数金重十六两八钱水银重十二两二钱八分铅重九两九钱三分银重九两铜重七两五钱铁重六两七钱锡重六两三钱为各体正方一寸轻重之比例【定率数有三十余种尺不能尽载惟此数者其用为多故止载此】若重数相等则其积数必不同故又用转比例之法求其体积之比例命金之积为十亿则与金同重之水银积为十三亿六千八百零七万八千一百七十五【水银重十二两二钱八分为一率金重十六两八钱为二率金积十亿为三率得四率即水银积余仿此】铅之积为十六亿九千一百八十四万二千九百银之积为十八亿六千六百六十六万六千六百六十六铜之积为二十二亿四千万铁之积为二十五亿零七百四十六万二千六百八十六锡之积为二十六亿六千六百六十六万六千六百六十六既得各体之积数乃开立方求其方根则金之数为一千水银之数为一千一百一十铅之数为一千一百九十一银之数为一千二百三十一铜之数为一千三百零八铁之数为一千三百五十八锡之数为一千三百八十六爰将各根数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成五金线也
　　设如有金　　　　　　　【重】球径二尺欲作一　　　　　　　　　　　　　　　【之】银球其重　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【金】与金球等问
　　径几何法以比例尺五金线金号之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取银号两防相距之度于分厘尺上量之得二寸四分六厘即二尺四寸六分为银球径用其度作银球即与金球重等也葢金号与银号之比例原为同体边与银体边之比例则金号与银号两距度之比例亦必为同重之金体边与银体边之比例今金号相距之度既
　　为金　　　　　　　　　　【面】球径则银号相距之度必为【体】
　　银球径可知矣又以二寸　　　　　　　　　　　　　　　　　　【其】当金球径二尺故二寸四分六厘即为二尺四寸
　　六分也设如有金正方体每边一寸重十六两八钱今欲作银八面体其重与金正方体等问每一边几何法先以比例尺更体线正方体之两防依正方每边一寸之度展开勿令移动次取八面体两防相距之度于分厘尺上量之得一寸二分八厘有余即为金正方体等重之金八面体之每一边数乃以五金线金号之两防依金八面体每边一寸二分八厘之度展开勿令移动次取银号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分八厘有余即为银八面体之每一边用其度作八重与金正方体等也葢两体不同类不能得其比例故先用更体线变正方体为八面体而后用五金线比例之其法与前同也
　　设如有铜正方体每边二寸重六十两今有铅一百
　　两欲铸为　　　　　　　　【号】球体问径几
　　何法先以分体线第六十分之两【两防原重六十两故取六】防依铜正方体每边二寸之度展开勿令移动次取分体线第一百分两防相距之【十分今重一百两故取一】度于分厘尺上量之得二寸三分七厘即重一百两之铜正方体之每一边又以更体线正方号之两防依正方每边二寸三分七
　　厘之度展开勿令移动次　　　　　　　　　　　　　　　　　　【百】取球号两防相距之度于分厘尺上量之得二寸
　　九分四厘即重一百两　　　　　　　　　　　　　　　　　【分】之铜球径复以五金线铜号之两防依铜球径二寸九分四厘之度展开勿令移动次取铅相距之度于分厘尺上量之得二寸六
　　分八厘即重一百两之铅　　　　　　　　　　　　　　　　　　【边】球径也葢两重数不同而两体又不同不能得其比例故先用分体线变为同重之铜正
　　方体又用更体线变为同重之　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【必】铜球体乃用五金线铜与铅之边线以比例之而后得其径
　　数也设如银正方一寸重九两问铜正方一寸重几何法以五金线银号之两防依正方一寸之度展开勿令移动次取铜号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸零五厘二豪即为重九两之铜正方边数乃以分体线九十分之两防依一寸零五厘二豪之度展开勿令移动而以今铜正方一寸之度于分体线上寻至七十五分之两防其相距之度恰合即七两五钱为铜正方一寸重数也葢银重九两其方边一寸则铜重九两其方为一寸零五厘二豪又铜方边一寸零五厘二豪其重九两则铜方边一寸其重即为七两五钱也
　　设如有银正方体每边二寸重七十二两今欲作一铜二十面体其边与正方体等问重几何
　　法先以比例尺更体线正方体之两防依正方每边二寸之度展开勿令移动次取二十面体两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分四厘有余即为银正方体等重之银二十面体之每一边乃以五金线银号之两防依银二十面体每边一寸五分四厘之度展开勿令移动次取铜号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸六分三厘有余即为银二十面体同重之铜二十面体之每一边复以分体线第七十二分之两防依铜二十面体每边一寸六分三厘之度展开勿令移动而以今所作铜二十面体每边二寸之度于分体线上寻至第一百三十分有余之处其相距之度恰合即一百三十两有余为铜二十面体之重数也葢两体不同类不能得其比例故先用更体线变正方体为二十面体又用五金线变银二十面体为铜二十面体复用分体线有边求重之法比例之然后得其重数也

　　御制数理精蕴下编卷三十九
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴下编卷四十
　　末部十
　　比例规解【分圆线　正线　　正切线　　正割线　尽日晷法假数尺　正假数尺　　切线假数尺　割线假数尺】

　　分圆线【即圆内之通线】
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷二十节之法分之即为分圆线也或用八线表三十分之正倍之即一度之通一度之正倍之即二度之通一度三十分之正倍之即三度之通至于九十度之正倍之即一百八十度之通以所得通之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分圆线也
　　设如甲乙半径六寸丙乙弧二十九度问丙乙通几何
　　法以比例尺分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取分圆线二十九度两防相距之度于分厘尺上量之得三寸即丙乙通之数也葢圆之半径与六十度之通等六十度之通既为六寸则二十九度相距之三寸即为二十九度之通可知矣
　　设如甲乙半径六寸丙乙通三寸问丙乙弧度几何
　　法以比例尺分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取通三寸之度于分圆线上寻至二十九度之两防其相距之度恰合即丙乙弧为二十九度也葢圆之半径与六十度之通等通六寸相当之度为六十度则丙乙通三寸相当之二十九度即为丙乙弧之度可知矣
　　设如丙乙弧三十一度丙乙通一寸零三厘问甲乙半径几何
　　法以比例尺分圆线三十一度之两防依通一寸零三厘之度展开勿令移动次取六十度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即甲乙半径也葢六十度之通与圆之半径等三十一度之通为一寸零三厘则六十度之通二寸即为圆之半径可知矣
　　设如圆径六寸内容五等边形问每一边几何法以比例尺分圆线六十度之两防依半径三寸之度展开勿令移动次以圆周三百六十度用五归之得七十二度即五等边形每边相当之弧乃取分圆线七十二度两防相距之度于分厘尺上量之得三寸五分有余即圆内五等边形之一边也葢圆内容五边形之每一边即七十二度之通而半径又即六十度之通六十度之通为三寸则七十二度之通三寸五分有余即为圆内容五等边形之一边可知矣
　　设如有甲乙丙三角形问乙角之度几何
　　法以乙角为心任以一处为界作丁戊弧则乙丁乙戊皆为圆之半径丁己戊爲乙角之通乃以比例尺分圆线六十度之两防依乙丁半径之度展开勿令移动次取丁己戊通之度于分圆线上寻至三十度之两防其相距之度恰合即乙角为三十度也

　　正线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正线自一度至九十度之数【自八十度至九十度正每度之较甚防若尺小不能分或隔一度而作一防或隔五度而作一防】于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正线也
　　设如甲乙半径六寸丙乙弧二十一度问丙丁正几何
　　法以比例尺正线九十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正线二十一度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸一分五厘即丙丁正之数也葢圆之半径与九十度之正等九十度之正既为六寸则二十一度相距之二寸一分五厘即为二十一度之正可知矣若用分圆线则以分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次以丙乙弧二十一度倍之得四十二度即取分圆线四十二度两防相距之度于分厘尺上量之得四寸三分为四十二度之通折半得二寸一分五厘即丙丁正之数也葢正之弧为弧背之一半正为通之一半故求得倍弧之通折半即半弧之正此分圆线与正线可以互相为用也
　　设如甲乙半径六寸乙丁正三寸问乙丙弧之度几何
　　法以比例尺正线九十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正三寸之度于正线上寻至三十度之两防其相距之度恰合即乙丙弧为三十度也葢圆之半径与九十度之正等正六寸相当之度为九十度则正三寸相当之三十度为丙乙弧之度可知矣若用分圆线则以分圆线六十度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次以正三寸倍之得六寸于分圆线上寻之得六十度折半得三十度亦即乙丙弧之度也
　　设如甲乙弧三十二度甲丙正一寸零六厘问乙丁半径几何
　　法以比例尺正线三十二度之两防依正一寸零六厘之度展开勿令移动次取九十度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即乙丁半径也盖九十度之正与圆之半径等三十二度之正为一寸零六厘则九十度之正二寸即为圆之半径可知矣若用分圆线则以三十二度倍之得六十四度以正一寸零六厘倍之得通二寸一分二厘乃以分圆线六十四度之两防依通二寸一分二厘之度展开勿令移动次取分圆线六十度两防相距之度于分厘尺上量之得二寸即乙丁半径也
　　设如简平仪下盘作节气线问其法若何
　　法自甲圆心作乙丙径线
　　又自甲平分作赤道线即
　　为春分秋分线乃以比例
　　尺正线九十度之两防
　　依甲乙半径之度展开勿
　　令移动次取二十三度半
　　两防相距之度【二至黄赤道大距度】于赤道线左右丙乙径上
　　作识如丁戊依识与赤道
　　平行作线即为夏至冬至
　　线【丁为夏至戊为冬至】复以正线
　　九十度之两防依甲戊二
　　十三度半之正线度展
　　开勿令移动而取十五度
　　三十度四十五度六十度七
　　十五度之各两防相距之度
　　于赤道左右作识悉与赤道
　　平行作线即成二十四节气
　　线也葢赤道即春分秋分距
　　二分十五度之线左为惊蛰
　　寒露右为清明白露距二分
　　三十度之线左为雨水霜降
　　右为谷雨处暑距二分四十
　　五度之线左为立春立冬右
　　为立夏立秋距二分六十度
　　之线左为大寒小雪右为小
　　满大暑距二分七十五度之
　　线左为小寒大雪右为芒种
　　小暑距二分九十度之线左
　　即冬至右即夏至也

　　设如简平仪下盘欲作时刻线问其法若何
　　法如前作径线及赤道二
　　至线乃以比例尺正线
　　九十度之两防依半径【即春
　　秋分线之半】之度展开勿令移
　　动次取十五度三十度及
　　四十五度六十度七十五
　　度之各两防相距之度自
　　圆心于赤道线上下作识
　　即春秋分时之二十四时
　　刻也又以比例尺正线
　　九十度之两防依冬夏至
　　线之半展开勿令移动取
　　十五度三十度四十五度
　　六十度七十五度之各两
　　防相距之度自圆径与二
　　至线相交之处于二至线
　　上下作识即二至时之二
　　十四时刻也乃用三防串圆
　　之法将二至及二分之防连
　　为一线即成时刻线矣葢中
　　心横线为卯正酉正距中心
　　十五度之线上为辰初酉初
　　下为卯初戌初距中心三十
　　度之线上为辰正申正下为
　　寅正戌正距中心四十五度
　　之线上为巳初申初下为寅
　　初亥初距中心六十度之线
　　上为巳正未正下为丑正亥
　　正距中心七十五度之线上
　　为午初未初下为丑初子初
　　距中心九十度之线即圆周
　　上为午正下为子正也

　　正切线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正切线自一度至四十五度之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正切线也至于四十五度以后则与四十五度以前相为正余葢四十五度之正切线与半径等四十五度以前之正切线即四十五度以后之余切线而半径与正切之比同于余切与半径之比故切线止用四十五度即足九十度之用也
　　设如甲乙半径六寸乙丙弧三十五度问丁乙切线几何
　　法以比例尺正切线四十五度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正切线三十五度两防相距之度于分厘尺上量之得四寸二分即丁乙切线之数也葢圆之半径与四十五度之切线等四十五度之切线既为六寸则三十五度相距之四寸二分即为三十五度之切线可知矣
　　设如甲乙半径六寸乙丙弧五十八度问丁乙切线几何
　　法以五十八度与九十度相减余三十二度为余弧乃以比例尺正切线三十二度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取四十五度两防相距之度于分厘尺上量之得九寸六分即丁乙切线之数也葢圆之半径与四十五度之切线等而三十二度之正切即为五十八度之余切夫半径与正切之比既同于余切与半径之比故以三十二度相距之六寸当半径而四十五度相距之九寸六分即为五十八度之切线也凡过四十五度者皆仿此
　　设如甲乙半径六寸丙乙切线四寸二分问丁乙弧之度几何法以比例尺正切线四十五度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取切线四寸二分之度
　　于正切线上寻至三十五度之两防其相距之度　　恰合即丁乙弧为三十五度也葢圆之半径与四十五度之切线等切线六寸相当之度为四十五度则切线四寸二分相当之三十五度即为乙丁弧之度可知矣设如
　　甲乙弧三十五度丙乙切线一寸零五厘问丁乙半径几何法以比例尺正切线三十五度之两防依切线一寸零五厘之度展开勿令移动次取正切线四十五度两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分即丁乙半径也葢四十五度之切线与圆之半径等三十五度之切线为一寸
　　零五厘则四十五度之切线一寸五分即为
　　丁乙半径可知矣
　　设如地平上立表髙四尺日中影长三尺六寸零二厘问日髙度几何
　　法以比例尺正切线四十五度之两防依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取分厘尺三寸六分零二豪之度于正切线上寻至四十二度之两防其相距之度恰合乃以四十二度与九十度相减得四十八度为日距地平之髙度也盖地平上立表取影以表为半径则影为日距地平之余切线如甲乙表髙为半径乙丙影长为切线求得乙丁弧为甲角之度故与九十度相减得丙角始为日距地平之度也
　　设如壁上立横表四尺日中影长二尺四寸零三厘问日髙度几何
　　法以比例尺正切线四十五度之两防依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取分厘尺二寸四分零三豪之度于正切线上寻至三十一度之两防其相距之度恰合即日距地平之髙为三十一度也葢壁上立横表取影以表为半径则影即日距地平之正切线如甲乙横表为半径甲丙影长为切线求得甲丁弧为乙角之度与乙丙戊角之度等故即为日距地平之髙度也

　　正割线
　　自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正割线自初度至七十度之数【初度割线即圆之半径自一度至十度其每度之较甚防若尺小不能分或隔五度作一防自七十度以上渐与切线平行其数甚大尺上不能容故止取七十度也】于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正割线也
　　设如甲乙半径六寸乙丙弧四十一度问甲丁割线几何
　　法以比例尺正割线初度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取正割线四十一度两防相距之度于分厘尺上量之得七寸九分五厘即甲丁割线之数也葢初度尚无切线故其割线即圆之半径初度之割线既为六寸则四十一度相距之七寸九分五厘即为四十一度之割线可知矣
　　设如甲乙半径六寸甲丙割线一尺二寸问丁乙弧之度几何
　　法以比例尺正割线初度之两防依半径六寸之度展开勿令移动次取割线一尺二寸之度于正割线上寻至六十度之两防其相距之度恰合即丁乙弧为六十度也葢初度之割线即圆之半径割线六寸相当之度为初度则割线一尺二寸相当之六十度即为丁乙弧之度可知矣
　　设如甲乙弧四十四度半丙丁割线二寸一分零三豪问丁乙半径几何
　　法以比例尺正割线四十四度半之两防依割线二寸一分零三豪之度展开勿令移动次取初度两防相距之度于分厘尺上量之得一寸五分即丁乙半径之数也葢初度之割线即圆之半径四十四度半之割线为二寸一分零三豪则初度之割线一寸五分即为丁乙半径可知矣

　　作地平日晷法【以北极出地四十度为准】
　　法先作南北东西线相交于
　　甲各成直角次作甲乙丙晷
　　表取甲角五十度为赤道髙
　　丙角四十度为北极高而乙
　　角为直角次取晷表之甲乙
　　度截南北线于丁为半径作
　　圜用比例尺分圆线比得十
　　五度三十度四十五度六十
　　度七十五度之各分分圜界
　　作识乃自丁圜心引出各界
　　作线至东西线上即得午正
　　前后各初正时刻或以甲乙
　　为半径用比例尺正切线比
　　得十五度三十度四十五度
　　六十度七十五度之各切线
　　自甲左右作以北极出地四
　　十度为准
　　识于东西线上亦即午正
　　前后各初正时刻【甲为午正距甲
　　十五度前为午初后为未初距甲三十度前为巳正
　　后为未正距甲四十五度前为巳初后为申初距甲
　　六十度前为辰正后为申正距甲七十五度前为辰
　　初后为酉初也】乃以晷表之丙为
　　晷心至各防作线即时刻
　　线也卯正酉正各距午正
　　前后九十度故自丙晷心
　　与东西线平行作线即卯
　　正酉正线卯正以前酉正
　　以后则日转在北影转在
　　南故与辰初酉初反对作
　　线即卯初戌初线也次按
　　刻细分则自午正甲防每
　　加三度四十五分而得一
　　刻葢十五度当四刻而三
　　度四十五分则当一刻也
　　此法葢因北极为天之枢赤
　　道为天之带太阳虽由黄道
　　而行时刻皆以赤道而定故
　　以晷表之甲乙指赤道丙乙
　　指北极而东西线即为赤道
　　线丙乙即为过极经圈甲乙
　　即为半径午正太阳在正南
　　则影在正北若偏东偏西若
　　干度则其切线即其影之长
　　故以甲乙为半径作圜而分
　　圜界者即所以求切线至于
　　用比例尺正切线者正以切
　　线分时刻也地平日晷作节
　　气线法法以甲乙
　　丙晷表之甲角与丙乙
　　平行作戊己线而以甲乙为
　　半径用比例尺

　　正切线比得二十三度三
　　十分二十二度四十分二
　　十度十二分十六度二十
　　三分十一度三十分五度
　　五十五分之各切线自甲
　　左右作识于戊己线上即
　　得各节气日影界【春秋分为赤道
　　冬至距赤道南夏至距赤道北各二十三度三十分
　　小寒大雪距赤道南芒种小暑距赤道北各二十二
　　度四十分大寒小雪距赤道南小满大暑距赤道北
　　各二十度十二分立春立冬距赤道南立夏立秋距
　　赤道北各十六度二十三分雨水霜降距赤道南谷
　　雨处暑距赤道北各十一度三十分惊蛰寒露距赤
　　道南清明白露距赤道北各五度五十五度】或
　　以二十三度三十分之正
　　切线甲戊为半径作圜将
　　甲乙线引长平分为四象
　　限用比例尺分圆线比得
　　十五度三十度四十五度
　　六十度七十五度之各圜
　　界又以乙戊为半径作戊
　　己弧而依所分甲戊小圜
　　界各与甲乙平行作线截
　　戊己弧界又自乙至戊己
　　各弧界作线截戊甲己线
　　亦即得各节气日影界【甲为
　　春秋分距甲十五度左为惊蛰寒露右为清明白露
　　距甲三十度左为雨水霜降右为谷雨处暑距甲四
　　十五度左为立春立冬右为立夏立秋距甲六十度
　　左为大寒小雪右为小满大暑距甲七十五度左为
　　小寒大雪右为芒种小暑】乃自乙至各
　　防作线与午正时刻线相
　　交其相交之防即午正各
　　节气日影界也若求未初
　　节气线则先以丙乙为半
　　径作圜又依甲乙度截午
　　正线于庚而以未初线与赤
　　道相交之辛防至庚相距之
　　度截圜界于壬作壬辛线乃
　　与壬辛取直角作癸子十字
　　线以壬辛为半径如前法比
　　得二十三度三十分等距纬
　　之各切线于辛左右作识于
　　癸子线乃自壬至各防作线
　　与未初时刻线相交其相交
　　之防即未初各节气日影界
　　也仿此类推则得各时刻之
　　各节气日影界或用捷法另
　　取一纸画甲乙丙表式将乙
　　甲乙戊乙己类各节气线俱
　　画长些如求未初节气线则
　　以丙合于晷心丙而以甲乙
　　春秋分线

　　合于未初时刻线与赤道相
　　交之辛防乃于各节气线与
　　未初时刻线相交之处俱作
　　防识之即得未初各节气之
　　日影界余仿此乃将各时刻
　　线与莭气线相交之防作线
　　聫之即成节气线也葢春秋
　　分日行赤道而晷表之甲乙
　　指赤道故赤道线即为春秋
　　分线春秋分时日在赤道则
　　午正日影在甲春分以后秋
　　分以前日在赤道北夏至而
　　极北则影在南春分以前秋
　　分以后日在赤道南冬至而
　　极南则影在北故以甲乙为
　　半径而取各距度之切线为
　　各节气之

　　影界且切线与半径成直
　　角故先与甲乙取直角作
　　十字线而后得其切线也
　　【甲乙本直立之线与之取直角则戊端应在晷面下
　　己端应在空中出晷面上而其距午正线之逺近与
　　平面斜线之度同葢平与立之理一也】其以
　　冬夏至之影界为半径作
　　圜用分圆线求之者葢半
　　径与冬夏至距纬正之
　　比同于各节气距二分度
　　之正与各节气距纬正
　　之比故以甲戊为半径
　　作圜为一率又以乙戊为
　　半径作戊己弧则甲戊切
　　线即变为冬夏至距纬之
　　正为二率而用分圆线
　　所分各圜界即得各节气
　　距二分度之正为三率
　　其自圜界作线截戊己弧
　　即得各节气距纬之正
　　为四率既得各节气之距
　　纬度又自乙至各弧界作
　　线截戊甲己线则戊甲己
　　线仍为各节气距纬之切
　　线故用正即如用切线
　　也然虽得各节气之影界
　　而犹不在午正线之上故
　　自乙至各节气防作线交
　　于午正线乃自乙表端照
　　至各节气防所必经之处
　　故为午正节气日影界也
　　至于未初春秋分时则日
　　影至辛乙辛为影线成乙
　　甲辛勾股形甲乙为股【甲乙
　　表直立故为股】甲辛为勾乙辛为
　　故以甲乙度截午正线
　　于庚而取庚辛之度即与
　　乙辛影线之度等又乙辛
　　线与丙乙为直角成丙乙
　　辛立勾股形丙乙为勾乙
　　辛影线为股丙辛时刻线
　　为【葢丙乙为过极经圈乙辛为赤道影线经
　　圈与赤道无在而非直角故乙辛与影线亦无在而
　　非直角也】故以丙乙为半径作
　　圜而取庚辛度截圜界于
　　壬成丙壬辛平勾股形即
　　与丙乙辛立勾股形相等
　　【丙壬与丙乙等壬辛与乙辛等丙辛仍为线故成
　　相等勾股形】爰以壬辛影线为
　　半径与壬辛作直角取各
　　节气之切线为各节气日
　　影界皆与午正取节气线
　　之法同至其捷法乃以已
　　成之勾股已分之切线转
　　移用之尤为便捷也
　　向南壁上画立面日晷法【以北极出地四十度为准】
　　法先作直线及东西横线
　　相交于甲各成直角次作
　　甲乙丙晷表取甲角四十
　　度丙角五十度而乙为直
　　角乃依地平日晷作时刻
　　线法求之即得各时刻线
　　葢晷表之甲丙指天顶甲
　　乙指赤道故丙甲乙角定
　　为四十度则乙甲丁外角
　　为五十度即赤道之髙度
　　也丙乙指南极丙戊指地
　　平故甲丙乙角定为五十
　　度则乙丙戊外角为四十
　　度乃南极入地之度即北
　　极出地之度也甲乙既指
　　赤道丙乙既指南极则丙
　　乙即为过极经圈甲乙即
　　为半径午正太阳在正南
　　则影在正北若偏东偏西
　　若干度则其切线即其影
　　之长皆与地平日晷之法
　　同至于作节气线之法亦
　　与地平日晷同但赤道线
　　以上为春分前秋分后至
　　冬至之节气线赤道线以
　　下为春分后秋分前至夏
　　至之节气线葢春分以后
　　秋分以前日行赤道北夏
　　至而极北其度髙故其影
　　在下也秋分以后春分以
　　前日行赤道南冬至而极
　　南其度卑故其影在上也
　　向东壁上画立面日晷法【以北极出地四十度为准】
　　法先安甲乙直表与壁面
　　成直角【甲乙表不拘尺寸】次作甲
　　丙垂线及甲丁横线各成
　　直角次以甲为心作甲丙
　　丁象限弧用比例尺分圆
　　线比得赤道髙五十度之
　　弧为丁戊自甲至戊作甲
　　戊赤道线乃以甲乙表长
　　为半径用比例尺正切线
　　比得十五度三十度四十
　　五度六十度七十五度之
　　各切线于赤道线上作识
　　按识作十字线即成时刻
　　线也【甲防为卯正距甲十五度前为卯初后为
　　辰初距甲三十度为辰正距甲四十五度为巳初距
　　甲六十度为巳正距甲七十五度为午初】葢时
　　刻生于赤道春秋分时卯
　　正日出正东与表对射故
　　无影若向南若干度则其
　　切线即其影之长至于午
　　正则距卯正九十度切线
　　与割线平行故无切线而
　　日影即与壁面平行故亦
　　无影也若于向西壁上画
　　晷则以午初为未初巳正
　　为未正巳初为申初辰正
　　为申正辰初为酉初卯正
　　为酉正卯初为戌初余俱
　　与向东壁上画晷法同
　　向东壁上立面日晷画节气线法
　　法以乙表端至卯初防相
　　距之度为半径用比例尺
　　正切线比得二十三度三
　　十分二十二度四十分二
　　十度十二分十六度二十
　　三分十一度三十分五度
　　五十五分之各切线于卯
　　初线左右作识即得各节
　　气日影界【春秋分为赤道冬至距赤道南
　　夏至距赤道北各二十三度三十分小寒大雪距赤
　　道南芒种小暑距赤道北各二十二度四十分大寒
　　小雪距赤道南小满大暑距赤道北各二十度十二
　　分立春立冬距赤道南立夏立秋距赤道北各十六
　　度二十三分雨水霜降距赤道南谷雨处暑距赤道
　　北各十一度三十分惊蛰寒露距赤道南清明白露
　　距赤道北各五度五十五分】又以乙表
　　端至卯正防相距之度【即甲
　　乙表长】为半径比得各节气
　　距纬度之切线于卯正线
　　左右作识即为卯正各节
　　气日影界凡各时刻节气
　　俱以乙表端至各时刻防
　　相距之度为半径比得各
　　节气距纬度之切线于各
　　时刻线左右作识即得各
　　时刻各节气之日影界将各
　　防作线聨之即成节气线也
　　葢春秋分时日在赤道故其
　　影界即在赤道线之上其自
　　表端至各时刻防相距之度
　　即春秋分各时刻之影线也
　　若春分以后秋分以前日在
　　赤道北夏至而极北则影在
　　南春分以前秋分以后日在
　　赤道南冬至而极南则影在
　　北故以表端至各时刻防相
　　距之度为半径而取各节气
　　距纬度之切线即为各时刻
　　各节气之日影界聨之即成
　　节气线也向西壁法同

　　假数尺
　　法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取假数表内自一至一百所对之假数于分厘尺上取其度【如二之假数为○三○一则为三寸零一厘】截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十分作线与甲丁平行自一十以上又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间零数之度如一○至一一之斜线其与第一直线相交之处即一○一也故假数虽止于一百而可以当一千之用若尺止长一尺则如上图截去自一至九之数从一十起至一百止葢十之假数为一而百之假数为二今既截去一尺则假数即减去首位之一取其零数作寸分厘豪用时则以十为单总之假数尺虽始于一十终于一百小之则可以为单为零大之则可以为千为万皆因假数之首位虽递加一数而其后之零数皆同故可以进退为用惟在比例分明加减详审则其用自无穷也
　　设如有十二人每人给银四两五钱问共银几何法以假数尺之四分五厘【即从一十至四十五之度】与一十二分相加得五十四分即五十四两为共银数也葢一人与四两五钱之比同于一十二人与五十四两之比而真数以乘得者假数以加得之故以四分五厘当四两五钱以十二分当十二人两线相加即得五十四两为共银数也
　　设如有米四百八十石每石价银七钱五分问共价银几何
　　法以假数尺之七分五厘【即自一十至七十五之度】与四十八分相加过于一百分之度乃以其过于一百分之余度自假数尺十分以上量之得三十六分即三百六十两为共价银数也葢以四十八分当四百八十石是以单当十则相加过于一百分即为过于一千分矣而以其过于一千分之余度自十分以上量之是以十分当千分则三十六分即为三千六百分既以七分五厘当七钱五分故三千六百分即为三百六十两也
　　设如有银五百一十二两令三十二人分之问每人几何
　　法以假数尺之五十一分二厘内减去三十二分以其余度自假数尺十分以上量之得十六分即十六两为每人之银数也葢三十二人与五百一十二两之比同于一人与十六两之比而真数以除得者假数以减得之故以五十一分二厘当五百一十二两以三十二分当三十二人相减用其余度自十分以上量之是以十分当一分故十六分即为一分六厘既以五十一分二厘当五百一十二两则一分六厘即为十六两也
　　设如有米四十二石令六十人分之问每人几何法以假数尺之四十二分内减去六分【即自一十至六十之度】不足于一十之分乃以其不足于一十之度自假数尺一百以下减之余七十分即七斗为每人之米数也葢以四十二分当四十二石以六分当六十人而以相减不足于一十之分自一百以下减之是以百分当十分则所余之七十分即为七分矣且以六分当六十人是所减之数以单当十则减余之数即以十为单而单即为零故所余之七分即为七厘既以四十二分当四十二石故七厘即为七斗也
　　设如每银二两五钱兑钱四千七百五十文今有银八两问兑钱几何
　　法以假数尺之二十五分与四十七分五厘相减余度与八十分相加过于一百分乃以其过于一百分之余度自假数尺十分以上量之得十五分二厘即一万五千二百为共钱数也葢二两五钱与四千七百五十文之比同于八两与一万五千二百文之比故以二两五钱为一率四千七百五十为二率八两为三率得一万五千二百为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于二率内减去一率以其余度与三率相加而得四率其理同也又四率既过于一百分而以其过于一百分之余度自十分上量之是以十分当百分故十五分二厘即为一百五十二分既以四十七分半当四千七百五十则一百五十二分即为一万五千二百也
　　设如有银六两买米五石今有银四两八钱问买米几何
　　法以假数尺之六十分内减去五十分余度与四十八分相减得四十分即四石为米数也葢六两与五石之比同于四两八钱与四石之比故以六两为一率五石为二率四两八钱为三率得四石为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于一率内减去二率以其余度与三率相减而得四率其理同也总之二率大于一率者则四率亦大于三率故以二率多于一率之分与三率相加而得四率若二率小于一率者则四率亦小于三率故以二率小于一率之分与三率相减而得四率用虽不同而理实一也

　　正假数尺
　　法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至九十度之正假数减去首位之八于分厘尺上取其度【如一度之正假数为八二四一八减去首位之八余二四一八即为二寸四分一厘八豪】截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数如自一度至二度之斜线其与第一直线相交之处即一度五分其与第二直线相交之处即一度十分葢一度有六十分故直线分为十二每一直线当五分若于直线之间酌量取之则五分中之零分亦可得其大槩矣若尺小止用一百分则截去自一度至五度之数从六度起至九十度止葢九十度之正假数首位为一○一度之正假数首位为八相减余二故二尺之内始可容自一度至九十度之分今既截去一尺则假数首位须再减去一数故从六度起六度之正假数首位为九减去首位之九取其零数作寸分厘豪至九十度则恰得一尺之分也
　　设如甲乙丙三角形甲角四十四度三十分丙角五十三度乙丙边五尺三寸七分问甲乙边几何法以正假数尺之四十四度三十分与五十三度相减用其余度与假数尺之五十三分七厘相加得六丁一分一厘即六尺一寸一分为甲乙边也葢甲角正与丙角正之比同于乙丙边与甲乙边之比故以四十四度三十分之正为一率五十三度之正为二率假数尺之五十三分七厘当乙丙边为三率得六十一分一厘当甲乙边为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于二率内减去一率以其余度与三率相加而得四率其理同也
　　设如甲乙丙三角形甲乙边六尺一寸一分甲丙边七尺五寸九分乙角八十二度三十分问丙角几何
　　法以假数尺之六十一分一厘与七十五分九厘相减用其余度与正假数尺之八十二度三十分相减得五十三度为丙角度也葢甲丙边与甲乙边之比同于乙角正与丙角正之比故以七十五分九厘当甲丙边为一率六十一分一厘当甲乙边为二率八十二度三十分之正为三率得乙角五十三度为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于一率内减去二率余度与三率相减而得四率其理同也

　　切线假数尺
　　法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至四十五度之切线假数减去首位之八于分厘尺上取其度截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数皆与正假数尺同至于四十五度以后则与四十五度以前相为正余葢四十五度之正切线与半径等四十五度以前之正切线即四十五度以后之余切线而半径与正切之比同于余切与半径之比故切线尺止用四十五度正余相对即足八十九度之用若尺小止用一百分则截去自一度至五度之数从六度起至四十五度止其余度则至八十四度止亦与正假数尺同也
　　设如甲乙丙直角三角形甲丙边四尺三寸六分乙丙边四尺二寸九分问甲角几何
　　法以假数尺之四十三分六厘与四十二分九厘相减用其余度与切线假数尺之四十五度相减得四十四度三十分为甲角度也葢甲丙边与乙丙边之比同于半径与甲角切线之比故以四十三分六厘当甲丙边为一率四十二分九厘当乙丙边为二率四十五度之切线当半径为三率得甲角四十四度三十分为四率也因二率小于一率故于一率内减去二率余数于三率内减之即得四率也
　　设如甲乙丙直角三角形甲角五十三度甲丙边三十二尺三寸问乙丙边几何
　　法以切线假数尺之五十三度与半径相减用其余度与假数尺之三十二分三厘相加得四十二分九厘即四十二尺九寸为乙丙边也盖半径与甲角正切线之比同于甲丙边与乙丙边之比而甲角余切线与半径之比亦同于甲丙边与乙丙边之比故以五十三度之余切线为一率四十五度之切线当半径为二率三十二分三厘当甲丙边为三率得四十二分九厘当乙丙边为四率因五十三度切线自四十五度起是已减去半径矣故以二率与三率相加即得四率不必更减一率也

　　割线假数尺
　　法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至八十九度之割线假数减去首位之一于分厘尺上取其度截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数皆与正假数尺同若尺小止用一百分则截去自八十五度至八十九度之数从○度起至八十四度止葢○度之割线即半径其假数为一○今从○度起即减去半径之数至八十四度以后则假数甚大一尺之内不能容故止八十四度止也
　　设如甲乙丙直角三角形甲角四十五度三十分甲丙边四十二尺九寸问甲乙边几何
　　法以割线假数尺之四十五度三十分与假数尺之四十二分九厘相加得六十一分一厘即六十一尺一寸为甲乙边也葢半径与甲角割线之比同于甲丙边与甲乙边之比故以半径为一率四十五度三十分之割线为二率四十二分九厘当甲丙边为三率得六十一分一厘当甲乙边为四率因割线先巳减去半径之数故二率与三率相加即得四率不必更减半径也
　　设如甲乙丙直角三角形甲丙边四十二尺九寸甲乙边五十三尺七寸问甲角几何
　　法以假数尺之四十二分九厘与五十三分七厘相减用其余度自割线假数尺○度以上量之得三十七度为甲角度也葢甲丙边与甲乙边之比同于半径与甲角割线之比故以四十二分九厘当甲丙边为一率五十三分七厘当甲乙边为二率半径为三率得三十七度当甲角为四率因○度之割线即半径故以一率二率相减之余度自○度以上量之即如与半径相加也

　　御制数理精蕴下编卷四十
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
　　钦定四库全书
　　御制数理精蕴表卷一上
　　八线表
　　八线表説
　　八线之用关于数理者甚大立表愈宻则为用愈精西洋旧表设半径为十万用以推测步算秒微或有不合既而又有新表设半径为一千万取数较精但逐分列表用中比例以求秒数止可用于正余若切线割线至六十度以后其递増之数不均用中比例尚不能宻合兹又用本法细推【法见割圜】每十秒递折求零秒则用比例所差无多检用亦便用表之法并列如左列表之法○度至四十四度列于右方之上其分秒顺列右行自上而下检得某度某分秒对上层各线之数用之若有各线之数求度分秒者则对上层各线行内检得某数横对至右行即得某度分秒　四十五度至八十九度列于左方之下其分秒逆列左行自下而上
　　检得某度某分秒对下层各线之数用之若有各线之数求度分秒者则对下层各线行内检得某数横对至左行即得某度分秒
　　凡查零秒用中比例如检一度三分十三秒之正则以一度三分十秒与一度三分二十秒相减余十秒为一率一度三分十秒之正一八三七三四与一度三分二十秒之正一八四二一九相减余四八五为二率三秒为三率求得四率一四五与一度三分十秒之正相加得一八三八七九即一度三分十三秒之正盖多十秒则正多四八五今多三秒则正应多一四五为比例四率也如检一度三分十三秒之余则仍以十秒为一率一度三分十秒之余九九九八三一二内减一度三分二十秒之余九九九八三○三余九为二率三秒为三率求得四率三与一度三分十秒之余相减余九九九八三○九即一度三分十三秒之余盖多十秒则余少九今多三秒则余应少三为比例四率也　如有正一八三八七九求度分秒与一度三分十秒之正相较则多与一度三分二十秒之正相较则少即知在十秒二十秒之间乃以一度三分十秒与一度三分二十秒之正相减余四八五为一率十秒为二率今有之正内减一度三分十秒之正余一四五为三率求得四率三秒与一度三分十秒相加即得一度三分十三秒盖多四八五则多十秒今多一四五则应多三秒为比例四率也如有余九九九八三○九求度分秒则以一度三分十秒之余内减一度三分二十秒之余余九为一率十秒为二率一度三分十秒之余内减今有之余余三为三率求得四率三秒与一度三分十秒相加即得一度三分十三秒盖少九则多十秒今少三则应多三秒为比例四率也
　　八线内有正矢余矢二线正矢即半径减余之数余矢即半径减正之数故表内虽不列正矢余矢而其【数已寓矣】

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,表卷一上>
<子部,天文算法类,算书之属,几何论约>
　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　几何论约　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要
　　【臣】等谨案几何论约七卷
　　国朝杜知耕撰知耕字临甫号伯瞿柘城人是编取利玛窦与徐光启所译几何原本复加删削故名曰论约考光启于几何原本之首冠杂议数条有云此书有四不必不必疑不必揣不必试不必改有四不可得欲脱之不可得欲驳之不可得欲减之不可得欲前后更置之不可得知耕乃刋削其文似乎蹈光启之所戒然读古人书者往往各有所会心当其独契不必喻诸人人并不必印诸著书之人几何原本十五卷光启取其六巻萨几里得以絶世之萟传其国递校之秘法其果有九巻之冗赘待光启去取乎亦各取其所欲取而已知耕之取所欲取不足异也梅文鼎算术造微而所着几何摘要亦有所去取于其间且称知耕是书足以相证则是书之删繁举要必非漫然矣乾隆四十六年九月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官【臣】陆费墀

　　原序
　　凡物之生有理有形有数三者妙于自然不可言合何有于分顾从来语格物者毎详求理而略形与数其于数虽有九章之术求其精确已苦无书至论物之形则絶无及者孟子曰继之以规矩凖绳以为方圆平直不可胜用意古者公输墨翟之流未尝不究心于此而特未及勒为一家之言与然不可考矣尝窃论之理为物原数为物纪而形为物质形也者理数之相附以立者也得形之所以然则理与数皆在其中不得其形则数有穷时而理亦杳而不安非理之不足恃盖离形求理则意与象暌而理为无用即形求理则道与器合而理为有本也防何原本一书创于西洋欧吉里斯自利玛窦携入中国而上海徐元扈先生极为表章译以华文中国人始得读之其书囊括万象包罗诸有以为物之形有短长有濶狭有厚薄短长曰线濶狭曰面厚薄曰体以三者提其大纲而曲直相参斜正相求方员相凖多寡相较轻重相衡以虚例实用小该大自近测逺参之伍之错之综之物之形得而无阂数无遁理矣顾其书虽存而习者卒鲜即稍窥其籓亦仅以为厯学一家之言不知其用之无所不可也友人杜子端甫束发好学于天文律厯轩岐诸家无不该览极深湛之思而归于平实非心之所安事之所騐虽古人成説不敢从也其于是书九沛然有得以为原书义例条贯已无可议而解论所系间有繁多读者难则知者少矣于是为之删其冗复存其节要解取诂题论取发解有所未明间以已意附之多者取少迂者取径使览者如指掌列眉庶人不苦难而学者益多既成征序于予予谫陋何能为役然念先君子尝精研此书弗释巻不肖总角时毎闻其略今愧不能绍前业读杜子书而附名末议尤所欣愿者故为述其大意以应杜子之请而因为之言曰今艺学之榛荒乆矣即以律厯论二者虽同出于数然各有本末不必强同汉魏以来务为牵合了无确义至天文一家尤多穿凿凡日月交食五星凌犯有所弗通不咎推歩之失反诬天行之错以致批根人事除翦无辜翕张政刑不可殚述盖不徒时刻愆期分秒失算而已是岂非学而不实之过哉若舍去一切傅会揣合之説而以防何之学求之则数以象明理因数显涣然氷释无往不合即推而广之凡量髙测逺授土工治河渠以及百工技艺之巧日用居室之防无一之可离者然则此书诚格致之要论艺学之津梁也今夫释迦之学亦来自西域中更刘宋萧梁诸人翻演妙谛转渉悬然终属搏沙无禆实用中国人犹嗜之不啻饥渴防何一书絶非其伦徐利二公一本平实杜子所述更归防简学者辍其章句词赋之功假十一于千百数日间可得之亦何惮而不一观与杜子先有数学钥六巻已行于世正与防何家相为表里合二书评之皆洁浄精实防于不能损益一字语不云乎言之无文行之不逺吾以为言之不简不可为文简而不该不可为简请以此语賛两书读之者既得其简即得其该其于是道也庶防哉吴学颢序

　　原序
　　几何原本者西洋欧吉里斯之书自利氏西来始其学元扈徐先生译以华文厯五载三易稿而后成其书题题相因由浅入深似晦而实显似难而实易为人不可不读之书亦人人能读之书故徐公尝言曰百年之后必人人习之即又以为习之晚也书成于万厯丁未至今九十余年而习者尚寥寥无防其故何与盖以毎题必先标大纲继之以解又继之以论多者千言少者亦不下百余言一题必绘数圗一圗必有数线读者须凝精聚神手志目顾方明其义精神少懈一题未竟已不知所言为何事习者之寡不尽由此而未必不由此也若使一题之蕴数语辄尽简而能明约而能该篇幅既短精神易括一目了然如指诸掌吾知人人习之恐晩矣或语余日子盍约之余曰未易也以一语当数语聪頴者所难而况鲁钝如余者乎虽然试为之于是就其原文因其次第论可约者约之别有可发者以已意附之解已尽者节其论题自明者并节其解务简省文句期合题意而止又推义比类复缀数条于末以广其余意既毕事爰授之梓以就正四方倘摘其谬删其繁补其遗漏尤余所厚望焉杜知耕序

　　钦定四库全书
　　几何论约巻一之首
　　柘城杜知耕撰
　　界説三十六则【凡造论先当分别解説论中所用名目故作界説】
　　一界防无长短广狭厚薄
　　二界线有长短无广狭厚薄【线有曲有直】
　　三界线之界是防
　　四界直线止有两端两端之间上下更无一防
　　五界面有长短广狭而无厚薄
　　六界靣之界是线
　　七界平面一面平在界之内
　　八界平角两直线于平靣纵横相遇处如甲乙乙丙两线所作不以线之大小较论【凡言角连用三字中间一字为所指之角如称甲乙丙角乃指乙角而言也】
　　九界直线相遇作角为直线角本书中所论皆是直
　　线角角有三等一直线角
　　二曲线角三杂线角
　　十界甲乙纵线加丙丁横线上乙左右作两角相等
　　而直【角方中矩曰直】则甲乙为丙丁之垂线

　　十一界凡角大于直角曰钝角【如甲乙丙角】

　　十二界凡角小于直角曰鋭角【如前图甲乙丁角】
　　十三界界者一物之始终今所论有三界防为线之界线为面之界面为体之界体不可为界
　　十四界形或在一界【如平圎立圎等形】或在多界之间【如平方立方及平立三角六角八角等形】
　　十五界圜自界至心任作几许直线俱等
　　十六界圜之中处为心
　　十七界自圜之一界作一直线过中心至他界为圜径径分圜为两平分
　　十八界径线与半圜界所作形为半圜
　　十九界在直线界中之形为直线形
　　二十界在三直线界中之形为三边形
　　二十一界在四直线界中之形为四边形
　　二十二界在多直线界中之形为多边形
　　二十三界三边形三邉线等为平边三角形
　　二十四界三边形两邉线等为两边等三角形
　　二十五界三邉形三边俱不等为三不等三角形二十六界三邉形有一直角为三邉直角形
　　二十七界三边形有一钝角为三边钝角形
　　二十八界三边形三角皆鋭为三边鋭角形【凡三边形恒以在下者为底两旁者为腰】
　　二十九界四边形四边俱等而角直为直角方形三十界直角形其角皆直其边两两相等
　　三十一界斜方形四边等而非直角
　　三十二界长斜方形其邉两两相等而非直角
　　三十三界已上四种谓之有法四邉形四种之外他方形皆谓之无法四邉形
　　三十四界两直线【如甲乙丙丁两线】于同面行至无穷不相
　　离亦不相逺而不相遇为平行线

　　三十五界一形每两边有平行线【甲丙与乙丁平行甲乙与丙丁平行】
　　为平行方形

　　三十六界凡平行方形于对角作直线又于两边纵横各作平行线遇对角线于壬即分此形为四平行方形其两形有对角线者【己辛庚戊两形】为
　　角线方形其两形无角线者【丁壬壬乙两形】为余方形【甲乙丙丁方形今止称为丁乙方形省文也】
　　求作四则【求作者不得言不可作】
　　一求自此防至彼防求作一直线
　　二求一有界直线求从一界引长之成一直线
　　三求不论大小以防为心求作圜
　　四求设一度于此求作彼度较此度或大或小【凡言度者或线或面或体皆是】
　　公论十九则【公论者不可疑】
　　一论设有多度彼此俱与他等则彼与此自相等二论有多度等若所加之度等则合并之度亦等三论有多度等若所减之度等则所存之度亦等四论有多度不等若所加之度等则合并之度不等五论有多度不等若所减之度等则所存之度不等六论有多度俱倍于此度则彼多度俱等
　　七论有多度俱半于此度则彼多度俱等
　　八论有二度自相合【谓以此度加于彼度之上而自相合】则两度必等九论全大于其分
　　十论直角俱相等
　　十一论有甲乙丙丁两横线任作一戊己纵线或正或偏若戊己线旁同方两角俱小于直角或两角并小于两直角则两横线愈长愈相近
　　必有相遇处
　　十二论两直线不能为有界之形
　　十三论两直线止能于一防相遇
　　十四论有甲乙丙丁两度等若于甲乙加乙戊于丙丁加丁己所加两度不等则合并之差与所
　　加之差等谓甲戊之大于丙己与乙戊之大于丁己同一戊庚也
　　十五论有戊乙丁己两度不等若于戊乙加乙甲于己丁加丁丙所加两度等则合并所赢之度
　　与元所赢之度等谓戊甲之大于己丙与戊乙之大于己丁同一庚戊也
　　十六论有甲乙丙丁两度等若于甲乙减戊乙于丙丁减己丁所减两度不等则余度所赢之度
　　与减去所赢之度等谓乙戊之大于己丁与丙己之大于甲戊同一庚戊也
　　十七论有甲戊丙己两度不等若于甲戊减甲乙于丙己减丙丁所减两度等则余度所赢之度
　　与元所赢之度等谓乙戊之大于丁己与甲戊之大于丙己同一庚戊也
　　十八论全与诸分之并等
　　十九论有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较【相减之余曰较】亦倍于彼较【设此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七】

　　钦定四库全书
　　几何论约卷一
　　柘城杜知耕撰
　　一题
　　有界直线上求立平边三角形
　　法曰甲乙直线上求立平边三角
　　形先以甲为心乙为界作丙乙丁
　　圜次以乙为心甲为界作丙甲丁
　　圜两圜相交于丙于丁末作甲丙乙丙两线即甲乙丙为平边三角形
　　论曰两圜既等甲乙乙丙丙甲三线皆圜之半径故等【界説十五】
　　用法不必作全圜但作短界线相交处即得丙【下图】二题
　　一直线或内或外有一防求以防为界作直线与元线等
　　法曰有甲防及乙丙线求以甲为界作一线与乙丙等先以丙为心乙为界作乙戊圜次观甲防若
　　在丙乙之外则作甲丙线
　　如上圗或甲防在丙乙之
　　内则截取甲丙线如下圗
　　两法俱以甲丙线为底作甲丁丙平边三角形【本卷一】次引丁丙至乙戊圜界为丙戊引丁甲出圜界外稍长为甲己末以丁为心戊为界作辛戊圜其丁己线与辛戊圜相交于庚即甲庚与乙丙等论曰丁戊丁庚同为外圜半径故等丙戊丙乙同为内圜半径亦等于丁庚减丁甲于丁戊减丁丙其所减两腰等则所存必等【公论三】夫甲庚既等于丙戊即等于丙乙矣
　　若所设甲防在丙乙线之一界其法尤易若甲防在丙即以丙为心作乙戊圜从丙至戊即所求三题
　　长短两直线求于长线减去短线之度
　　法曰甲短线乙丙长线求于乙丙减甲先作乙丁线与甲等次以乙为心丁为
　　界作圜圜界交乙丙于戊即乙戊与等甲之乙丁等盖乙丁乙戊同心同圜故也【界説十五】
　　四题
　　两三角形若相当之两腰各等各两腰间角等则两底必等而两形亦等其余各两角相当者俱等
　　解曰甲乙丙丁戊己两角形甲与丁两角等甲丙
　　与丁己两线甲乙与丁戊两线各等题言乙丙与戊己两底必等而两角
　　形亦等乙与戊两角丙与己两角俱等【三角形称为角形省文也】
　　五题
　　三角形若两腰等则底线两端之两角等而两腰引出之其底之外两角亦等
　　解曰甲乙丙角形其甲丙与甲乙两腰等题言甲丙乙与甲乙丙两角等又引甲丙
　　至戊引甲乙至丁其乙丙戊与丙乙丁两外角亦等
　　増凡三边等形其三角俱等
　　六题
　　三角形若底线两端之两角等则两腰亦等
　　七题
　　一线为底出两腰线其相遇止有一防不得别有腰线与元腰线等而于此防外相遇
　　解曰乙丙线为底于乙于丙各出一线至甲防相遇不得于乙上更出一线与甲乙等丙
　　上更出一线与甲丙等而不于甲相遇
　　八题
　　两三角形若相当之两腰各等两底亦等则两腰间角必等
　　解曰甲乙丙丁戊己两角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁己两腰各等乙丙
　　与戊己两底亦等题言甲丁两角必等
　　糸本题止论甲丁两角若旋转依法论之即三角皆同可见凡线等角必等不可疑也
　　九题
　　有直线角求两分之
　　法曰乙甲丙角求两平分之先于甲乙线任截一分为甲丁次于甲丙截甲戊与甲丁等次作丁戊线次以丁戊为底立丁己戊
　　平边三角形【本卷一】末作甲己线即乙甲丙角为两平分
　　用法如前截取甲丁甲戊即以丁为心向乙丙间作一短界线次用元度以戊
　　为心亦如之两界线交处即得己【本巻一】
　　十题
　　一有界线求两平分之
　　法曰甲乙线求两平分先以甲乙为底作甲乙丙两边等三角形【本巻一】次平分丙角【本巻九】作丙丁线即平分甲乙于丁
　　用法以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半向上向下各作一短界线次用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末作丙
　　丁线即平分甲乙于戊
　　十一题
　　一直线任于一防上求作垂线
　　法曰甲乙直线任指丙防求作垂线先任用一度于丙左右各截一界为丁为戊次以丁戊为底作丁己戊两邉等角形【本巻一】末作己丙线即为甲乙之垂线
　　用法于丙防左右如前截取丁与戊即以丁为心任用一度但须长于丙丁线向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之两界
　　线交处即己
　　増若所欲立垂线之防在线末甲界上甲外无余线可截则于甲乙线上任取丙防如前法于丙上立丁丙垂线次平分甲丙丁角为己丙线次于丁丙线截取戊丙与甲丙等次于戊上立垂线与己丙线相遇于庚末自庚作庚甲线为所求
　　论曰庚丙甲庚丙戊两角形等甲与戊两角必等戊既直角则甲亦直角故庚甲为甲乙之垂线【界十】用法甲防上欲立垂线先以甲为心向元线上方任抵一界为丙次用元度以丙为心作大半圜圜界遇甲乙线于丁次自丁至丙作直线引长至戊遇圜界于己末作己甲线为所求
　　耕曰丁己既过丙心即是圜径而己甲丁则全圜之半也丁甲己角既负半圜必为直角【三巻三一】故己甲为甲乙之垂线
　　十二题
　　有无界直线之外有一防求自防作垂线至直线上法曰甲乙线外有丙防求自丙作垂线至甲乙先以丙为心作一圜令两交于甲乙线为丁戊次作丙丁丙戊两线次平分丁戊于
　　己【本巻十】末作丙己为所求
　　用法以丙为心向直线两处各作短界线为甲为乙次用一度以甲为心向丙防相望处作短界线乙为心亦如之两界线交处为丁末作丙丁交直线于戊即丙戊为垂线
　　又用法于甲乙线上近甲或近乙任取一防为心以丙为界作一圜界于丙防及相望处各稍引长
　　之次于甲乙线上视前心或相
　　望如上圗或进或退如下图任
　　移一防为心以丙为界作一圜
　　界与前圜界交处得丁末作丙丁线交甲乙线于戊即丙戊为垂线【若近界作垂线无可截取亦用此法】
　　十三题
　　一直线至他直线上所作两角非直角即等于两直角
　　解曰甲乙线至丙丁线上作甲乙丙甲乙丁两角题言此两角若非直角即一鋭一钝而并之等于两直角
　　论曰试作戊乙垂线【本巻十一】则成戊乙丁戊乙丙两直角甲乙丁角加一戊乙甲角与戊乙丁直角等甲乙丙角减一戊乙甲角与戊乙丙直角等故甲乙丁甲乙丙两角并与两直角等
　　十四题
　　一直线于线上一防岀不同方两直线偕元线毎旁作两角若旁两角与两直角等即后出两线为一直线
　　解曰甲乙线于丙防上左岀一线为丙丁右出一线为丙戊若甲丙戊甲丙丁两角与两
　　直角等题言丁丙与丙戊是一直线【论同前题】
　　十五题
　　凡两直线相交作四角毎两交角必等
　　解曰甲乙丙丁两线相交于戊题言甲戊丙丁戊
　　乙两角甲戊丁丙戊乙两角各等
　　论曰两直线相交则甲戊丁丁戊乙必等于
　　两直角甲戊丁甲戊丙亦等于两直角【本巻十三】是甲戊丁丁戊乙两角并与甲戊丁甲戊丙两角并等矣试减同用之甲戊丁角所存丁戊乙甲戊丙两角必等余两角亦同此论
　　一糸推显两直线相交作四角与四直角等
　　二糸凡直线相交于一防不论几许线几许角定与四直角等
　　増题一直线内出不同方两直线而所作两交角等即后出两线为一直线【理同本题反言之】
　　十六题
　　凡三角形之外角必大于相对之各角
　　解曰甲乙丙角形自乙甲线引至丁题言丁甲丙外角必大于相对之甲乙丙甲丙乙内角
　　论曰试以甲丙平分于戊作乙戊线引长之从戊截取戊己与乙戊等次作甲己线成甲戊己戊乙丙两角形其戊己与戊乙戊甲与戊丙各等甲戊己乙戊丙两交角又等【本巻十五】则甲己与乙丙两底亦等【本巻四】而己甲戊与戊丙乙两角亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分则丁甲丙大于己甲戊亦大于相等之戊丙乙矣依前
　　推显庚甲乙大于辛乙丙庚甲乙又与丁甲丙两交角相等【本巻十五】是丁甲丙亦大于辛乙丙矣
　　十七题
　　凡三角形之毎两角必小于两直角
　　解曰甲乙丙角形题言毎两角并俱小于两直角
　　论曰试引丙乙至丁甲乙丙甲乙丁两角并与两直角等【本巻十三】而甲乙丁外角必大于甲丙乙内角【本巻十六】是甲乙丙与甲丙乙两角并小于两直角矣余二角仿此
　　十八题
　　凡三角形大邉对大角小邉对小角
　　解曰甲乙丙角形之甲丙边大于甲乙边乙丙边题言甲乙丙角大于甲丙两角
　　论曰试于甲丙线上截甲丁与甲乙等作乙丁线则甲乙丁与甲丁乙两角等矣【本巻五】夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角必大于相对之丁丙乙内角【本巻十六】则甲乙丁角亦大于甲丙乙角而况甲乙丙又函甲乙丁于其中不更大于甲丙乙乎如乙丙边大于甲乙边则甲角亦大于丙角依此推显十九题
　　凡三角形大角对大边小角对小边
　　二十题
　　凡三角形之两边并必大于一边
　　二十一题
　　凡三角形于一边之两界出两线复作一三角形在其内则内形两腰并必小于相对两腰并而后两线所作角必大于相对角
　　解曰甲乙丙角形于乙丙边之两界各出一线遇于丁题言丁丙丁乙两线并必小
　　于甲乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角二十二题
　　三直线其毎两线并大于一线求作三角形
　　法曰甲乙丙三线其第一第二线并大于第三线【若两线比第三线或等或小即不能作三角形见本巻二十】求作三角形先任作丁戊线长于三线并次截丁己与甲等截己庚与乙等
　　截庚辛与丙等次以己为心丁为界作丁壬癸圜以庚为心辛为界作辛壬癸圜其两圜相遇下为壬上为癸末以庚己为底作癸庚癸己两线即得己癸庚三角形【壬防亦可作　若两圜不相交即是两线或等或小于第三线不成三角形】
　　用法先作丁戊线与乙等次以丁为心甲为度向上作短界线次以戊为心丙为度亦如
　　之交处得己末作己丁己戊两线为所求【若设一三角形求别作一形与之等亦用此法】
　　二十三题
　　一直线任于一防上求作一角与所设角等
　　法曰甲乙线于丙防求作一角与丁戊己角等先任作庚辛线成庚戊辛角形
　　次依甲乙线作丙壬癸角形与戊庚辛等【本卷二二】二十四题
　　两三角形相当之两腰各等若一形之腰间角大则底亦大
　　解曰甲乙丙与丁戊庚两角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁庚两腰各等若
　　甲角大于戊丁庚角题言乙丙底亦大于戊庚底耕曰设丁戊己与甲乙丙形等则角与底必俱等若丁己线开至辛甲角小于丁角而乙丙底亦必小于戊辛底若丁己线敛至庚甲角大于丁角而乙丙底亦大于戊庚底
　　二十五题
　　两三角形相当之两腰各等若一形之底大则腰间角亦大
　　二十六题
　　两三角形有相当之两角等及相当之一边等则余两边必等余一角亦等其一边不论在两角之内及一角之对
　　解曰甲乙丙形之乙丙两角与丁戊己形之戊己两角各等或两角内之乙丙边与戊己边等或对丙角之甲乙边与对己角之
　　丁戊邉等题言两形之余两边一角必俱等
　　二十七题
　　两直线有他直线交加其上若内相对两角等即两直线必平行
　　解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛而甲庚辛与丁辛庚两角等题言甲乙丙丁两线必平行
　　论曰如不平行两线必相遇于壬成庚辛壬三角形则甲庚辛外角宜大于相对之庚辛壬内角【本巻十六】若两角等则两线必平行
　　二十八题
　　两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内角等或同方两内角与两直角等即两直线必平行
　　解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛题言若戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等则两线必平行又言若甲庚辛与丙辛庚同方两内角并与两直角等则两线必平行
　　二十九题
　　两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等【义同上二题反言之】
　　三十题
　　两直线与他直线平行则元两线亦平行【此题所指线在同面者不同面线后别有论】
　　三十一题
　　一防上求作直线与所设直线平行
　　法曰甲防求作直线与乙丙平行先从甲向乙丙线任作甲丁线即乙丙线上成甲丁乙角次于甲防上作一角与甲丁乙等【本巻二三】为
　　戊甲丁引长戊甲至己即己戊为所求
　　论曰戊甲丁甲丁乙相对之两内角等两线必平行【本巻二八】
　　用法先从甲防作甲丁线次以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界少长于戊己次取戊己度截庚辛圜界于辛
　　末作甲辛线为所求
　　又用法以甲防为心于乙丙线近乙处任作短界线为丁次用元度以丁为心于乙丙线向丙作短界线为戊次用元度以戊为心向
　　上与甲平处作短界线又用元度以甲为心向甲之平处作短界线两界线交处为己末作己甲线为所求又用法取甲至乙丙线为度于乙丙线近乙处任指一防为心作短界线于甲次用元度近丙处任指一防为心作短界线于丁末作
　　丁甲线为所求【出几何要法】
　　増从此题生一用法设一角两线求作四边形有
　　角与所设角等
　　法曰先作己丁戊角与丙等次截丁戊与甲等己丁与乙等末依丁戊平行作己庚
　　依丁己平行作庚戊为所求
　　三十二题【二支】
　　凡三角形之外角与相对之内两角并等凡三角形之内三角并与两直角等
　　先解曰甲乙丙角形乙丙边引至丁题言甲丙丁
　　外角与甲乙两内角并等
　　论曰试作戊丙线与甲乙平行即甲丙为甲
　　乙戊丙之交加线则乙甲丙角与相对之甲丙戊角等【本卷二九】又乙丁与两平行线相遇则戊丙丁外角与相对之乙内角等【本卷二九】故甲丙丁外角与甲乙两内角并等
　　后解曰甲乙丙三角并与两直角等
　　论曰甲丙乙甲丙丁两角并与两直角等【本巻十三】又与甲乙丙三角并等是三角亦与两直角等
　　増从此推知第一形当两直角第二形【可分三角形二】当
　　四直角第三形【可分三角形三】当六
　　直角第四形【可分三角形四】当八直
　　角从此可推至无穷
　　耕曰不论何形凡形四边可当四直角五边可当六直角六边可当八直角七边可当十直角从此可推至无穷
　　一糸凡诸种角形之三角并俱相等
　　二糸凡两腰等角形若腰间直角则余两角毎当直角之半腰间钝角则余两角俱小于半直角腰间鋭角则余两角俱大于半直角
　　三糸平边角形毎当直角三分之二
　　四糸甲乙丙平边角形以甲丁垂线分之其丁甲丙丁甲乙两角毎当直角三分之一乙丙两角毎
　　当直角三分之二
　　増从三糸可分一直角为三平分如甲乙丙直角于甲乙线上作甲乙丁平边角形【本巻一】次平分甲丁于戊【本巻九】末作乙戊线
　　三十三题
　　两平行相等线有两线聨之其两线亦平行亦相等
　　三十四题
　　凡平行线方形毎相对两边线各等毎相对两角各等对角线分本形两平分
　　解曰甲乙丙丁平行方形题言甲乙与丙丁两线甲丙与乙丁两线各等又言乙与丙两角丁与甲两角各等又言若作甲丁对角线
　　即分本形为两平分
　　三十五题
　　两平行方形若同在平行线内又同底则两形必等解曰甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形同丙丁底题言两形等【等者谓所函之地等后言形等者多仿此】
　　先论己防在甲戊之内曰甲戊己乙两线等试于两线各减己戊余甲己戊乙亦等因显甲丙己戊丁乙两角形亦等【本巻四】次于两角
　　形毎加一丙丁戊己四边形即丙丁戊甲丙丁乙己两方形安得不等
　　次论己戊同防曰甲丙戊戊丁乙两角形等次于两角形毎加一丙戊丁角形即丙丁戊甲与丙丁戊乙两方形故等
　　后论己防在甲戊之外曰甲戊己乙两线等
　　而毎加一戊己线即甲己与戊乙两线亦等因显己甲丙乙戊丁两角形亦等次毎减一己戊庚角形加一庚丁丙角形即丙丁戊甲与丙丁乙己两方形故等

　　三十六题
　　两平行线内有两平行方形若底等则形亦等
　　解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊己与庚辛丁乙两平行方形而丙戊与辛丁两底
　　等题言两形亦等
　　论曰试作丙庚戊乙两线成庚丙戊乙方形此形与庚辛丁乙方形同庚乙底必等与甲丙戊己方形同丙戊底亦等【本巻三五】即甲丙戊己与庚辛丁乙两方形自相等
　　三十七题
　　两平行线内有两三角形若同底则两形必等
　　三十八题
　　两平行线内有两三角形若底等则两形必等
　　耕曰三角形当等髙等底方形之半两方形等则两角形必亦等论同前二题平行方形
　　増甲乙丙角形任于乙丙边平分于丁作丁甲线
　　即分本形为两平分
　　论曰试于甲角上作直线与乙丙平行则甲
　　乙丁甲丁丙两角形在平行线内两底等则两形亦等
　　二増甲乙丙角形从丁防求两平分法先作丁甲线次平分乙丙于戊作戊己线与甲丁平行末作
　　己丁线即分本形为两平分
　　论曰试作甲戊直线即甲戊己己丁戊两角形在平行线内同己戊底必等而毎加一己
　　戊丙形则己丁丙与甲戊丙两角形亦等夫甲戊丙为甲乙丙之半则己丁丙亦甲乙丙之半
　　三十九题
　　两三角形其底同其形等必在两平行线内
　　四十题
　　两三角形其底等其形等必在两平行线内
　　四十一题
　　两平行线内有一平行方形一三角形同底则方形倍大于三角形
　　四十二题
　　有三角形求作平行方形与之等而方形角有与所设角等
　　法曰求作平行方形与甲乙丙角形等而有丁角先平分乙丙边于戊次作丙戊己角与丁等【本巻十】次作甲庚直线与乙丙平行末作
　　丙庚线与戊己平行即得己戊丙庚方形为所求四十三题
　　凡方形对角线旁两余方形自相等
　　解曰甲乙丙丁方形有甲丙对角线题言两旁之壬戊与丁庚两余方形自相等
　　论曰甲乙丙甲丙丁两角形等又甲戊庚甲庚辛两角形庚壬丙庚丙己两角形各等于甲乙丙形内减甲庚戊庚壬丙两形
　　于甲丙丁形内减甲庚辛庚丙己两形则所存壬戊丁庚两余方形安得不等
　　四十四题
　　一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角有与所设角等
　　法曰求于甲线上作平行方形与乙等而有丙角先作己丁方形与乙等而戊己庚角与丙等次引
　　长丁戊庚己两线为戊壬己辛令各与甲等次作壬己对角线引出之次引长戊己丁庚两线而丁庚遇对角
　　线于癸末作癸子与庚辛平行作壬子与戊丑平行即己丑子辛平行方形为所求【论同本巻四二四三】
　　四十五题
　　有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角有与所设角等
　　法曰求作平行方形与甲乙丙五边形等而有丁
　　角先分五边形为甲乙丙三三角形次作戊己庚辛方形与甲等而有丁角次引长戊辛己庚作庚辛壬癸方
　　形与乙等而有丁角末复引前线作壬癸子丑方形与丙等而有丁角即此三形并成一平行方形为所求【自五以上仿此法论同本巻四二四四】
　　増题甲乙两形甲大乙小以乙减甲求较几何法先任作丁丙己戊方形与甲等次于丙丁线上作丁丙辛庚方形与乙等即得辛庚戊己为甲乙相减之较
　　四十六题
　　一直线上求立直角方形
　　法曰甲乙线上求立直角方形先于甲乙两界各立垂线为丙甲丁乙皆与甲乙线等末
　　作丙丁聨之即直角方形
　　四十七题
　　凡三边直角形对直角边上所作直角方形与余两边上所作直角方形并等
　　解曰甲乙丙角形于对乙甲丙直角之乙丙邉上作乙丙丁戊方形题言此方形与甲乙邉上所作甲乙己庚及甲丙邉上所作甲丙辛壬两方形并
　　等
　　曰试从甲作甲癸直线
　　与乙戊平行分乙丙邉于
　　子次自甲至丁至戊各作
　　直线末自乙至辛自丙至己各作直线其乙甲丙与乙甲庚既皆直角即庚甲甲丙是一直线【本巻十四】又丙乙戊与甲乙己既皆直角而毎加一甲乙丙角即甲乙戊与丙乙己两角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊两邉与丙乙己角形之己乙乙丙两
　　边等甲乙戊与丙乙己两
　　角既等则对等角之甲戊
　　与丙己两边亦等而此两
　　角形亦等矣夫乙庚方形
　　倍大于同乙己底同在平行线内之丙乙己角形而戊子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行线内之甲乙戊角形则乙庚方形不与戊子直角形等乎依显丙壬与癸丙两形亦等是戊丙一形与乙庚丙壬两形并等矣
　　一増凡直角方形之对角线上所作直角方形倍大于元形
　　二増设不等两方形一以甲为邉一以乙为邉求别作两方形自相等而并之又与元设两形并等法先作丙丁戊形令丙丁与甲等
　　丙戊与乙等而直角末于丁戊两端各作半直角两腰遇于己而等则己必直角【本卷三二】即己戊己丁上两方形自相等并之又与甲乙上两方形并等论曰丁戊上方形与丁丙丙戊上两方形并等又与丁己己戊上两方形并等是丁己己戊上两方形并与丁丙丙戊上两方形并亦等
　　三増多直角方形求并作一方形设不等五方形其边为甲乙丙丁戊先作己庚辛直角令己庚与甲等辛庚与乙等次作己辛线旋作己辛壬直角令辛壬与丙等次作己壬线旋作己壬癸直角令壬癸与丁等次作己癸线旋作己癸子直角令癸子与戊等末作己子线即己子线上所作方形为所求
　　论曰辛己上方形与甲乙上两方形并等己壬上方形与甲乙丙上三方形并等余仿此
　　四増甲乙丙三边直角形以两边求第三边长短之度如先得甲乙数六甲丙数八求乙丙之数其甲乙甲丙上两方形并既与乙丙上方形等甲乙之羃三十六【方形自乗之数曰羃】甲丙之羃六十四并之得百而乙丙之羃亦百开方
　　得十即乙丙之数也又设先得甲乙六乙丙十而求甲丙之数乙丙之羃百减甲乙之羃三十六余六十四开方得八即甲丙之数也求甲乙仿此四十八题
　　凡三角形之一边上所作直角方形与余边上所作两直角方形并等则对一边之角必直角

　　几何论约卷一
　　钦定四库全书
　　几何论约卷二之首
　　柘城杜知耕撰
　　界説二则
　　一界凡直角形之两边函一直角者为直角形之矩线如甲乙偕乙丙函甲乙丙直角得此两边即知直角形大小之度若别作两线与甲乙
　　乙丙各等亦知丁乙直角形大小之度则两线为直角形之矩线
　　二界诸方形有对角线者其两余方形任偕一角线方形为磬折形如乙丁方形不论斜直作甲丙对角线从庚防作戊己辛壬两线与方边平行而分本形为四方形其辛己戊壬为余方形辛戊己壬为角线方形两余方形任
　　与壬己一角线方形并形曲如磬谓之癸子庚磬折形用戊辛角线方形仿此

　　钦定四库全书
　　几何论约卷二
　　柘城杜知耕撰
　　一题
　　两直线任于一直线分为若干分其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内直角形并等
　　解曰甲与乙丙两线任于乙丙三分之为乙丁戊丙题言甲偕乙丙矩内形与甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩内形并等
　　论曰乙己全形即甲偕乙丙矩内形乙辛丁壬戊己三分形即甲偕乙丁丁戊戊丙三矩内形故三分形并与全形等
　　二题
　　一直线任两分之其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内形并等
　　三题
　　一直线任两分之其元线任偕一分线矩内直角形与分余线偕一分线矩内直角形及一分线上直角方形并等
　　解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙任偕一分线甲丙矩内形【不论甲丙为大分为小分】与分余丙乙偕甲丙
　　矩内形及甲丙上方形并等
　　论曰甲己为元线甲乙偕分线甲
　　丙矩内形甲丁为分线甲丙上方
　　形丙己为甲丙偕分余线丙乙矩内形是甲丁及丙己两分形并与甲己全形等
　　四题
　　一直线任两分之其元线上直角方形与各分线上两直角方形及两分线矩内形二并等
　　解曰甲乙线任分于丙题言甲乙线上方形与甲丙丙乙线上两方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙
　　两矩内形并等
　　论曰甲丁为甲乙元线上方形辛己为甲丙上方形丙壬为丙乙上方形甲庚
　　庚丁俱甲丙偕丙乙矩内形也故四形并与甲乙元线上甲丁方形等
　　糸凡直角方形之角线形皆直角方形
　　五题
　　一直线两平分之又任两分之其任两分线矩内形及分内线上方形并与平分半线上方形等
　　解曰甲乙线平分于丙又任分于丁其丙丁为分内线【丙丁线者丙乙所以大于丁乙之较又甲丁所以大于甲丙之较故曰分内线】题言甲丁丁乙矩内形及分内线丙丁上方形并与丙乙线上方形等论曰癸庚为丙丁上方形丁壬为丁乙
　　上方形丙辛辛己为两余方自相等辛己加一丁壬则与丙壬等即与甲癸等甲癸加一丙辛即甲丁偕丁乙矩内形岂不与卯寅丑磬折形等乎故加一丙丁上癸庚方形与丙乙线上方形等
　　六题
　　一直线两平分之又任引増一直线共为一全线其全线偕引増线矩内形及半元线上方形并与半元线偕引増线上方形等
　　解曰甲乙线平分于丙又从乙引増乙丁与甲乙通为一全线题言甲丁偕乙丁矩内形及半元线丙乙上方形并与丙丁上方形等论曰甲癸与丙辛等又丙辛与辛戊等【一卷】
　　【四三】即辛戊与甲癸亦等甲癸加一丙壬即甲丁偕丁乙矩内形与卯寅丑磬折形等矣故加一乙丙上癸庚方形与丁丙上丙戊方形等
　　七题
　　一直线任两分之其元线上及任用一分线上两方形并与元线偕一分线矩内形二及分余线上方形并等
　　解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙上及任用
　　一分线甲丙上两方形并【不论甲丙
　　为大分为小分】与甲乙偕甲丙矩内形
　　二及分余线丙乙上方形并等
　　论曰甲丁为甲乙上方形辛己为甲丙上方形丙壬为丙乙上方形甲己与辛丁皆甲乙偕甲丙矩内形也两矩内形及丙壬方形并与甲丁方形较多一辛己方形故与甲乙及甲丙上两方形并等八题
　　一直线任两分之其元线偕初分线矩内形四及分余线上方形并与元线偕初分线上方形等
　　解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙偕初分线丙乙矩内形四【不论丙乙为大分为小分】及分余线甲丙上方形并与甲乙偕丙乙【通作一线】上方形等
　　论曰丙己庚壬壬丁丁乙皆甲乙偕丙乙矩内形甲子为甲丙上方形此五形并与甲乙偕丙乙上方形
　　等甲乙偕丙乙上方形即癸己
　　全形也

　　九题
　　一直线两平分之又任两分之任分线上两方形并倍大于平分半线上及分内线上两方形并
　　解曰甲乙线平分于丙又任分于丁题言甲丁丁乙上两方形并倍大于平分半线甲丙上分余线
　　丙丁上两方形并
　　论曰自丙作丙戊垂线与甲丙等次作甲戊戊乙两腰次从丁作丁己垂线遇戊乙于己从己作己庚线与甲乙平行成戊庚己甲丙戊己丁乙角形三皆两腰等而直角末作甲己线成己戊甲甲丁己角形二
　　皆直角戊庚己形之戊己上方必倍大于己庚上方即倍大于等己庚之丙丁上方甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方又甲戊己形之甲己上方与戊己甲戊上两方形并等即甲己上方亦倍大于甲丙丙丁上两方形并又甲己上方与甲丁丁己上两方形并等即与甲丁及等丁己之丁乙上两方形并等夫甲丁丁乙上两方形并既等于甲己上方形必亦倍大于甲丙丙丁上两方形并十题
　　一直线两平分之又任引増一线共为一全线其全线上及引增线上两直角方形并倍大于平分半线上及分余半线偕引増线上两直角方形并
　　解曰甲乙线平分于丙又任引増乙丁题言甲丁线上及乙丁线上两方形并倍大于甲丙线上及丙丁线上两方形并
　　论曰自丙作丙戊垂线与甲丙等自戊至甲至乙各作腰线次从丁作己丁垂线引长之又引长戊乙相遇于庚次作戊己线
　　与丙丁平行成甲丙戊戊己庚庚丁乙角形三各两腰等而直角末作甲庚线成甲戊庚甲丁庚角形二皆直角甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方戊己庚形之戊庚上方必倍大于等戊己之丙丁上方又甲庚上方与甲戊戊庚上两方形并等即甲庚上方亦倍大于甲丙丙丁上两方形并又甲丁及等丁庚之丁乙上两方形并与甲庚上方形等是甲丁丁乙上两方形并亦倍大于甲丙丙丁上两方形并矣
　　十一题
　　一直线求两分之而元线偕初分线矩内形与分余线上方形等
　　法曰甲乙线求两分之令元线偕初分小线矩内形与分余大线上方形等先
　　于甲乙线上作甲丙方形次平分甲丁于戊作戊乙线次引戊甲线至己令戊己与戊乙等末截甲乙于庚令甲庚与甲己等即甲乙偕庚乙矩内形与甲庚上方形等为所求
　　论曰从庚作壬辛线与丁己平行次作己辛线与甲庚平行庚丙为甲乙乙庚矩内形己庚为甲庚上方形己壬为丁己偕甲己矩内形于己壬増一甲戊上方形必与等戊己之戊乙上方形等【本巻六】戊乙上方形又与戊甲甲乙
　　上两方形并等是戊甲甲乙上两方形并与己壬及戊甲上方形并亦等矣次各减同用之戊甲上方形所存甲丙己壬两形不亦等乎再各减同用之甲壬形所存甲乙乙庚矩内形【即庚丙形】与甲庚上方形【即己庚形】必相等【此题所求即理分中末线详六巻三十】
　　十二题
　　三边钝角形其对钝角边上方形大于余邉上两方形并其较为钝角旁任用一邉偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内形二
　　解曰甲乙丙钝角形乙为钝角从余角下一垂线
　　与钝角旁一邉丙乙引増线遇于丁为直角题言对钝角之甲丙邉上方
　　形大于甲乙乙丙两邉上方形并其较为丙乙偕乙丁矩内形二
　　论曰丙丁线任分于乙即丙丁上方形与丙乙乙丁上两方形及丙乙偕乙丁矩内形二并等【本卷四】
　　甲丙上方形与甲丁丙丁上两方形并等即与甲丁乙丁丙乙上三方形
　　及丙乙偕乙丁矩内形二并等也又甲乙上方形与甲丁乙丁上两方形并等于甲乙上方形再増一丙乙上方形而与甲丙上方形较仍朒丙乙偕乙丁矩内形二也
　　十三题
　　三邉鋭角形其对鋭角邉上方形小于余邉上两方形并其较为鋭角旁任用一邉偕其对角所下垂线旁之近鋭角分线矩内形二
　　解曰甲乙丙鋭角形从甲角向对邉乙丙下一垂线分乙丙于丁题言对
　　丙鋭角之甲乙邉上方形小于甲丙乙丙邉上两方形并其较为乙丙偕丁丙矩内形二
　　论曰乙丙线任分于丁即乙丙及丁丙上两方形并与乙丙偕丁丙矩内形二及乙丁上方形并等【本卷七】又甲丙上方形与甲丁丁丙上两方形并等若甲丙乙丙上两方形并必与乙丙偕丁丙矩内
　　形二及甲丁乙丁上两方形并等又甲乙上方形与甲丁乙丁上两方形
　　并等即甲乙上方形与甲丙乙丙上两方形较则朒乙丙偕丁丙矩内形二矣
　　十四题
　　有直线形求作直角方形与之等
　　法曰甲无法四邉形求作方形与
　　之等先作乙丁形与甲等而直角
　　【一巻四五】任以丁丙邉引之至己令丙
　　己与乙丙等次平分丁己于庚其庚防若在丙则乙丁即是方形若在丙外即以庚为心丁为界作丁辛己半圜末于乙丙线引长抵圜界于辛即丙辛上方形与甲等
　　论曰自庚作庚辛线庚辛上方形与庚丙丙辛上两方形并等又等庚辛之庚己上方形与庚丙上方形及丁丙偕等丙乙之丙己矩内形【即乙丁形】并等【本巻五】此二率毎减去同用之庚丙上方形所存乙丁形与丙辛上方形安得不等
　　増题若先得方形之对角线所长于本形边之较而求本形边其较为甲乙先于甲乙上作甲丙方
　　形次作乙丁对角线引长至
　　戊令丁戊与甲乙等即得乙
　　戊线为所求
　　论曰依乙戊线作戊庚方形次引乙甲线至己末作戊甲线其己甲丁己戊丁两角必等【两皆直角】同减去丁戊甲形所存己甲戊己戊甲两角亦等角等则己甲己戊两腰必等故乙己角线大于戊己边之较为甲乙
　　耕曰前论止言当然而未及所以然今补一论以明之另作辛壬为乙己角线上方形次作癸子丑寅两形皆与庚戊等错综加于辛壬方形之上重叠一丑子方形而缺辰己卯午相等两方形凡两方形并与角线上一方形等【一卷四七増】则丑子一形必与两缺形并等次作辛未为卯午缺形之角线而辛未上方形必亦与两缺形并等则丑子形之未丑邉与辛未线必等夫午未为方邉小于角线之较与上圗甲乙等即与上圗丁戊等未丑与辛未等即与上圗丁乙等故并两线为方边

　　几何讑约巻二
　　钦定四库全书
　　几何论约卷三之首
　　柘城杜知耕撰
　　界説十则
　　一界凡圜之径线等或从心至圜界线等为等圜如
　　甲乙戊己两径等或丁丙辛庚从心至圜界等即两圜等
　　二界凡直线切圜界过之而不与界交为切圜线甲乙在圜外为切圜线若丙丁入圜内则交线也

　　三界凡两圜相切而不相交为切圜甲乙两圜相切
　　于外丙丁两圜
　　相切于内俱曰
　　切圜戊己庚辛则交圜也
　　四界凡圜内直线从心下垂线其垂线大小之度即直线距心逺近之度如甲乙距丁心近则丙丁垂线小戊己距心逺则丁庚垂线大
　　五界凡直线割圜之形为圜分如丁乙线割圜其乙甲丁乙丙丁皆为圜分圜分有三等过心者为半圜分函心者为圜大分不函心者
　　为圜小分又割线为圜分为弧
　　六界凡圜界偕直线作角为圜分角其在半圜内为
　　半圜角在大分内为大分角在小分内为小分角
　　七界凡圜界任于一防出两直线作一角为负圜分角甲乙丙圜分甲丙为底于乙防出两直线作甲
　　乙丙角为负甲乙丙圜分角

　　八界若两直线之角乗圜之一分为乗圜分角甲乙
　　丙丁圜内于甲防出甲乙甲丁
　　两线作乙甲丁角为乗乙丙丁
　　圜分角圜角三种之外又有一种为切边角或直线切圜如己庚辛或两圜相切于外如辛壬癸或两圜相切于内如癸壬子俱为切边角
　　九界凡从圜心以两直线作角偕圜界为三角形曰
　　分圜形

　　十界两负圜角相等即所负之圜分相似甲乙己与丁丙戊两负圜分角等则所负丙丁戊与乙甲己两圜分相似又两圜或不等其负
　　圜分角等即两圜分相似【相似者同为几分圜之几也】

　　钦定四库全书
　　几何论约巻三
　　柘城杜知耕撰
　　一题
　　有圜求心
　　解曰甲乙丙丁圜求心先于圜之两界任作一甲丙直线平分于戊次于戊作乙丁
　　垂线平分于己即己为圜心
　　糸因此推显圜内有直线分他线为两平分而为直角即圜心在其内
　　二题
　　圜界任取两防以直线相聨则直线全在圜内
　　三题
　　直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角为两直角必两平分
　　解曰甲乙丙丁圜有丙丁线过戊心平分甲乙线于己题言戊己必是垂线而己旁
　　为两直角又言己旁既为两直角则戊己必分甲乙为两平分
　　四题
　　圜内不过心两直线相交不得俱为两平分
　　解曰甲乙丙圜内有甲乙丙丁两直线俱不过已心而交于戊题言两直线或有一
　　线为两平分不得俱为两平分
　　五题
　　两圜相交必不同心
　　六题
　　两圜内相切必不同心
　　七题
　　圜径离心任取一防从防至圜界任出几线其过心线最大不过心线最小余线愈近心者愈大愈近不过心线者愈小而诸线中止两线等
　　解曰甲戊辛圜其径甲乙其心巳离心任取一防为庚从庚至圜界任出几线为庚丙庚丁庚戊题先言从庚所出诸
　　线惟过心庚甲最大次言不过心庚乙最小三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近心愈大愈近庚乙愈小后言庚乙两旁如庚戊庚辛止可出两线等不得有三线等
　　八题
　　圜外任取一防从防任出几线其至规内则过心线最大余线愈离心愈小其至规外则过心线最小余线愈近径愈小而诸线中止两线等
　　解曰乙己壬圜之外从甲防任出几线其一过心为甲壬余为甲辛甲庚甲己皆至规内题先言过
　　心之甲壬最大次言近心之甲辛
　　大于离心之甲庚甲庚又大于甲
　　己三言规外之甲乙为乙壬径余
　　者最小四言甲丙近径余小于甲丁甲丁又小于甲戊后言甲乙两旁止可出两线如甲丙甲子相等不得有三线等
　　九题
　　圜内从一防至界作三线以上皆等此防必是圜心论曰三线皆半径故等若非圜心所出止有两线等不得有三线等
　　十题
　　两圜相交止于两防
　　十一题
　　两圜内相切作直线聨两心引出之必至切界解曰甲乙丙甲戊丁两圜内相切于甲两心为巳为庚题言作直线聨庚己两心引
　　抵圜界必至甲
　　十二题
　　两圜外相切以直线聨两心必过切界
　　十三题
　　圜相切不论内外止以一防
　　十四题
　　圜内两直线等即距心之逺近等距心之逺近等即两直线等
　　解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙两线等题言两线距心逺近亦等又言两
　　线距心逺近等则两线亦等
　　十五题
　　径为圜内之大线其余线近心大于逺心
　　解曰甲丙己圜其心庚其径甲己其近心线为乙戊逺心线为丙丁题言甲己最大
　　乙戊近心大于丙丁逺心
　　十六题
　　圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边角不得更作一直线入其内其半圜分角大于各直线鋭角切边角小于各直线鋭角
　　解曰甲乙丙圜其心丁甲丙为径从甲作甲戊为甲丙之垂线题言戊甲全在圜外又言戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角
　　不得更作一直线入其内若作甲己线必割圜为分又言甲丙径线偕甲乙圜界所作丙甲乙圜分角大于各直线鋭角而戊甲垂线偕甲乙圜分所作戊甲乙切边角小于各直线鋭角
　　论曰甲戊下有直线既云必割圜为分即此直线偕戊甲所作角必大于切边角偕丙甲所作角必小于分圜角
　　糸戊甲线必切圜以一防
　　増题有两种几何一大一小以小率半増之逓増至于无穷以大率半减之逓减至于无穷其元大者恒大元小者恒小如戊甲乙切边角为小率壬庚辛直线鋭角为大率今别作甲丙甲丁等圜俱切戊己线于甲其切边角愈増愈大别以庚癸庚子分壬庚
　　辛角愈分愈小然直线角恒大切邉角恒小乃至终古不得相比
　　又増题旧有一説以一小率加一大率之上或以一大率加一小率之上不相离逐线渐移之必至一相等之处又一説有率大于此率者有率小于此率者则必有率等于此率者昔人以为皆公论若用以律本题即不可得故今斥为不公论如甲乙丙圜其径甲丙令甲丙之甲界定在于甲而引丙线逐线渐移之向己其所经丁
　　戊己及中间逐线所经无数凡割圜时皆为鋭角即小于半圜分角才离鋭角便为直角即大于半圜分角终无相等线可见前一旧説未为公论又直线鋭角皆小于半圜分角直角与钝角皆大于半圜分角是有大者有小者终无等者可见后一旧説未为公论
　　十七题
　　设一防一圜求从防作切线
　　法曰甲防求作直线切乙丙圜其心丁先从甲作甲丁直线截圜界于乙次以丁为心甲为界作甲戊圜次从乙作甲丁之垂线而遇甲戊圜于戊次作戊丁线而截乙丙圜于丙末作甲丙线为所求
　　论曰甲丙丁与戊丁乙两角形各等戊乙丁既直角则甲丙偕丙丁半径亦直角故甲丙为切线十八题
　　直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线解曰甲乙线切丙丁圜于丙从戊心至切界作戊丙线题言戊丙为甲乙之垂线
　　十九题
　　直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线内
　　二十题
　　负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍大于负圜角
　　解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负圜角同以乙丙圜分为底题言
　　乙丁丙角倍大于乙甲丙角
　　先论分圜角在乙甲甲丙之内者曰从甲作甲戊线其甲丁乙形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲两角等【一巻五】而乙丁戊外角与相对两内角并等【一巻三二】即乙丁戊倍大于乙甲丁矣依显丙丁戊亦倍大于丙甲丁则乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角
　　次论分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙线过丁心者曰丁甲丙形两腰等则两角亦等而乙丁丙外角与甲丙两内角并等是乙丁
　　丙角倍大于乙甲丙角
　　后论分圜角在负圜角之外而甲乙截丁丙者曰乙甲丙负圜角乙丁丙分圜角自甲作甲戊过心线依前论推显戊丁丙分圜角倍
　　大于戊甲丙负圜角又戊丁乙分圜角倍大于戊甲乙负圜角次于戊丁丙角减戊丁乙角于戊甲丙角减戊甲乙角所余乙丁丙分圜角必倍大于乙甲丙负圜角
　　増若乙丁丁丙不作角于心或为半圜或大于半圜则心外余地亦倍大于同底之负圜角
　　论曰作甲戊过心线即心外余地
　　分为乙丁戊戊丁丙依前论推显
　　此两角倍大于乙甲丁丁甲丙两角
　　二十一题
　　凡同圜分内所作负圜角俱等
　　解曰甲乙丙丁圜其心戊
　　于丁甲乙丙圜分丙任作
　　丁甲丙丁乙丙两角题言此两角等
　　论曰若函心大分所作如第一图则依丁丙作丁戊丙分圜角此角既倍大于甲角又倍大于乙角是甲乙两角自相等或半圜分所作如第二圗则依二十题増言心外余地倍大于同底各负圜角即各角自相等或不函心小分所作如第三图则作戊丙戊丁两线再作乙庚甲己两过心线丁戊己己戊丙两角并既倍大于丁甲丙角而丁戊庚庚戊丙两角并又倍大于丁乙丙角则甲乙两角必自相等
　　二十二题
　　圜内切界四边形毎相对两角并与两直角等
　　解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有
　　甲乙丙丁四边形题言甲乙丙丙
　　丁甲两角并乙丙丁丁甲乙两角并各与两直角等
　　论曰试作甲丙乙丁两对角线其甲乙丁甲丙丁两角同负甲乙丙丁圜分即等【本卷二一】依显丙甲丁丙乙丁两角亦等【以同负丙乙甲丁圜分故】则甲乙丁丙乙丁两角并【即一甲乙丙角】与甲丙丁丙甲丁两角并等次毎加一丙丁甲角即甲乙丙丙丁甲两角并与甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三角并元与两直角等【一巻三一】则甲乙丙丙丁甲两角并亦与两直角等依显乙丙丁丁甲乙两角并亦与两直角等二十三题
　　一直线上作两圜分不得相似而不相等
　　二十四题
　　相等两直线上作相似两圜分必等
　　二十五题
　　有圜分求成圜
　　法曰甲乙丙圜分求成圜先作甲丙线次作乙丁为甲丙之垂线次作甲乙线视丁乙甲角或大或小或等于丁甲乙角若等即丁为圜心
　　何也两角等则对等角之乙丁丁甲两邉必等又丁丙元与甲丁等是从丁出三线至圜界皆等故丁为圜心
　　次法曰若丁乙甲角大于丁甲乙角当为圜之小分即作乙甲戊角与丁乙甲角等次引
　　乙丁线与甲戊线遇于戊即戊为圜心
　　论曰试作戊丙线成甲丁戊丙丁戊相等两角形而甲戊戊丙两线必等又戊乙甲戊甲乙两角等而对等角之戊乙戊甲两线必亦等今戊甲戊乙戊丙三线至界皆等故戊为圜心
　　后法曰若丁乙甲角小于丁甲乙角甲乙丙当为圜之大分即作乙甲戊角与丁乙
　　甲角等而甲戊遇丁乙线于戊即戊为圜心论曰试作戊丙线依前推知甲戊与戊丙等又与戊乙等是从戊至界三线皆等而戊为圜心増求圜分之心有一简法于甲乙丙圜分任取三防于甲于乙于丙以两线聨之各平分于丁于戊从丁戊各作垂线相遇于己即己
　　为圜心
　　用法圜界上任取四防各为心相向作界线两两相交为戊己庚辛各作直线交于
　　壬即壬为心
　　二十六题
　　等圜之乗圜分角或在心或在界等其所乗之圜分亦等
　　解曰甲乙丙丁戊己两圜等其心
　　为庚为辛有甲庚丙丁辛己两乗
　　圜角等或甲乙丙丁戊己两乗圜角等题言所乗之甲丙丁己两圜分亦等【乗圜角之在心即分圜角在界即负圜角随类异名】
　　二十七题
　　等圜之角所乗圜分等则其角或在心或在界俱等増题从此推显有甲丁乙丙两直线不相交而在一圜之内若甲乙与丁丙两圜分等则甲丁乙丙两线必平行若两线平行则甲乙
　　丁丙两圜分必等
　　二十八题
　　等圜内两直线等所割圜分大与大小与小各等
　　二十九题
　　等圜之圜分等则其割圜分之直线亦等
　　三十题
　　有圜分求两平分之
　　法曰甲乙丙圜分求两平分先于分之两界作甲丙线次平分于丁作乙丁垂线即
　　分圜分为两平分
　　三十一题
　　负半圜角必直角负大分角小于直角负小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角解曰甲乙丙圜其心丁其径甲丙于半圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角负甲乙丙半圜分乙甲丙角负乙甲丙大分又任作乙戊丙角负乙戊丙小分题先言负半圜之甲乙丙角为直角二言负大分之乙甲丙
　　角小于直角三言负小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙庚【谓丙乙直线偕乙庚曲线所作角】大圜分角大于直角后言丙乙辛【谓丙乙直线偕乙辛曲线所作角】小圜分角小于直角
　　耕曰试作乙壬过心线其壬丁丙分圜角倍大于壬乙丙负圜角甲丁壬分圜角倍大于甲乙壬负圜角甲丁壬壬丁丙两角并与两直角等则甲乙壬壬乙丙两角并必为一直角矣【本巻二十】
　　次论曰试作甲壬线成乙甲壬角与甲乙丙直角等而乙甲丙为其分故小于直角
　　三论曰甲乙戊丙四边形在圜内其乙甲丙乙戊丙相对两角并等两直角【本卷二二】而乙甲丙小于直角则乙戊丙必大于直角
　　四论曰甲乙丙直角为丙乙庚大圜分角之分则丙乙庚角大于直角
　　后论曰试引甲乙线至已成丙乙巳直角而丙乙辛角为其分故小于直角
　　一糸凡角形之内一角与两角并等其一角必直角甲乙丙角形之甲丙丁外角与相对之甲乙两角等而甲丙乙内角又与外角等【一巻三二】
　　非直角而何
　　二糸大分之角大于直角小分之角小于直角终无等于直角
　　三十二题
　　直线切圜从切界任作直线割圜为两分分内各任为负圜角其切线与割线所作两角与两负圜角交互相等
　　解曰甲乙线切丙丁戊圜于丙任作丙戊直线割圜为两分两分内任作丙丁戊丙
　　己戊两负圜角题言甲丙戊角与丙己戊角乙丙戊角与丙丁戊角交互相等
　　先论割圜线过心者曰甲丙戊乙丙戊两皆直角【一巻十八】而丙己戊丙丁戊两负半圜角亦皆直角【本卷】故交互相等
　　后论割圜线不过心者曰试作丙庚过心线次作戊庚线相聨丙戊庚为直角【以负半圜】
　　【故】即戊丙庚戊庚丙两角并等于一直角亦等于甲丙庚角此二率各减同用之戊丙庚角即所存甲丙戊与戊庚丙等也而丙己戊与丙庚戊元等【以所负之圜分等故】故甲丙戊与丙己戊交互相等又丙丁戊巳四边形之丙丁戊丙己戊两对角并等两直角【本巻二二】而甲丙戊乙丙戊两交角并亦等两直角【一巻十三】此二率各减一相等之甲丙戊丙己戊则所存之乙丙戊丙丁戊亦交互相等
　　三十三题
　　一直线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等先法曰设甲乙线丙角求线上作圜分而负圜角与丙等或直或鋭或钝若直角即
　　平分甲乙于丁以丁为心甲为界作半圜内作乙戊甲即直角【本巻三一】
　　次法曰若设丙鋭角先依甲乙线作丁甲乙鋭角与丙等次作戊甲为甲
　　丁之垂线次作己乙甲角与己甲乙角等而乙己线与戊甲线遇于己即以己为心甲为界作甲庚乙圜圜内依甲乙线作甲庚乙鋭角即与丙等论曰甲戊线过己心又为丁甲之垂线丁甲线必切圜于甲【本巻十六之糸】则丁甲乙与甲庚乙两角必交互相等
　　后法曰若设辛钝角依甲乙线作壬甲乙钝角与辛等余仿次法作甲癸乙钝角与辛等
　　三十四题
　　设圜求割一分而负圜分角与所设角等
　　法曰设甲乙丙圜求割一分作负圜角与丁等先作戊己线切圜于甲次作己
　　甲乙角与丁等末依甲乙线作甲丙乙角与丁等论曰己甲乙与甲丙乙两角交互相等【本巻三二】三十五题
　　圜内两直线交而相分各两分线矩内形等
　　解曰甲丁乙丙圜内有甲乙丙丁两线或俱过心或一过心一不过心或俱不过心
　　交而相分于戊题言甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内形等若俱过心其各分四线等即两矩内形亦等
　　先论曰圜内线独丙丁过心者又有二种其一丙丁平分甲乙线于戊试从心作己乙线其丙丁线既平分于己又任分于戊即丙戊
　　偕戊丁矩内形及己戊上方形并与等己丁之己乙上方形等【二巻五】又己戊戊乙上两方形并亦与己乙上方形等【一巻四七】是丙戊偕戊丁矩内形及己戊上方形并与己戊戊乙上两方形并亦等矣次每减一同用之戊己上方形则所存丙戊偕戊丁矩内形不与戊乙上方形亦等乎戊乙上方形即戊乙偕甲戊矩内形【以甲戊戊两线等故】　也
　　次论曰若丙丁任分甲乙线于戊即平分甲乙线于庚次从心作己庚己乙两线即己庚为甲乙之垂线其丙戊偕戊丁矩内形及己
　　戊上方形并与等己丁之己乙上方形等【二巻五】己戊上方形与己庚庚戊上两方形并等【一巻四七】己乙上方形与巳庚庚乙上两方形并亦等则丙戊偕戊丁矩内形及己庚庚戊上两方形并与己庚庚乙上两方形并等次毎减同用之己庚上方形即所存丙戊偕戊丁矩内形及庚戊上方形不与庚乙上方形等乎又甲戊偕戊乙矩内形及庚戊上方形并亦与庚乙上方形等【二巻五】此相等两率毎减同用之庚戊上方形则所余两矩内形等矣
　　后论曰甲乙丙丁两线俱不过心
　　相交于戊或一线平分如上图或
　　俱任分如下图皆自戊作庚辛过心线依上论推显甲戊偕戊乙丙戊偕戊丁两矩内形皆与庚戊偕戊辛矩内形等即两矩内形自相等
　　三十六题
　　圜外任取一防从防出两线一切圜一割圜其割圜全线偕规外线矩内形与切圜线上方形等
　　解曰甲乙丙圜外任取丁防从丁作丁乙线切圜于乙作丁甲线截圜界于丙题言甲丁偕丙丁矩内形与丁乙上方形等
　　先论丁甲过心者曰试作乙戊为乙丁之垂线其甲丙线平分于戊又引出一丙丁线即甲丁偕丙丁矩内形及等戊丙之戊乙上方形并与戊丁上方形等【二巻六】又戊丁上方形与戊乙丁乙上两方形并等【一巻四七】即甲丁偕丙丁矩内形及戊乙上方形并与戊乙丁乙上两方形并等毎减同用之戊乙上方形则所存甲丁偕丙丁矩内形与丁乙上方形等
　　后论丁甲不过心者曰试平分甲
　　丙于己次从戊心作戊己戊丙戊
　　丁戊乙四线即戊乙为丁乙之垂线戊己为甲丙之垂线其甲丙线既平分于己又引出一丙丁线即甲丁偕丁丙矩内形及己丙上方形并与己丁上方形等【二巻六】次毎加一戊己上方形即甲丁偕丁丙矩内形及己丙戊己上两方形并与己丁戊己上两方形并等夫己戊丙己上两方形并与戊丙上方形等又戊己己丁上两方形并与戊丁上方形等是甲丁偕丙丁矩内形及戊丙上方形并
　　与戊丁上方形等又戊丁上方形
　　与丁乙及等戊乙之戊丙上两方
　　形并等每减同用之戊丙上方形所存甲丁偕丁丙矩内形与丁乙上方形不亦等乎
　　一糸若从圜外一防任作几线各全线偕规外线
　　矩内形俱等
　　论曰各矩内形俱与乙丁线上方形等即
　　各矩内形自相等
　　二糸从圜外丁防作丁甲丁乙两切圜线两线必相等
　　论曰两线俱与丙丁偕丁戊矩内形等即两线自相等
　　三糸从圜外一防止可作两直线切圜
　　三十七题
　　圜外任于一防出两直线一至规外一割圜止规内而割圜全线偕割圜之规外线矩内形与至规外之线上方形等则止规外之线必切线
　　解曰甲乙丙圜其心戊从丁防作丁乙至规外遇圜界于乙又作丁甲割圜至规内
　　而截圜界于丙其丁甲偕丁丙矩内形与丁乙上方形等题言丁乙必切圜线【同前题反言之】

　　几何论约巻三
<子部,天文算法类,算书之属,几何论约>
　　钦定四库全书
　　几何论约巻四之首
　　柘城杜知耕撰
　　界説七则
　　一界此直线形居他直线形内此直线形为他直线形内切形
　　二界此直线形居他直线形外此直线形为他直线形外切形
　　三界圜内直线形以各角切圜界为圜内切形四界圜外直线形以各边切圜界为圜外切形五界直线形内圜圜界切直线形之各边为形内切圜
　　六界直线形外圜圜界切直线形之各角为形外切圜
　　七界直线之两端各抵圜为合圜线如甲乙丙丁两线俱为合圜线而戊己辛庚两线或至界或不至界或俱不至界皆不得为合圜线

　　钦定四库全书
　　几何论约卷四
　　柘城杜知耕撰
　　一题
　　有圜求作合圜线与所设线等
　　法曰甲乙丙圜求作合圜线与所设丁线等先作丙乙圜径若与丁等即是合线若丁小于径【若大于径即不可合】即于乙丙截
　　乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙线为所求【耕日当任指乙为心丁为度向圜界作短界线为甲即作甲乙线】
　　二题
　　有圜求作圜内三角切形与所设三角形等
　　法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先
　　作庚辛切圜线次作庚甲乙角与所设己角等次作辛甲丙角与所设戊角等末作乙丙线为所求论曰甲丙乙与庚甲乙两角甲乙丙与辛甲丙两角各交互相等【三巻三一】两角既等余一角必亦等三题
　　有圜求作圜外三角切形与所设三角形等
　　法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先引长戊己邉为庚辛次自圜界
　　抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作乙壬丙角与丁己辛等末于三线各作垂线成三角形为所求
　　论曰甲壬乙子四邉形之四角与四直角等【一巻三二】而壬甲子壬乙子皆直角即甲壬乙甲子乙两角并等两直角彼丁戊庚丁戊己亦等两直角【一巻十三】毎减一相等之丁戊庚甲壬乙则所存丁戊己与甲子乙必等依显五与己癸与丁角俱等【一巻三二】四题
　　三角形求作形内切圜
　　法曰甲乙丙角形求作形内切圜先于乙丙两角各平分之作乙丁丙丁两线相遇于丁次自丁至各邉作垂线为丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形之丁戊乙丁乙戊两角与乙丁己角形之丁己乙丁乙己两角各等乙
　　丁同边即丁戊丁己两边亦等【一巻二六】依显丁己丁庚两邉亦等夫三线俱等丁必圜心即以丁为心戊为界在己戊庚圜为所求【耕曰两分角线相遇处即圜心任作一垂线便可作圜不必更作余两线余两线为论理而设非作法所需也】
　　五题
　　三角形求作形外切圜
　　法曰甲乙丙角形求作形
　　外切圜先平分两邉【若直角钝
　　角则分直钝两旁之邉】于丁于戊作
　　丁己戊己为两邉之垂线相遇于己其己防或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙三线或在乙丙边上止作己甲线其甲丁己角形之甲丁与乙丁己形之乙丁两腰等丁己同腰丁之两旁俱直角即甲己己乙两底必等【一巻四】依显甲己己丙两底亦等夫三线俱等己必圜心即以己为心甲为界作乙甲丙圜为所求
　　耕曰两垂线相遇处为心即可作圜不必更作余线
　　一糸若圜心在三角形内必鋭角形在一邉必直角形在形外必钝角形
　　二糸若鋭角形圜心必在形内直角形必在一邉钝角形必在形外
　　増任设三防不在一直线可作过三防之圜其法于三防各作直线相聨成三角形依前法作圜用法甲乙丙三防先以甲乙各自为心相向作圜分相交于丁于戊次于甲丙亦如之相交于己于庚末作丁戊己庚两线引
　　长相交于辛即辛为圜心
　　六题
　　有圜求内切圜直角方形
　　法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊
　　次作甲乙乙丙等四线为所求
　　论曰四角皆负半圜分故皆直角【三巻三一】
　　七题
　　有圜求作外切圜直角方形
　　法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊
　　次作庚己己辛等四线各与两径平行为所求八题
　　直角方形求作形内切圜
　　法曰辛庚方形求作内切圜先平分四邉作甲丙乙丁两线相交于戊即以戊为心甲为界作甲乙丙丁圜为所求
　　九题
　　直角方形求作形外切圜
　　法曰甲丙方形求作外切圜先作甲丙乙丁对角线相交于戊即以戊为心甲为界
　　作圜为所求
　　十题
　　求作两邉等三角形底上两角各倍大于腰间角法曰先任作甲乙线次分于丙令甲乙偕丙乙矩内形与甲丙上方形等【二巻十一】次以甲为心乙为界作乙丁圜次作乙丁合圜线与甲丙等【本巻一】末作甲丁线相聨即两
　　边等三角形而乙丁两角倍大于甲角
　　论曰试作丙丁线成甲丙丁角形外作甲丙丁切圜【本巻五】其甲乙偕丙乙矩内形与甲丙上方形等亦与乙丁上方形等而丁乙必甲丙丁圜之切线【三巻二七】即乙丁丙角与甲角交互相等【三巻三二】于两角毎加一丙丁甲角即甲丁乙全角与丙甲丁丙丁甲两角并等又乙丙丁外角亦与丙甲丁丙丁甲两内角并等【一巻三二】即乙丙丁角与甲丁乙角等而与相等之甲乙丁角亦等乙丙丁丙乙丁两角既等则丙丁乙丁两线必等又乙丁元与甲丙等是丙丁与甲丙亦等两线既等则甲与甲丁丙两角亦等夫乙丁丙丙丁甲既俱等于甲角是甲丁乙倍大于甲角而相等之甲乙丁角亦倍大于甲角十一题
　　有圜求作圜内五邉切形其形等边等角
　　法曰甲丙戊圜求作等邉等角五邉内切形先作己庚辛两邉等角形而庚辛两角俱倍大于己角【本巻十】次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛等次平分甲丙丁甲丁丙两角作丙戊丁乙两线末作甲乙乙丙等四线为所求
　　论曰甲丙丁甲丁丙两角皆倍大于丙甲丁角今平分两角即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲五角皆等五角所乗之五圜分亦等五圜分等则五邉等矣又甲乙丙丁圜分与乙丙丁戊圜分等则乗两圜分之甲戊丁与乙甲戊两角亦等依显余三角俱等而五角等矣
　　十二题
　　有圜求圜外五邉切形其形等邉等角
　　法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉外切形等邉等角先作圜内五邉切形次从巳心作已甲巳乙等五线次从此五线作庚辛辛壬
　　等五垂线为所求
　　十三题
　　五边形求作形内切圜
　　法曰甲乙丙丁戊五边形求作内切圜先平分甲戊邉于庚平分乙丙边于辛次作庚丙辛戊两垂线相交于己末以己为心
　　庚为界作圜为所求
　　十四题
　　五边形求作形外切圜
　　法曰甲乙丙丁戊五边形求作外切圜先平分乙丙丁丙丁戊两角作庚丙辛丁两线相交于己末以己为心丙为界作圜为所求
　　十五题
　　有圜求作圜内六邉切形其形等邉等角
　　法曰甲丙戊圜其心庚求作六邉内切形等邉等角先作甲丁径线次以丁为
　　心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作庚丙庚戊各引长为丙己戊乙末以甲乙乙丙等六线聨之为所求
　　耕曰两圜既等其庚丙丁角形之庚丁庚丙同为上圜之半径必等而庚丁丙丁同为下圜之半径亦等【六三角形俱依此推显】三邉等故三角亦等也分角等故全角亦等也
　　一糸凡圜之半径为六分圜之一之分何者庚丁与丁丙等故也
　　二糸依前十二十三十四题可作六邉形在圜外又六邉形内外俱可作切圜
　　十六题
　　有圜求作圜内十五邉切形其形等边等角
　　法曰甲乙丙圜求作十五邉内切形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形【本巻二】毎一邉当圜三分之一即当十五分之五次从甲作甲戊己
　　庚辛五邉形毎一邉当圜五分之一即当十五分之三平分戊乙于壬则壬乙得十五分之一即依壬乙作十五合圜线为所求
　　一糸依前十二十三十四题可作外切圜十五邉形又十五邉形内外俱可作切圜
　　増题若圜内从一防设不等两内切形之各一邉此两邉各为若干分圜之一其两若干分相乗之数即后作形之分数其两若干分之较数即两邉相距之圜分如甲丙戊圜从甲防作甲乙为六邉形之一邉甲丙为
　　五邉形之一邉甲丁为四邉形之一邉甲戊为三邉形之一邉甲乙命六甲丙命五较数一即乙丙圜分为三十邉形之一邉何者五六相乗得三十故当为三十边也较数一故当为一邉也又甲乙圜分为六分圜之一即三十分之五甲丙为五分圜之一即三十分
　　之六则乙丙得三十分之一也依显乙丁为二十四邉形之二邉何者甲乙命六甲丁命四四六相乗得二十四又较数二也因推乙戊为十八邉形之三邉丙戊为十五邉形之二邉丁戊为十二邉形之一邉也
　　二糸凡作形于圜之内等邉则等角何者形之邉所乗之圜分皆等故【二巻二七】凡作形于圜之外从圜心至角各作直线依本巻十二题可推各角等三糸凡等邉形可作在圜内即可作在圜外又形内外俱可作圜
　　四糸凡圜内有一形欲作他形其邉倍于此邉即分此一邉所合之圜分为两平分而毎分各作一线即三邉可作六邉四邉可作八邉仿此以至无穷
　　又补题圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉为偶数而等如甲乙丙丁戊两圜同以己为心先作甲丙径线截丁戊圜于戊次从戊作庚辛为甲戊之垂线次平分甲乙丙于乙
　　再平分丙乙于壬再平分丙壬于癸丙癸小于丙庚作丙癸合线即所求多邉形之一邉也

　　几何论约巻四
　　钦定四库全书
　　几何论约巻五之首
　　柘城杜知耕撰
　　界説十九则【前四巻所论皆独几何也此下二巻所论皆自两以上多几何同例相比者也此巻以虚例相比絶不及线面体诸类六巻则论线角圜界诸类及诸形之同类相比者也】
　　一界分者几何之几何也小能度大以小为大之分小能度大者谓小几何度大几何能尽大之分者也如甲为乙三分之一为丙七分之一无赢不足也若戊为丁之一即赢为二即不足己为丁之三即赢为四即不足是不尽大则丁不能为戊己之分也【本书所论皆指能尽分者】

　　二界小几何能度大者则大为小之几倍
　　三界比例者两几何以几何相比之理凡两几何相比以此几何比他几何则此为前率他为后率反用之以他几何比此几何则他为前率此为后率凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合非数可明者为小合本篇所论皆大合也凡大合有两种有等者有不等者等者谓相同之比例其不等者又有两种有以大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十是也大不等者又有五种一为几倍大谓大几何内有小几何或二或三或八或十也二为等一分谓大几何内既有小之一别一分此一分或元一之半或三分之一四分之一也三为等几分谓大几何内既有小之一别几分不能合为一尽分者也四为几倍大一分五为几倍大几分小不等者亦有五种俱与上五种相反为名
　　四界两比例之理相似为同理之比例如甲与乙两几何之比例偕丙与丁两几何之比例其理相似为同理之比例同理又有二种一为连比例谓相连不断如后图戊与己比己又与庚比是也二为断比例谓居中两率一取不再用如前圗甲自与乙比丙
　　自与丁比是也
　　五界两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何如三尺之线与八尺之线三尺之线三倍其身即大于八尺之线是为有比例之线也又如方形之一边与其对角线虽非大合之比例可以数明而方边一倍之即大于对角线是亦有小合比例之线也又圜径四倍之即大于圜界则径与界亦有小合比例之线也又如初月形别作一方形与之等【末巻一増附】即曲直两线相视有大有小亦有比例也又方与圜虽不能为相等之形然两形相视有大有小亦不可谓无比例也又直线角与曲线角亦有比例如丁乙戊角与甲乙丙直角等壬庚癸
　　角与己庚辛钝角等卯丑辰角与
　　子丑寅鋭角等此五者皆疑无比
　　例而实有比例者也他若有穷之线与无穷之线虽为同类实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之线故也又线与面面与体各自为类亦无比例何者毕世倍线不能及面毕世倍面不能及体故也又切圜角与直线鋭角亦无比例何者毕世倍切圜角不能及至小之鋭角故也此后诸篇中毎有倍此几何令至胜彼几何者故备着其理以需后论也
　　六界四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第一与第三之几倍偕第二与第四之几倍其相视或等或俱大或俱小恒如是如第一为三第二为二第三为六第四为四今以第一之三第三之六同加四倍为十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍为十四为二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四而倍第三之二十四亦小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍为十八为三十六次以第二之二第
　　四之四同加九倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八而倍三之三十六亦等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九为十八次以第二之二第四之四同加二倍为四为八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之十八亦大于倍第四之八也或俱等或俱大或俱小累试之皆合则三与二偕六与四得为同理之比例【连比例仿此】
　　七界同理之几何为相称之几何
　　八界四几何若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第三与四之比例此反上六界而释不同理之比例
　　九界同理之比例至少必三率
　　十界四几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例第一与四为三加之比例仿此以至无穷
　　十一界同理之几何前与前相当后与后相当上文六界八界谓几何之几倍常以一与三同倍二与四同倍以一与三为两前二与四为两后故也
　　十二界有属理更前与前更后与后如甲与乙之比例若丙与丁今更推甲与丙若乙与丁为属理【下言属理皆省曰更证见本巻十六】此理可施于四率
　　同类之比例若两线与两面或两面与两数不为同类即不得相更也【此下説比例六理皆后论所需也】
　　十三界有反理取后为前取前为后如甲与乙之比例若丙与丁今反推乙与甲若丁与丙为反理【证见本巻四之糸】此理亦可施于异类
　　十四界有合理合前与后为一而比其后如甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己今合甲丙为
　　一而比乙丙合丁己为一而比戊己即推甲丙与乙丙若丁己与戊己是合两前两后率而比两后率也【证见本巻十八】
　　十五界有分理取前之较而比其后如甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今分推甲乙之较
　　甲丙与丙乙若丁戊之较丁己与己戊【证见本巻十七】
　　十六界有转理以前为前以前之较为后【图同前界】如甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今转推甲乙与甲丙若丁戊与丁己【证见本巻十九】
　　十七界有平理此甲乙丙三几何彼丁戊己三几何相为同理之连比例者甲与乙若丁与戊乙与丙若戊与己也今平推首甲与尾丙若首丁与尾己【平理之分又有二种如后二界】
　　十八界有平理之序者甲与乙若丁与戊而后乙与他率丙若后戊与他率己是序也今平推甲与丙若丁与己也【此与十七界同重宣序义以别后界也证见本巻二二】
　　十九界有平理之错者甲与乙若戊与己又此之后乙与他率丙若彼之他率丁与前戊是错也今平推甲与丙若丁与己也
　　【戊证见本乙巻二三】
　　増甲与乙为比例即此丙必有彼丁相与为比例若甲与乙也丙与丁为比例必有彼戊与此丙为比例若丙与丁也

　　钦定四库全书
　　几何论约巻五
　　柘城杜知耕撰
　　一题
　　此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则此之并率亦几倍于彼之并率
　　解曰甲乙此二几何大于丙丁彼二几何各若干倍题言甲乙并大于丙丁并亦若干倍
　　二题
　　六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数解曰一甲乙倍二丙之数如三丁戊倍四巳之数又五乙庚倍二丙之数如六戊辛倍四巳之数题言一甲乙五乙庚并倍二丙之数若三丁戊六戊辛并倍四巳之数
　　三题
　　四几何第一之倍第二若第三之倍第四次倍第一又倍第三其数等则第一所倍之与第二若第三所倍之与第四
　　解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于四丁次作戊巳两几何同若干倍于甲于丙题言以平理推戊倍乙若巳倍丁
　　四题
　　四几何第一与二偕第三与四比例等第一第三同任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍与第二所倍第三所倍与第四所倍比例亦等解曰甲与乙偕丙与丁比例等次作戊与巳同任若干倍于一甲三丙别
　　作庚与辛同任若干倍于二乙四丁题言一甲所倍之戊与二乙所倍之庚偕三丙所倍之巳与四丁所倍之辛比例亦等
　　论曰试以戊巳同任
　　倍之为壬为癸别以
　　庚辛同任倍之为子
　　为丑其戊之倍甲既若己之倍丙而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之倍丙也【本巻三】依显子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲与乙偕丙与丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子丑所倍于乙丁各等即三试之若倍甲之壬小于倍乙之子则倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等即癸丑亦等若壬大于子即癸亦大于丑【本巻界六】不论几许倍其等大小恒如是也则戊与庚偕巳与辛之比例必等
　　一糸凡四几何一与二偕三与四比例等即可反推二与一偕四与三比例亦等
　　二糸若甲与乙偕丙与丁比例等则甲之或二或三倍与乙之或二或三倍偕丙之或二或三倍与丁之或二或三倍比例俱等仿此以至无穷五题
　　大小两几何此全所倍于彼全若此全截分所倍于彼全截分则此全之分余所倍于彼全之分余亦如之
　　解曰甲乙所倍于丙丁若甲乙截分之甲戊所倍于丙丁截分之丙己题言甲戊分余之戊乙所倍于丙己分余之己丁亦如其数
　　六题
　　此两几何各倍于彼两几何其数等于此两几何每减一分其一分之各倍于所当彼几何其数等则其分余或各与彼几何等或尚各倍于彼几何其数亦等
　　解曰甲乙丙丁各倍于戊己其数等毎减一倍戊己相等之甲庚丙辛题言分余庚乙辛丁或与戊己等或尚各倍于戊己其数亦等
　　七题
　　此两几何等则与彼几何各为比例必等而彼几何与此相等之两几何各为比例亦等
　　解曰甲乙两几何等彼几何丙不论等大小于甲乙题言甲与丙偕乙与丙各为比例必
　　等又反上言丙与甲偕丙与乙各为比例亦等八题
　　大小两几何各与他几何为比例则大与他之比例大于小与他之比例而他与小之比例大于他与大之比例
　　解曰不等两几何甲大乙小又有他几何丙不论等大小于甲于乙题言甲与丙大于乙
　　与丙之比例又反言丙与乙大于丙与甲之比例九题
　　两几何与一几何各为比例而等则两几何必等一几何与两几何各为比例而等则两几何亦等
　　十题
　　彼此两几何此几何与他几何之比例大于彼与他之比例则此几何大于彼他几何与彼几何之比例大于他与此之比例则彼几何小于此
　　解曰甲乙两几何又有丙几何甲与丙之比例大于乙与丙题言甲大于乙又言丙与乙
　　之比例大于丙与甲则乙小于甲
　　十一题
　　此两几何之比例与他两几何之比例等而彼两几何之比例与他两几何之比例亦等则彼两几何之比例与此两几何之比例亦等
　　解曰甲乙偕丙丁之比例各与戊己等题言甲乙与丙丁之比例亦等
　　十二题
　　数几何所为比例皆等则并前率与并后率之比例若各前率与各后率之比例
　　解曰甲乙丙丁戊己数几何甲与乙若丙与丁丙与丁若戊与己题言甲丙戊
　　诸前率并与乙丁己诸后率并之比例若甲与乙丙与丁戊与己各前与各后也
　　十三题
　　数几何第一与二之比例若第三与四而第三与四之比例大于第五与六则第一与二之比例亦大于第五与六
　　解曰一甲与二乙之比例若三丙与四丁而三丙与四丁之比例大于五戊与
　　六己题言甲与乙之比例亦大于戊与己
　　十四题
　　四几何第一与二之比例若第三与四而第一大于第三则第二亦大于第四第一或小或等于第三则第二亦等亦小于第四
　　解曰甲与乙之比例若内与丁题言甲大于丙则乙亦大于丁若等亦等若小亦小
　　十五题
　　两分之比例与两多分并之比例等
　　解曰甲与乙同任倍之为丙为丁题言丙与丁之
　　比例若甲与乙

　　十六题【更理】
　　四几何为两比例等即更推前与前后与后为比例亦等
　　解曰甲与乙之比例若丙与丁题言更推之甲与丙之比例亦若乙与丁
　　十七题【分理】
　　相合之两几何为比例等则分之为比例亦等解曰甲乙丁乙与丙戊己戊相合两几何
　　甲乙与丁乙若丙戊与己戊题言分之甲丁与丁乙若丙己与己戊也
　　十八题【合理】
　　两几何分之为比例等则合之为比例亦等
　　解曰甲丁丁乙与丙己己戊两分几何其
　　甲丁与丁乙若丙己与己戊题言合之甲乙与丁乙若丙戊与己戊也
　　十九题【其糸为转理】
　　两几何各截取一分其所截取之比例与两全之比例等则分余之比例与两全之比例亦等
　　解曰甲乙丙丁两几何其甲乙全与丙丁
　　全之比例若截取之甲戊与丙己题言分余戊乙与己丁之比例亦若甲乙与丙丁
　　糸从此题可推界説十六之转理如上甲乙与戊乙若丙丁与己丁即转推甲乙与甲戊若丙丁与丙己
　　二十题
　　有三几何又有三几何相为连比例而第一几何大于第三则第四亦大于第六第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六
　　解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何其甲与乙若丁与戊乙与丙若戊与己题言若甲大于丙丁亦大于己若甲等于
　　丙丁亦等于己若甲小于丙丁亦小于己
　　二十一题
　　有三几何又有三几何相为连比例而错以平理推之若第一大于第三则第四亦大于第六若第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六
　　解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何相为连比例不序不序者甲与乙若戊与
　　己乙与丙若丁与戊以平理推之若甲大于丙题言丁亦大于己
　　论曰甲既大于丙即甲与乙大于丙与乙【本巻八】而甲与乙若戊与己即戊与己亦大于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也【本巻四】则戊与己大于戊与丁是丁大于己也次解曰若甲等于丙题言丁亦等于己论曰甲丙既等即甲与乙若丙与乙【本巻】
　　【七】而甲与乙若戊与己即丙与乙亦若戊与己也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也【本巻四】则戊与己若戊与丁是丁己等也后解曰若甲小于丙题言丁亦小于己论曰甲既小于丙即甲与乙小于丙与
　　乙【本巻八】而甲与乙若戊与己即戊与己亦小于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙若戊与丁【本巻四】则戊与己小于戊与丁是丁小于己也
　　二十二题【平理之序】
　　有若干几何又有若干几何其数等相为连比例则以平理推之
　　解曰有若干几何甲乙丙又有若干几何丁戊己而甲与乙若丁与戊乙
　　与丙若戊与己题言以平理推之甲与丙若丁与己如更有庚辛二几何其丙与庚若己与辛依显甲与庚亦若丁与辛【四以上仿此】
　　二十三题【平理之错】
　　若干几何又若干几何其数等相为连比例而错亦以平理推
　　解曰甲乙丙若干几何丁戊己若干几何相为连比理而错者其甲与乙
　　若戊与己乙与丙若丁与戊题言以平理推之甲与丙亦若丁与己如更有庚辛两几何其戊与辛若甲与丙丙与庚若丁与戊即以甲丙庚作三几何丁戊辛作三几何相为连比例而错则甲与庚亦若丁与辛【四以上仿此】
　　耕曰以数明之甲设十八乙设九丙设六丁设四十八戊设三十二己设十六甲与丙若丁与己其故何也盖甲与乙若六与三
　　乙与丙若三与二则甲与丙若六与二矣又丁与戊若六与四戊与己若四与二则丁与己亦若六与二矣两前两后俱若六与二故比例等也庚辛两几何亦依此推显
　　二十四题
　　凡第一与二之比例若第三与四而第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二之比例若第三第六并与四
　　解曰一甲乙与二丙若三丁戊与四己而五乙庚与二丙若六戊辛与四己题言一
　　甲乙五乙庚并与二丙若三丁戊六戊辛并与四己
　　増题此两几何与彼两几何比例等于此两几何毎截取一分其截取两几何与彼两几何比例等则分余两几何与彼两几何比例亦等【此増与六题大同但六题言几倍此不言倍其意稍广矣】
　　二十五题
　　四几何为断比例则最大与最小两几何并大于余两几何并
　　解曰甲乙与丙丁若戊与己甲乙最大己最小题言甲乙己并大于丙丁戊并
　　论曰试于甲乙截取甲庚与戊等于丙丁截取丙辛与己等甲庚丙辛既等于戊己其比例必若甲乙与丙丁也夫甲乙与丙丁既若甲庚与丙辛即亦若分余之庚乙与辛丁也【本巻十九】而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛丁矣若于戊加等己之丙辛于己加等戊之甲庚两率必等而又加不等之庚乙辛丁则甲乙己并岂不大于丙丁戊并二十六题
　　第一与二之比例大于第三与四反之则第二与一之比例小于第四与三
　　解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题言反之二乙与一甲之比例小于四
　　丁与三丙
　　二十七题
　　第一与二之比例大于第三与四更之则第一与三之比例亦大于第二与四
　　解曰一甲与二乙大于三丙与四丁题言之则一甲与三丙亦大于二乙与四丁
　　论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与乙大于戊与乙是甲大于戊则甲与丙必大于戊与丙矣夫戊与乙既若丙与丁更之则戊与丙亦若乙与丁则甲与丙大于乙与丁
　　二十八题
　　第一与二之比例大于第三与四合之则第一第二并与二之比例亦大于第三第四并与第四
　　解曰一甲乙与二乙丙大于三丁戊与四戊己题言合之则甲丙与乙丙亦大于丁
　　己与戊己
　　论曰试作庚乙与乙丙之比例若丁戊与戊己即甲乙与乙丙大于庚乙与乙丙是甲乙大于庚乙矣此两率毎加一乙丙即甲丙亦大于庚丙甲丙与乙丙大于庚丙与乙丙即大于丁己与戊己二十九题
　　第一合第二与二之比例大于第三合第四与四分之则第一与第二之比例亦大于第三与四
　　解曰甲丙与乙丙大于丁己与戊己题言
　　分之则甲乙与乙丙亦大于丁戊与戊己【论同前】三十题
　　第一合第二与二之比例大于第三合第四与四转之则第一合第二与一之比例小于第三合第四与三
　　解曰甲丙与乙丙大于丁己与戊己题言转之则甲丙与甲乙小于丁己与丁戊
　　耕曰甲丙与乙丙若四与一丁己与戊己若三与一则四与一大于三与一矣甲乙与乙丙若三与一丁戊与戊己若二与一则三与一大于二与一矣甲丙与甲乙若四与三丁己与丁戊若三与二则四与三小于三与二矣
　　三十一题
　　此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第一与二此第二与三之比例大于彼第二与三如是序者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三
　　解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙大于丁与戊乙与丙大于戊与己如是序者题言以平理推则甲与丙亦大
　　于丁与己
　　三十二题
　　此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二与三此第二与三之比例大于彼第一与二如是错者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三
　　解曰甲乙内此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙大于戊与己乙与丙大于丁与戊如是错者题言以平理推则甲与丙亦大于丁与己
　　论曰试作庚与丙之比例若丁与戊即乙与丙大于庚与丙而乙几何大于庚【本巻十】
　　是甲与小庚大于甲与大乙矣【本巻八】夫甲与乙既大于戊与己即甲与庚更大于戊与己也次作辛与庚之比例若戊与己即甲与庚亦大于辛与庚而甲几何大于辛【本巻十】是大甲与丙大于小辛与丙矣【本巻八】夫辛与丙以平理推之若丁与己也【本巻二三】则甲与丙大于丁与己
　　三十三题
　　此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比例则此全分余与彼全分余之比例大于此全与彼全之比例
　　解曰甲乙全与丙丁全大于两截分甲戊
　　与丙己题言两分余戊乙与己丁大于甲乙与丙丁
　　论曰甲乙与丙丁既大于甲戊与丙己更之即甲乙与甲戊亦大于丙丁与丙己也【本巻二七】又转之甲乙与戊乙小于丙丁与己丁也【本卷三十】又更之甲乙与丙丁小于戊乙与己丁也【本巻二七】若两全之比例小于截分则分余之比例必小于两全
　　三十四题
　　若干几何又有若干几何其数等而此第一与彼第一之比例大于此第二与彼第二此第二与彼第二之比例大于此第三与彼第三以后俱如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末亦大于此并减第一与彼并减第一而小于此第一与彼第一
　　解曰甲乙丙三几何又丁戊己三几何其甲与丁大于乙与戊乙与戊大于丙与己题先言甲乙丙并与丁戊己并大
　　于丙与己次言亦大于乙丙并与戊己并后言小
　　于甲与丁
　　论曰甲与丁既大于乙与戊更之即甲与乙大于丁与戊也【本巻二七】又合之甲乙并与乙大于丁戊并与戊也【本巻二八】又更之甲乙并与丁戊并大于乙与戊也【本巻二七】是甲乙全与丁戊
　　全大于减并乙与减并戊也既尔即减余甲与减余丁大于甲乙全与丁戊全也【本巻三三】依显乙与戊亦大于乙丙全与戊己全即甲与丁更大于乙丙全与戊己全也又更之甲与乙丙并大于丁与戊己并也【本巻二七】又合之甲乙丙全与乙丙并大于丁戊己全与戊己并也【本巻二八】又更之甲乙丙全与丁戊己全大于乙丙并与戊己并也【本巻二七】则得次解也又甲乙丙全与丁戊己全既大于减并乙丙与减并戊己即减余甲与减余丁大于甲乙丙全与丁戊己全也【本巻三三】则得后解也又乙与戊既大于丙与己更之即乙与丙大于戊与己也【本巻二七】又合之乙丙全与丙大于戊己全与己也【本巻二八】又更之乙丙并与戊己并大于丙与己也【本巻二七】而甲乙丙并与丁戊己并既大于乙丙并与戊己并即更大于末丙与末己也则得先解也若两率各有四几何而丙与己亦大于庚与辛即与前论同理依上论乙与戊大于乙丙庚并与戊己辛并即甲与丁更大于乙丙庚并与戊己辛并也更之即甲与乙丙庚并大于丁与戊巴辛并也【本巻十八】又合之甲乙丙庚全与乙丙庚并大于丁戊己辛全与戊
　　己辛并也又更之甲乙丙庚全与丁戊己辛全大于乙丙庚并与戊己辛并也【本巻二七】则得次解也又甲乙丙庚全与丁戊己辛全既大于减并乙丙庚与减并戊己辛即减余甲与减余丁大于甲乙丙庚全与丁戊己辛全也【本巻三二】则得后解也又依前论显乙丙庚并与戊己辛并既大于庚与辛而甲乙丙庚全与丁戊己辛全大于乙丙庚并与戊己辛并即更大于末庚与末辛也则得先解也自五以上俱仿此

　　几何论约巻五
　　钦定四库全书
　　几何论约巻六之首
　　柘城杜知耕撰
　　界説六则
　　一界凡形相当之各角等而各等角旁两线之比例俱等为相似之形如两角形之甲乙丙三角与丁戊己三角俱等其甲角旁之
　　甲乙与甲丙若丁角旁之丁戊与丁己余两等角旁之各两线其比例俱等则两角形为相似之形依显平边角形皆相似之形
　　二界两形之各两邉线互为前后率相与为比例而等为互相视之形如两方形之甲乙与戊己若己庚与乙丙而彼此互为前后率则此两形为互相视之形依显两角形之壬子与丑寅若丑卯与壬癸则两
　　形亦为互相视之形
　　三界理分中末线一线两分之其全与大分之比例若大分与小分【此线为用甚广至量体尤所必需古人目为神分线也】
　　四界度各形之髙皆以垂线之亘为度如甲乙丙角形作甲丁垂线即甲丁为甲乙丙角形之髙度
　　五界比例以比例相结以各比例不同理而相聚为一比例则用相结之法借象之术合各比例之命数求首尾一比例之命数也曷为相结如甲乙丙三几何甲二倍于乙乙三倍于丙而求甲与丙之比例则以二倍乗三倍得甲六倍
　　于丙也若丙为第一甲为第三亦以二乗三得丙反六倍于甲也若四率则先以前三率之两比例结为一比例复与第三比例相结也若五率则以第一第二第三率之两比例相结以第三第四第五率之两比例相结又以此所结之两比例乗除相结而为一比例也自六以上仿此曷谓借象如前所説三几何二比例皆以中率为关纽畧如连比例之同用一中率也有不同理二比例而异中率者是不同理之断比例也无法可结当别立三几何二比例而同中率【以中率当第二又当第三】乗除相结依仿求之如所设几何十六为首十二为尾却云十六与十二之比例若八与三及二与四之比例八为前之前四为后之后三与二为前之后后之前所谓异中率也欲乗除相结无法可通矣用是别立三几何则三其八得二十四为前三其三得九为前之后即以九为后之前以求九与何数若二与四得十八为后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四也则十六与十二若二十四与十八也三比例以上仿此逓结之
　　六界平行方形不满一线为形小于线若形有余线不足为形大于线如甲丁形不满甲乙线而丙乙半线上无形即作甲己满甲乙线上方
　　形则甲丁为依甲乙线之有阙方形而丙己为甲丁之阙形又甲丙线上作甲己形其甲乙邉大于元设甲丙线之较为丙乙而甲己形大于甲丙线上之甲丁形则甲己为依甲丙线之余方形而丙己形为甲己之余形

　　钦定四库全书
　　几何论约巻六
　　柘城杜知耕撰
　　一题
　　等髙之角形方形自相为比例与其底之比例等解曰甲乙丙丁戊己两角形乙辛戊庚两方形等髙其底乙丙戊己题言甲乙丙与丁戊己乙辛与戊庚皆若乙丙与戊己之比例
　　増题凡两角形两方形等底自相为比例与其髙之比例等
　　耕曰即前圗以髙为底以底为髙其理自明二题
　　三角形任依一邉作平行线即此线分两余邉为比例必等三角形内有一线分两邉为比例而等即此线与余邉为平行
　　解曰甲乙丙角形内作丁戊与乙丙平行题言丁戊分甲乙于丁分甲丙于戊其甲丁与
　　丁乙之比例若甲戊与戊丙也又言甲丁与丁乙甲戊与戊丙为比例而等则丁戊乙丙必平行论曰试作丁丙戊乙两线其丁戊乙丁戊丙两形同丁戊底又在平行线内即等【一巻三七】而甲戊丁与丁戊乙两形之比例若甲戊丁与丁戊丙矣【五巻七】夫甲戊丁与丁戊乙亦同在平行线内则甲戊丁与丁戊乙两形之比例必若甲丁丁乙两底也【本巻一】依显甲戊与戊丙两底之比例亦若甲戊丁与丁戊丙两形也是甲丁与丁乙亦若甲戊与戊丙矣【五巻十】
　　三题
　　三角形以一直线任分一角为两平分分对角边为两分则两分之比例若余两邉三角形分角线所分对角邉之比例若余两邉则所分角为两平分解曰甲乙丙角形以甲丁线平分乙甲丙角题言乙丁与丁丙若乙甲与甲丙又言乙丁与丁丙若乙甲与甲丙则甲丁线分乙甲丙角必
　　为两平分
　　论曰试作乙戊与甲丁平行次引长丙甲线至戊其甲乙戊与乙甲丁相对两角必等外角丁甲丙与内角戊亦等【一巻二九】今乙甲丁与丁甲丙又等即甲乙戊角与戊角亦等而甲戊与甲乙两腰亦等矣【一巻六】则戊甲与甲丙必若乙甲与甲丙夫戊甲与甲丙又若乙丁与丁丙【本巻二】是乙甲与甲丙若乙丁与丁丙矣
　　四题
　　凡等角三角形其在等角旁之各两腰相与为比例必等而对等角之邉为相似邉
　　解曰甲乙丙丁丙戊两形相当之各角俱等题言甲乙与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲丙若丁丙与丁戊甲丙与乙丙若丁
　　戊与丙戊而毎对等角之邉各相似相似者谓各前各后率各对本形之相当角
　　论曰试并置两形令两底成一直线次引长乙甲戊丁两线相遇于己成乙己戊形其甲丙与己戊平行则戊丙与丙乙若己甲与甲乙即若等己甲之丁丙与甲乙也更之甲乙与乙
　　丙若丁丙与丙戊也又丁丙与己乙平行则乙丙与丙戊若己丁与丁戊即若等己丁之甲丙与丁戊也更之即乙丙与甲丙若丙戊与丁戊也依显甲乙与甲丙亦若丁丙与丁戊也
　　糸凡角形内之直线与一邉平行而截一分为角形必与全形相似如甲乙丙角形作丁戊直线与乙丙平行而截一分为甲丁戊形必与
　　甲乙丙全形相似
　　増题凡角形之内任依乙丙邉作丁戊平行线于乙丙邉任取己防向甲角作甲己直线分丁戊于庚则乙己与己丙之比例必若丁庚与
　　庚戊
　　论曰甲巳乙甲庚丁两角形既相似即甲己与己乙若甲庚与庚丁也更之即甲己与甲庚若己乙与庚丁也【五巻十六】依显甲己与甲庚若己丙与庚戊则乙己与丁庚亦若己丙与庚戊也【五巻十一】更之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也【五巻十六】
　　五题
　　两三角形其各两邉之比例等即两形为等角形而对各相似邉之角各等
　　解曰甲乙丙丁戊己两角形其甲乙与乙丙若丁戊与戊己乙丙与甲丙若戊
　　己与丁己甲丙与甲乙若丁己与丁戊题言此两形为等角形而对各相似邉之角甲与丁乙与戊丙与己各等【论同前题】
　　六题
　　两三角形之一角等而等角旁之各两邉比例等即两形为等角形而对各相似邉之角各等
　　解曰甲乙丙丁戊己两角形其乙与戊两角等而甲乙与乙丙若丁戊与戊己
　　题言余角丙与己甲与丁俱等【论同四题】
　　七题
　　两三角形第一角等第二相当角各两旁之邉比例等第三相当角或俱小于直角或俱不小于直角即两形为等角形而对各相似邉之角各等
　　解曰甲乙丙丁戊己两角形其第一甲角与丁角等第二丙角两旁之甲丙乙丙两邉偕相当己角两旁之丁己戊己两邉比例
　　等其第三相当角乙与戊或俱小于直角或俱不小于直角题言两形之丙与己乙与戊角俱等八题
　　直角三邉形从直角向对邉作一垂线分本形为两直角三邉形即两形皆与全形相似亦自相似解曰甲乙丙直角三邉形从直角作甲丁垂线题言所分甲丁丙甲丁乙两形皆与全形
　　相似亦自相似
　　论曰甲乙丙甲丁丙两形既各以乙甲丙甲丁丙为直角而丙角又同其余一角必等而两形为等角形等角旁之各两邉比例必等依显甲丁乙与甲乙丙全形亦相似夫两形既各与全形相似即两形亦自相似
　　糸从直角作垂线即此线为两分对邉线比例之中率而直角旁两邉各为对角全邉与同方分邉比例之中率何者丙丁与甲丁若甲丁与乙丁也故甲丁为丙丁乙丁之中率又乙丙与丙甲若丙甲与丙丁也故丙甲为乙丙丙丁之中率又乙丙与乙甲若乙甲与乙丁也故乙甲为乙丙乙丁之中率
　　九题
　　一直线求截所取之分
　　法曰甲乙直线或截取三分之一先从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命分之平度如甲丁戊己为三分次
　　作己乙直线末作丁庚与己乙平行即甲庚为甲乙三分之一
　　论曰丁庚既与己乙平行即己丁与丁甲若乙庚与庚甲合之己甲与甲丁若乙甲与庚甲也甲丁既为己甲三之一则庚甲亦乙甲三之一矣十题
　　一直线求截各分如所设之截分
　　法曰甲乙线求截各分如所设甲丁戊丙之比例先以甲乙甲丙相聨成丙甲乙角次作丙乙线相聨末从丁从戊作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己于庚若甲丙之甲丁丁戊戊丙也
　　从此题作一用法甲乙直线求平分若干分即从甲任作甲丙为若干平分余同前
　　又简法如甲乙线求五平分即从乙任作丙乙线为丙乙甲角次任作丁戊与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己庚辛壬癸令丁癸小于甲乙次从甲过癸作甲子线
　　遇乙丙于子末从子作子壬子辛子庚子己四线各引至甲乙线为丑寅卯辰五平分
　　又简法如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分即用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四线即分甲乙
　　于己辰卯寅为五平分
　　又用法先作一器如丙丁戊己任平分为若干格今欲分甲乙线为五平分即取甲乙之度一端抵
　　戊丙线一端抵庚辛线如甲乙大于戊庚即渐移之令合线若至壬即戊壬之分为甲乙之分
　　増题有直线求两分之而两分之比例若所设两线之比例【法同前】
　　又増题甲乙丙丁两线各三分于戊己于庚辛其甲戊与戊乙若丙庚与庚丁甲己与己乙若丙辛与辛丁也即中率戊己庚辛各与前后率为比例亦等谓甲戊与戊己若丙庚与庚辛己乙与戊己
　　若辛丁与庚辛也
　　论曰试聨甲于丙作乙甲丁角次作丁乙辛己庚戊三线相聨其甲戊与戊乙
　　既若丙庚与庚丁即庚戊与丁乙平行甲己与己乙既若丙辛与辛丁即辛己与丁乙平行而庚戊与辛己亦平行故甲戊与戊己若丙庚与庚辛也己乙与戊己亦若辛丁与庚辛也
　　十一题
　　两直线求别作一线相与为连比例
　　法曰甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例谓甲乙与甲丙若甲丙与所求线也先
　　合两线作丙甲乙角以丙乙线聨之次引长甲乙线至丁令乙丁与甲丙等次作丁戊线与丙乙平行末引长甲丙线遇丁戊于戊即丙戊为所求论曰丙乙既与戊丁平行即甲乙与乙丁若甲丙与丙戊也而乙丁甲丙元等即甲乙与甲丙若甲丙与丙戊也【五巻七】
　　注曰别有一法以甲乙乙丙两线列作甲乙丙直角以甲丙聨之次引长甲乙线末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁即乙丁为
　　所求
　　论曰甲丙丁既是直角而丙乙垂线即为甲乙乙丁之中率则甲乙与乙丙若乙丙与乙丁也【本卷八之糸】
　　十二题
　　三直线求别作一线相与为断比例
　　解曰甲乙乙丙甲丁三线求别作一线相与为断比例谓甲丁与所求线若甲乙与乙丙也先以甲乙乙丙为一直线次以甲丁线合甲丙
　　任作甲角次作丁乙相聨次作丙戊与丁乙平行末引长甲丁遇丙戊于戊即丁戊为所求
　　论曰丁乙既与丙戊平行即甲丁与丁戊若甲乙与乙丙【本巻二】
　　十三题
　　两直线求别作一线为连比例之中率
　　法曰甲乙乙丙两线求别作一线为中率谓甲乙与所求线若所求线与乙丙也先并两线成一直线而平分于戊即以戊为心甲作界作
　　甲丁丙半圜末从乙至界作乙丁垂线即乙丁为所求
　　论曰试作甲丁丁丙两线成甲丁丙直角形【三巻三十】而丁乙垂线为对邉两分线之中率【本巻八之糸】注曰依此题可推凡半圜内之垂线皆为两分径线之中率何者半圜之内从垂线作角皆直角故也【三巻三】
　　増题有甲乙甲丙两线甲乙大于甲丙二倍以上求两分甲乙而以甲丙为中率先以甲乙甲丙聨为直角平分甲乙于丁即以丁为心甲
　　为界作甲戊乙半圜次自丙作丙戊与甲乙平行遇圜界于戊末从戊作戊己垂线而分甲乙于己即甲丙为甲己己乙之中率何者戊己既半圜内垂线即为两分径线之中率而甲丙与戊己等故为甲己己乙之中率
　　十四题
　　两平行方形等一角又等即等角旁之两邉为互相视之邉两平行方形之一角等而等角旁两邉为互相视之邉即两形等
　　解曰辛乙乙己两方形等【谓其容等】甲乙丙戊乙庚两角又等题言此两角旁之各两邉为互相视之邉谓甲乙与乙庚若戊乙与乙丙也又言等角旁之各两邉为互相视
　　则辛乙乙己两形必等
　　论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙庚成一直线而戊乙乙丙亦一直线【一巻十五増】次引长辛丙己庚遇于丁辛乙乙己两形既等即辛乙与乙丁若乙己与乙丁也而辛乙与乙丁两形等髙即两形之比例若其底甲乙与乙庚也【本巻一】依显乙己与乙丁等髙两形亦若其底戊乙与乙丙也则甲乙与乙庚亦若戊乙与乙丙也
　　十五题
　　相等两三角形之一角等即等角旁之各两邉互相视两三角形之一角等而等角旁之各两邉互相视即两三角形等
　　解曰甲乙丙丁乙戊两角形等两乙角又等题言等角旁之各两邉互相视谓甲乙与乙
　　戊若乙丁与乙丙也又言等角旁之各两邉为互相视则甲乙丙丁乙戊两角形必等
　　论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙戊成一直线而丁乙乙丙亦一直线【一巻十五増】次作丙戊相聨甲乙丙丁乙戊两形既等即甲乙丙与丙乙戊之比例若丁乙戊与丙乙戊矣夫甲乙丙与丙乙戊两等髙形之比例若其底甲乙与乙戊也而丁己戊与丙乙戊两等髙形之比例亦若其底丁乙与乙丙也是甲乙与乙戊若丁乙与乙丙
　　十六题
　　四直线为断比例即首尾两线矩内形与中两线矩内形等首尾两线矩内形与中两线矩内形等即四线为断比例
　　解曰甲乙己庚戊己乙丙四线为断比例谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也题言甲乙乙丙矩内甲丙形与己庚戊己矩内戊庚形等又言两矩内形等则甲
　　乙与己庚必若戊己与乙丙也
　　论曰两形之乙与己两角既等而等角旁之两邉又互相视则两形必相等【本巻十四　若平行斜方形而等角亦同此论】十七题
　　三直线为连比例即首尾两线矩内形与中线上直角方形等首尾两线矩内形与中线上直角方形等即三线为连比例
　　解曰甲乙戊己乙丙三线为连比例谓甲乙与戊己若戊己与乙丙也题言甲乙乙丙矩内甲丙形与戊己上戊庚方形等又言甲乙乙丙矩内形与戊己上
　　方形等则甲乙与戊己必若戊己与乙丙也论曰试作己庚线与戊己等即戊己己庚两线矩内形与甲乙乙丙两线矩内形等【本巻十六　若平行斜方形而等角亦同此论】
　　糸凡直线上方形与他两线矩内形等即此线为他两线之中率
　　十八题
　　直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等法曰甲乙线上求作直线形与所设丙丁戊己庚形相似而体势等先于
　　设形任从一角向对角作直线分本形为若干角形如上形即分为角形三次于元线上作甲壬乙角形与丙己丁角形等次作乙壬辛甲壬癸两角形与丁己戊丙己庚两角形等则甲乙辛壬癸与所设形相似而体势等凡设多角形俱仿此増简法如设甲乙丙丁戊直线形求于癸线上作一形与所设形相似而体势等先于甲角旁之甲乙甲戊引长之为甲己甲壬次从甲向各角作直线为甲庚甲辛次
　　于甲乙线上截取甲己与癸线等末从己作己庚与乙丙平行作庚辛辛壬与丙丁丁戊各平行即所求
　　十九题
　　相似三角形之比例为其相似邉再加之比例解曰甲乙丙丁戊己两角形其相当之角各等而甲乙与乙丙若丁戊与戊己题言两形之比例为乙丙与戊己再加之比
　　例
　　论曰若两形等则为相同之比例即再加仍相同之比例若乙丙大于戊己邉即于乙丙截乙庚令乙丙与戊己若戊己与乙庚也次作甲庚线其甲乙与乙丙若丁戊与戊己更之即甲乙与丁戊若乙丙与戊己也亦若戊己与乙庚也夫甲乙庚与丁戊己两形有乙戊两角等而各两邉又互相视即两形等【本巻十五】又甲乙丙与甲乙庚等髙两形之比例若其底乙丙与乙庚即甲乙丙与丁戊己两形之比例亦若乙丙与乙庚矣乙丙己戊乙庚三线既为连比例则乙丙与乙庚为乙丙与戊己再加之比例
　　糸依本题可显凡三线为连比例即第一甲线上角形与第二乙线上角形之比例若第一甲线与第三丙线也第二乙线上角形与第三丙线上角形之比例亦若第一甲线与
　　第三丙线也皆再加之比例故也
　　二十题
　　以三角形分相似多邉形则分数必等而相当各三角形各相似其各相似两三角形之比例若两元形其元形之比例为两相似邉再加之比例
　　先解曰此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多邉形其相当各角俱等而等
　　角旁各两邉之比例各等题言各以角形分之其角形之分数必等而相当之各角各相似
　　次解曰各相当角形之比例若两元形
　　论曰此角形之比例既若彼角形则此各角形并必若彼各角形并是此全形若彼全形矣
　　后解曰两元形之比例为两相似邉再加之比例论曰两分形之比例既若两元形而两分形之比例为两相似邉再加之比例则两元形亦为相似邉再加之比例
　　増题甲直线倍大于乙直线则甲直线上方形与乙直线上方形为四倍大之比例若甲方形与乙方形为四倍大之比例则甲线必倍大于乙线何者相似两形之比例为
　　其邉再加之比例故也
　　糸依此题可显三直线为连比例则第一线上多邉形与第二线上相似多邉形若第一线与第三线之比例
　　二十一题
　　两直线形各与他直线形相似则两形自相似
　　二十二题
　　四直线为断比例则两比例线上各任作自相似之直线形亦为断比例两比例线上各任作自相似之直线形为断比例则四直线亦为断比例
　　解曰甲乙丙丁戊己庚辛四线为断比例谓甲乙与丙丁若戊己与庚辛也于甲乙丙丁线上任作两角形于戊己庚辛线上任作两方形题言四形亦为断比例谓甲
　　乙壬与丙丁癸若戊丑与庚卯又言若四形为断比例则甲乙丙丁戊己庚辛四线亦为断例何者角形与角形方形与方形皆为其相似邉再加之比例故也
　　二十三题
　　等角两平行方形之比例以两形之各两邉两比例相结
　　解曰甲丙丙己两平行方形两丙角等题言两形之比例以各等角旁各两邉之比例相结者谓两比例之前率在此形两比例之后率在彼形如甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙与丙戊相结也或以乙丙
　　与丙戊偕丁丙与丙庚相结也
　　论曰试以两等角相聨令乙丙丙庚丁丙丙戊各成直线次引长甲丁己庚遇于辛次任作一壬线次以乙丙丙庚壬三线求断比例之末率线为癸【本巻十二】末以丁丙丙戊癸三线求断比例之末率线为子其甲丙丙辛两形等髙既若乙丙丙庚两底即若壬与癸也依显丙辛丙己两形亦若癸与子也平之即丙甲与丙己若壬与子也【五巻二十】若以乙丙与丙戊偕丁丙
　　与丙庚相结以乙丙丙戊聨成一线依上推显注曰乙丙与丙庚丁丙与丙戊二比例既不同理又异中率故借壬与癸癸与子同中率而不同理之两比例以为象令相象之丙庚丁丙亦化两率为一率为乙丙丙戊首尾两率之枢纽因以两比例相结所以通比例之穷也自三以上仿此二十四题
　　平行方形之两角线形自相似亦与全形相似
　　解曰甲乙丙丁平行方形作甲丙对角线任作戊己庚辛两线与丁丙乙丙平行交角线于壬题言戊庚己辛两角线方形自
　　相似亦与全形相似
　　二十五题
　　两直线形求作他直线形与一形相似与一形相等法曰甲乙两直线形求作一形与甲相似与乙相等先于甲邉丙丁上作丙戊方形与甲等【一巻四四四五】次依丁戊邉作丁辛方形与乙等次作一壬癸线为丙丁丁庚之中率【本巻十二】末于壬癸作子形与甲
　　相似即与乙相等
　　论曰丙丁壬癸丁庚三线既为连比例则一丙丁与三丁庚若一丙丁上之甲与二壬癸之上之子相似两形
　　之比例又若丙戊与丁辛等髙两形之比例则丙戊与丁辛若甲与子矣夫丙戊丁辛元若甲与乙今又若甲与子是乙与子等也
　　二十六题
　　平行方形之内减去一平行方形其减形与元形相似而体势等又一角同则减形必依元形之对角线解曰乙丁平行方形内减戊己平行方形元形与减形相似而体势等又同甲角题
　　言戊己形必依乙丁形之对角线
　　二十七题
　　凡依直线之有阙平行方形不满线者其阙形与半线之上阙形相似而体势等则半线上似阙形之有阙依形必大于此有阙依形
　　解曰甲乙线平分于丙于甲丙半线上任作甲丁形为甲丙半线上有阙依形次作甲戊满元线形而丙戊为丙乙半线上阙形次作丁乙角线末任作己壬癸子两线与甲乙乙戊平行交角线于庚即得甲庚为甲乙
　　线上有阙依形而癸壬为阙形癸壬阙形既依乙丁角线则与丙戊阙形相似而体势等题言甲丁有阙依形必大于甲庚有阙依形
　　论曰己丁丁壬两形同髙等底即两形等【一巻三六】而庚戊为丁壬之分则丁壬大于庚戊较余一庚丁形其大于丙庚亦如之【丙庚庚戊两余方相等故】即等丁壬之己丁形大于丙庚亦较余一庚丁形也次毎加一丙己形则甲丁必大于甲庚矣
　　又解曰若庚防在丙戊形之外即引乙丁角线至庚作辛丑与癸戊平行次引甲癸乙癸聨之末作庚己与辛甲平行
　　得甲庚为甲乙线上有阙依形而己丑为阙形与丙戊阙形相似而体势等题言甲丁有阙依形亦大于甲庚有阙依形
　　论曰试引丙丁线至子即辛子子丑两线等而辛丁丁丑两形亦等其丁丑己丁两余方亦等即己丁与辛丁亦等夫辛丁大于辛壬既较余一庚丁形则己丁之大于辛壬亦较余一庚丁形也此两率毎加一甲壬形则甲丁大于甲庚者亦较余一庚丁形矣依显不论庚防在丙戊形内形外凡依角线作阙形而与丙戊相似者其有阙依形俱小于甲丁以必有庚丁之较故也
　　二十八题
　　一直线求作依线之有阙方形与所设直线形等而其阙形与所设方形相似其所设直线形不大于半线上所作方形与所设方形相似者
　　法曰甲乙线求作依线之有阙方形与丙等而其阙形与丁相似先平分甲乙于戊次于戊乙半线上作戊庚形与丁相似次作甲庚满线形若甲己形与丙等即得所求矣若甲己大于丙【若甲己小于丙即不
　　可作】即等甲己之戊庚亦大于丙也
　　则求戊庚大于丙之较为壬【一巻四五
　　増】即作癸丑形与壬等而与戊庚
　　相似次截取己巳己卯与癸子癸
　　寅等而作己卯方形必与癸丑相等相似而又与戊庚相似次引己辰抵元线又引卯辰两端作午未线即甲辰为甲乙线上有阙依形与丙等而乙辰阙形与丁相似
　　论曰辰庚与辰戊两余方既等毎加一乙辰角线形即乙己与戊午亦等而与等戊午之戊未亦等乙己与戊未既等又毎加一戊辰形即甲辰与申辰酉磬折形等矣夫磬折形为戊庚之分而戊庚与丙及癸丑并等戊庚既截去等癸丑之卯己则所余磬折形与丙等矣即甲辰亦与丙等
　　二十九题
　　一直线求作依线之余方形与所设形等而其余形与所设方形相似
　　法曰甲乙线求作依线余
　　方形与丙等而其余形与丁
　　相似先平分甲乙于戊于戊
　　乙上作戊庚方形与丁相似
　　次别作辛方形与丙及戊庚
　　并等又别作癸丑方形与辛等又与丁相似癸丑既与辛等即大于戊庚次引己戊至卯与壬丑等引己庚至寅与壬癸等而作寅卯方形即卯寅与癸丑等又与戊庚相似次引甲乙至己引庚乙至午引午卯至未末作甲未线与己卯平行即得甲辰余方形依甲乙线与丙等而己午为余形与戊庚相似即与丁相似
　　论曰甲卯戊午既等戊午与乙寅两余方又等是甲卯与乙寅亦等矣而毎加一卯己形则甲辰与申乙酉磬折形必亦等夫磬折形元与丙等【卯寅即癸丑元与丙及戊庚并等毎减一戊庚即磬折形与丙等】即甲辰亦与丙等三十题
　　一直线求理分中末线
　　法曰甲乙线求理分中末先于元线作甲丙方形次依丁甲邉作丁己余方形与甲丙形等而甲己为余形又与甲丙相似则戊己分甲乙于辛即所求【本卷界三】
　　论曰丁己与甲丙两形既等毎减一甲戊形即甲己辛丙两形亦等矣此两形之两辛角既等即等角旁之各两邉为互相视之线也【本巻十四】而等戊辛之甲乙线与等辛己之甲辛线其比例若甲辛与辛乙也是甲辛乙为理分中末也
　　三十一题
　　三邉直角形之对直角邉上一形与直角旁邉上两形若相似而体势等则一形与两形并等
　　解曰甲乙丙三边直角形甲为直角各邉上任作直线形相似而体势等题言乙丁形与乙庚丙辛两形并等
　　论曰甲丙上方形与乙丙上方形之比例若丙辛与乙丁甲乙上方形与乙丙上方形之比例若乙庚与乙丁夫甲丙甲乙上两方形并与乙丙上方形等【一巻四七】则丙辛乙庚两形并亦必与乙丁等増题角形之一邉上形与余邉上相似两形并等则对一邉角必直角
　　三十二题
　　两三角形此形之两邉与彼形之两边相似而平置两形成一外角若相似之各两邉各平行则其余各一邉相聨为一直线
　　解曰甲乙丙丁丙戊两角形其甲乙与甲丙若丁丙与丁戊也试平置两形令相切成一甲丙丁外角而甲乙与丁丙甲丙与丁戊各相似之两邉各平行题言乙丙丙戊为一直线
　　三十三题
　　等圜之乗圜分角或在心或在界其各相当两乗圜角之比例皆若所乗两圜分之比例而两分圜形之比例亦若所乗两圜分之比例
　　解曰甲乙丙戊己庚两圜等其心
　　为丁为辛两圜各任割一圜分为
　　乙丙为己庚其乗圜角之在心者为乙丁丙己辛庚在界者为乙甲丙己戊庚题先言乙丙与己庚两圜分之比例若乙丁丙与己辛庚两角次言乙甲丙与己戊庚两角之比例若乙丙与己庚两圜分后言乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分乙丁丙分圜形与己辛辛庚两腰偕己庚圜分己辛庚分圜形之比例亦若乙丙与己庚两圜分一系在圜心两角之比例皆若两分圜形
　　二系在圜心角与四直角之比例若圜心角所乗之圜分与全圜界四直角与在圜心角之比例若全圜界与圜心角所乗之圜分

　　几何论约巻六
　　钦定四库全书
　　几何论约巻末
　　柘城杜知耕撰
　　増题【利氏曰丁先生言欧几里得六巻中多研察有比例之线竟不及有比例之面故因其义类増益数题补其未备窦复増一题窃弁于首仍以题防从先生旧题随类附演以广其用俱称今者以别于先生旧増也】
　　今増题圜与圜为其径与径再加之比例
　　解曰甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己题言两圜为甲丙丁己再加之
　　比例
　　一糸全圜与全圜半圜与半圜圜分与相当圜分相为比例皆等皆两径再加之比例故也
　　二糸三邉直角形对直角边为径所作圜与余两邉为径所作圜并等半圜与两半圜并等圜分与相似两圜分并等
　　三糸三线为连比例以为径所作三圜亦为连比例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求各圜之相与为比例者
　　一増题直线形求减所命分其所减所存各作形与所设形相似而体势等
　　法曰甲形求减三分之一所减所存各作形与乙相似先作丙丁形与甲等与乙相似次依丙戊邉作丙己戊半圜次截丙戊三分之一为戊庚次作己庚为丙戊之垂线次作己丙己戊两线末于己丙己戊
　　上作己辛己壬两形各与丙丁相似为所求耕曰丙丁己辛己壬三形既相似其比例必若其底与底再加之比例三底线负半圜为三邉直角形其己庚丙己庚戊两分形又与全形相似则丙戊与己丙必若己丙与丙庚是丙戊与丙庚为再加之比例而丙丁己辛两形必若丙戊丙庚两线矣夫丙庚既为丙戊三分之二则辛己亦必丙丁三分之二依显己壬为丙戊三分之一
　　若所存所减不论何形其法更易如甲形求减三分之一先作乙丙形与甲等
　　次截乙丁三分之一为丁戊末作己戊即戊丙形为甲三分之一
　　今附有大圜求减小圜则以圜径当形邉余同前又附依此法可作一方形与初月形等如甲乙丙丁圜有初月戊形附圜界四分之一先作甲乙丙丁内切方形而四平分之其一分即与初月形等何者甲乙丙半圜与甲乙乙丙上两半圜等即戊己半圜为半大圜之半而己庚分圜形亦为半大圜之半是己庚分圜形与戊己半圜等矣此两
　　率各减一同用之己形所存戊庚两形不亦等乎庚为甲乙丙丁方形四之一故甲乙丙丁方形四分之一之方形与初月形等
　　二増题两直线形求别作一直线形为连比例法曰甲与乙丙丁两形求别作一形为连比例先作戊己庚形与甲等与乙丙丁相似次以戊己为前率乙丙为中率而求连比例之末率为辛壬【本巻十一】末于辛壬上作辛壬癸形与两形相似为所求
　　论曰三线既为连比例即其上相似三形亦为连比例【本巻二二】
　　今附有两圜求别作一圜为连比例即以圜径当形邉法同前
　　三増题三直线形求别作一直线形为断比例
　　法曰一甲二乙丁三己庚辛求别
　　作一形为断比例先作壬子形与
　　甲等与乙丁相似次以壬癸乙丙
　　己庚为三率求断比例之末率为
　　寅卯【本巻十二】末于寅卯上作寅卯辰形与己庚辛相似为所求
　　论曰四线既为断比例其线上相似形亦为断比例【本巻二三】
　　今附有三圜求别作一圜为断比例法同前
　　四増题两直线形求别作一形为连比例之中率法曰甲与乙丙丁两形求别作一形为连比例之中率先作戊己庚形与甲等与乙丙丁相似次求戊己乙丙两线连
　　比例之中率为辛壬于辛壬上作辛壬癸形与乙丙丁相似为所求
　　又法曰甲乙两形求别作一形为连比例之中率先作丁巳形与甲等次作庚壬形与乙等与丁巳相似令两形戊角相聨而丁
　　壬巳庚各成直线末引各邉作子癸直角形其子戊戊癸两余方皆为甲乙之中率
　　论曰丁己与戊癸若子戊与庚壬何者两比例皆若丁戊与戊壬也故两余方皆为等甲乙两角线形之中率今附两圜求别作一圜为连比例之中率法同前
　　五増题一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其比例若所设两几何之比例
　　法曰一甲形求分为两形俱与丁相似与乙丙比例等先作戊庚形与甲等与丁相似次分戊辛邉于壬令戊壬与壬辛若乙与丙次于戊辛上作
　　戊癸辛半圜次从壬作癸壬为戊辛之垂线次作戊癸癸辛两线末于戊癸癸辛上作戊子癸寅两形俱与戊庚形相似为所求
　　今附一圜求分作两圜与所设比例等法同前
　　六増题一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其两分形两相似邉之比例若所设两几何之比例
　　法曰一甲形求分作两形俱与丁相
　　似其两分形两相似邉之比例若乙
　　与丙先以乙丙两线求连比例之末
　　率为戊次作己庚辛形与甲等与丁
　　相似次分己辛于壬令己壬与壬辛若乙与戊次于己辛线上作巳癸辛半圜次从壬作壬癸为巳辛之垂线次作巳癸癸辛两线末于己癸癸辛上作己子癸癸丑辛俱与丁相似为所求
　　今附一圜求分作两圜两径若所设之比例法同前
　　七増题两直线形求并作一直线形与所设形相似而体势等
　　法曰甲乙两形求并作一形与丙相似先作戊丁己形与甲等作己庚辛形与乙等次以两形相似邉聨为直角次以戊辛聨之末于戊辛线作戊辛壬形与丙相似为所求
　　又法曰先作一方形与甲乙两形并等次作角形与方形等与丙相似
　　今附两圜求并作一圜法同前
　　八增题圜丙两合线交而相分其分线彼此互相视解曰甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁两线交而相分于戊题言甲戊与戊丁若乙戊与戊丙又甲戊与乙戊若戊丁与戊丙也
　　论曰甲戊偕戊丙与乙戊偕戊丁两矩内形等【三巻三五】即等角旁之两邉为互相视之邉【本巻十四】
　　九増题圜外任取一防从防出两直线皆割圜至规内其两全线与两规外线彼此互相视若从防作一切圜线则切圜线为各割圜全线与其规外线之各中率
　　解曰甲乙丙丁圜外任取戊防作戊丙戊丁两线割圜界于甲于乙题言戊丙与戊丁若戊甲与戊乙又戊丙与戊甲若戊丁与戊乙也又言己戊切线为各割圜全线与规外线之各中率谓丙戊与己戊若己戊与戊
　　乙又丁戊与己戊亦若己戊与甲戊也
　　论曰丙戊偕乙戊矩内形与己戊上方形等【三卷三六】又丁戊偕甲戊矩内形与己戊上方形亦等即两矩内形自相等而等角旁之两邉为互相视之邉【本巻十四】又两矩内形各与戊己上方形等即戊丙戊己戊乙三线戊丁戊己戊甲三线俱为连比例而己戊为各中率
　　十増题两直线相遇作角从两线之各一界互下垂线而毎方为两线一自界至相遇处一自界至垂线则各相对之两线皆彼此互相视
　　解曰甲乙丙乙两线相遇于乙作甲乙丙角从甲作丙乙之垂线从丙作甲乙之垂线若甲乙丙为钝角如上圗两垂线当
　　至甲乙丙乙之各引出线上为甲丁为丙戊其甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙丙为鋭角如下圗甲丁丙戊两垂线当在甲乙丙乙之内交而相分于己也题言甲乙与乙丙若丁乙与乙戊又甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也
　　论曰甲乙丁形之甲乙丁甲丁乙两角与丙乙戊形之丙乙戊丙戊乙两角皆等【两为直角两于上圗为交角于下圗为同角故】即两形为等角形故各相对之两线为彼此互相视
　　十一増题平行线形内两直线与两邉平行分元形为四平行线形此四形任相与为比例皆等
　　解曰甲丙形内作戊己庚辛两线与甲丁丙丁平行而交于壬题言所分之戊庚庚己乙
　　壬壬丙四形任相与为比例皆等
　　论曰戊壬与壬己两线之比例既若戊庚与庚己两形又若乙壬与壬丙两形即戊庚与庚己亦若乙壬与壬丙也依显乙壬与戊庚亦若壬丙与庚己也
　　十二増题凡四邉形之对角两线交而相分其所分四三角形任相与为比例皆等
　　解曰甲乙丙丁四邉形有甲丙乙丁两对角线交而相分于戊题言所分甲戊丁乙戊丙
　　甲戊乙丁戊丙四三角形任相与为比例皆等论曰甲戊与戊丙两线之比例若甲戊丁与丁戊丙两形又若甲戊乙与乙戊丙两形即甲戊丁与丁戊丙两形亦若甲戊乙与乙戊丙也依显甲戊乙与甲戊丁亦若乙戊丙与丁戊丙也
　　十三増题三角形任于一邉任取一防从防求作一线分本形为两形其两形之比例若所设两几何
　　法曰甲乙丙角形任于乙丙
　　邉任取丁防求从丁作一线
　　分本形为两形其两形之比
　　例若戊与己先分乙丙于庚令乙庚与庚丙若戊与己如庚丁同防【一圗】即作丁甲线为所求如庚在丁丙之内【二圗】亦作丁甲线从庚作辛庚线与丁甲平行末作丁辛线即分乙丁辛甲无法四邉形与丁丙辛角形其比例若戊与己也如庚在乙丁之内【三圗】亦作丁甲线次从庚作庚辛线与丁甲平行末作辛丁线即分乙丁辛角形与丁丙辛甲无法四邉形其比例若戊与己也【详一巻三十八题第二増】
　　十四増题一直线形求别作一直线形相似而体势等其比例若所设两几何
　　法曰甲直线形求别作一形与甲相似令甲与所作形之比例若乙与丙先以乙丙及丁戊三线求断比例之末率为己次求
　　丁戊及己之中率为庚辛【本卷十二十三】末于庚辛上作壬形与甲相似为所求若先设大甲求作小壬若丙与乙仿此
　　论曰丁戊庚辛己三线为连比例即一丁戊与三己之比例若一丁戊上之甲与二庚辛上之壬有用法作各形之相加相减者如乙丁方形求别作五倍大方形先引长甲乙至戊令乙戊五倍于乙甲次平分甲戊于己即
　　以己为心甲为界作甲庚戊半圜次引长乙丙抵圜界于庚即依乙庚线作乙辛方形为所求耕曰甲乙偕戊乙矩内形与乙庚上方形等【三巻三五】矩内形既五倍于乙丁则乙辛方形亦必五倍于乙丁
　　又丁乙直线形求别作二倍大相似形先引长甲乙至戊令乙戊二倍于甲乙次平分甲戊于己即以己为心甲为界作甲庚戊半圜次引长丙乙抵圜界于庚次于甲戊线截取甲辛与乙庚等从辛作辛壬与乙丙平
　　行次作甲丙对角线引长之遇辛壬于壬次自壬作壬癸与丙丁平行末引甲丁线聨之成癸辛形即二倍于丁乙而相似
　　用此法不论何形但两形相似其在庚乙上形皆二倍于在甲乙上形
　　今附若用前法作圜则乙庚径上圜亦二倍大于甲乙径上圜相加相减仿此
　　十五増题诸三角形求作内切直角方形
　　法曰甲乙丙角形求作内切方形先从甲角作甲丁为乙丙之垂线次分甲丁于戊
　　令甲戊与戊丁若甲丁与乙丙【本巻十増】次从戊作己庚与乙丙平行末自庚自己作庚壬己辛两线各与甲丁平行即得己壬形为所求【若直角钝角则从直角钝角作垂线】
　　耕曰己庚既与底线平行则甲丁与乙丙若甲戊与己庚今又若甲戊与戊丁是戊丁与己庚等矣而庚壬己辛又各与戊丁等即庚辛为方形又甲乙丙直角三邉形求依乙角作内切方形先分甲乙于丁令甲丁与丁乙若甲
　　乙与乙丙末从丁作丁戊与乙丙平行从戊作戊己与甲乙平行即得丁己形为所求
　　耕曰丁戊既与底线平行则甲乙与乙丙若甲丁与丁戊今又若甲丁与丁乙是丁乙与丁戊等矣即乙戊为方形
　　今附如上三邉直角形依乙角作内切方形其方邉必为甲丁己丙两分余邉之中率何者甲丁与丁戊若戊己与己丙故也【本巻四之糸】
　　后附【耕自为圗论附之巻末其法似为本书所无其理实函各题之内非能于本书之外别生新义也称后附者以别于丁氏利氏之増题也计十条】
　　一附直角三邉形以直角旁两邉求对直角邉一巻四十七题第四増言直角三邉形先得两邉可求余一邉皆用筭数相求然亦可比量得之按直角三邉形即算家所谓
　　勾股也乙丙即甲乙即勾甲丙即股乙丙之大于甲丙为丁丙曰股较乙丙之大于甲乙为乙戊曰勾较甲丙之大于甲乙为丙己曰勾股较凡六线先得两线皆可求余线今先得甲乙甲丙两邉求乙丙先作庚辛壬直角令辛壬与甲乙等辛庚与甲丙等末作庚壬即得乙丙邉之度
　　二附以对直角邉及直角旁一邉求余邉
　　先得甲乙乙丙两邉求甲丙先作庚壬与乙丙等平分于癸即以癸为心庚为界作半圜次以壬为心甲乙为
　　度向圜作短界为辛末作庚辛线为所求【若先得甲丙乙丙两邉求甲乙法同上】
　　三附以对直角邉与一邉之较及一邉求全邉
　　先得甲乙邉及甲丙乙
　　丙之较丙丁求余邉先
　　作庚辛与丙丁等次作
　　辛壬垂线与甲乙等次作庚壬次引长庚辛至癸次作庚壬子直角而壬子截庚癸于子末平分庚子于丑即庚丑线与乙丙等辛丑线与甲丙等何也庚癸线既以庚壬子直角线截之则庚辛偕辛子矩内形必与辛壬上方形等【三巻三五】按勾股法依股较为濶作直形而与勾羃等其长必一一股之度故加辛庚折半得乙丙【若先得甲丙及甲乙乙丙之较乙戊求乙丙法同上】
　　四附以直角旁两邉之较及对直角邉求全邉
　　先得乙丙及甲乙甲丙之较
　　己丙先作庚辛与乙丙等次
　　平分于寅即以寅为心庚为
　　界向上作短界线次以庚为心己丙为度向上作短界线相交处为丑自丑作辛丑线次作庚辛壬直角令辛壬与辛丑等次作庚壬线末截庚壬于癸令壬癸与丙己等余庚癸平分于子即庚子与甲乙等子壬与甲丙等按勾股法一勾一股并作方形当上方形二而朒一勾股较上方形今庚辛上方形即羃等辛丑之辛壬上方形当一羃而朒一勾股较上方形又庚壬上方形与庚辛辛壬上两方形并等则庚壬一线必为一勾一股之度
　　五附以直角旁两邉与对直角邉之两较线求各邉先得甲丙乙丙之较丁丙及甲乙乙丙之较乙戊先倍乙戊加丁丙为庚辛壬癸线平分于子即以子为心庚为界作庚丑癸半圜次自壬作垂线抵圜界于丑
　　即壬丑线加壬癸即与甲乙等加辛壬即与甲丙等加辛癸即与乙丙等按勾股法丁丙偕乙戊矩内形二与戊丁上方形等夫庚壬偕壬癸矩内形即两较矩内形二也而又与壬丑上方形等则壬

　　丑垂线不与戊丁亦等乎故逓加之得勾股也【若倍丙丁加乙戊所求亦同】
　　六附又法以方邉角线之较求方邉
　　先得方邉角线之较甲乙三倍
　　之为甲乙丙丁线平分于戊即
　　以戊为心甲为界作甲己丁半
　　圜自丙作垂线抵圜界于己即己丙线加丙丁为方邉加甲丙为角线试作庚辛为角线上方形次作庚癸壬辛皆为元方形【详二巻十四之増】其子丑与丑壬两线之比例若丑壬与子丑寅卯两线并则丑壬为子丑及子丑寅卯两线并之中率今甲丙倍丙丁而己丙为中率其丙丁与己丙若己丙与甲丙也则己丙丑壬两线必等故加等子丑之丙丁得方邉加等子丑寅卯两线并之甲丙得角线
　　七附等角两平行方形【不同理】不必借象即以相结如甲丙丙己两平行方形两丙角等即以两角相聨令乙丙丙庚丁丙丙戊各成直线【六巻二三】次引丙庚至壬令丙庚与
　　丙壬若丁丙与丙戊旋依丁丙丙壬作丁壬形即甲丙与丙己两形之比例若乙丙与丙壬何者丙庚丙壬丁丙丙戊四线既为断比例前后两率矩内形与中两率矩内形必等【六巻十六】即丙己与丁壬等又丁壬与甲丙同丁丙邉即两形等髙两形之比例必若两底乙丙之与丙壬也故甲丙与丙己亦若乙丙与丙壬此以丁丙丙庚为前率之后复为后率之前化二为一作首尾两率之枢纽不必假借他象即以相结若以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结仿此
　　八附又法求理分中末线
　　设甲乙线求理分中末【详六巻三十】即以甲乙当股次作乙丙勾令勾半于股次以甲丙聨之次截甲丙于丁令丙丁与乙丙等末截甲乙于戊令甲戊
　　与甲丁等即甲戊乙为理分中末
　　也何者勾股上两方形并与上
　　方形等【一巻四七】于方内减去等勾

　　方之己形所余庚辛壬磬折形必与股方等又甲丁甲戊两线等即辛癸两形亦等再减辛癸两形所余庚壬两形与子丑寅磬折形必亦等又甲乙既倍于内乙即甲卯亦倍于甲辰甲丁甲戊又等则癸子两形并【当甲戊偕丙乙矩内形二】与庚壬两形并【即甲丁偕丙乙矩内形二】亦等矣即癸子两形并与子丑寅磬折形亦等此二率毎减一同用之子形则所余癸与丑寅并安得不等夫癸即甲戊上方形也丑寅即甲乙偕乙戊矩内形也故甲戊乙为理分中末也
　　九附求于三角形内作一线抵两腰与底线平行又与所设线等
　　甲乙丙三角形求作一线抵两腰与乙丙平行而与丁线等先作甲戊线次分
　　于己令甲戊与甲己若乙丙底与丁线末从己作庚辛线与乙丙平行为所求【若设线大于乙丙即不可作】
　　十附有多线求理分中末
　　设甲乙丙丁戊己庚辛多线各求理分中末先依前法【八附】分甲乙于壬次
　　任作甲癸乙角形次从壬作癸壬线次作丙丁戊己庚辛多线令两界各抵腰线而与底线平行【九附】末依癸壬线分丙丁于子分戊己于丑分庚辛于寅各为理分中末也

　　几何论约巻末
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　数学钥　　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要
　　【臣】等谨案数学钥六巻
　　国朝杜知耕撰其书列古方田粟布裒分少广商功均输盈朒方程勾股九章取今线面体三部之法之载其图解并摘其要语以为之注与方中通所撰数度衍用今法以合九章者体例相同而每章设例必标其凡于章首每问答有所旁通者必附其术于条下所引证之文必着其所出搜辑尤详梅文鼎勿庵歴算书记曰近代作者如李长茂算海详説亦有发明然不能具九章惟方位伯数度衍于九章之外搜罗甚富杜端伯数学钥图注九章颇中肯綮可为筭家程式其説固不诬矣世有二本其一为妄人窜乱殊失本真此本犹当日初刋今据以校正以复知耕之旧焉乾隆四十六年四月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官【臣】陆费墀

　　钦定四库全书
　　数学钥卷一凡例
　　柘城杜知耕撰
　　凡例【计十四则】
　　一则
　　数非图不明图非手指不明图用甲乙等字作志者代指也作志必用甲乙等字者取其笔画省而不乱正文也甲乙等字尽则用子丑等字又尽则用乾坤等字如云甲乙丙丁方形则指第一图戊巳庚辛方形
　　则指第二图或错举二字谓
　　第一图为甲丁或乙丙形谓
　　第二图为戊辛或巳庚形又
　　指第一图左下角曰甲角右
　　下角曰乙角又或有两角相
　　连如第三图两形相同一角
　　如第四图举一字不能别为某形某角则连用三字曰寅癸丑角或壬癸子角以中一字为所指之角二则
　　四边皆等四角中矩者曰方形如第一图四角中矩四边两两相等者曰直形如第二图或四边等或两边等而四角俱不中矩者曰象目形如第三图四边俱
　　不等两角中矩两
　　角不中矩者曰斜
　　方形如第四图角
　　不中矩两边相等
　　者曰梯形如第五
　　图边及角俱不等
　　者曰无法形如第六图三边形有一方角者【甲为方角】曰勾股形如第七图无方角者曰三角形如第八图三则
　　形边之界曰线线之纵者曰长或曰高衡者曰濶或曰广在下者或曰底斜对两角者曰
　　四则
　　形之积步积尺曰积曰容方形之容或曰羃
　　五则
　　线之作志处曰防
　　六则
　　两线相并曰和
　　七则
　　以此线比彼线彼线之大于此线者以此形比彼形彼形之大于此形者或曰较或曰差如甲丙线之大于甲乙线为丙乙则丙乙为两线之较线或曰两线之
　　差丁己形之大于丁戊形为庚己形
　　则庚己为两形之较形或曰两形之
　　差
　　八则
　　甲乙线上作甲丙方形各边俱等于甲乙曰甲乙线上
　　方形其形之容即甲乙自乘
　　之数丁戊衡线戊己纵线内
　　作丁己直形己庚与丁戊等
　　庚丁与戊己等曰丁戊偕戊己两线矩内形其形之容即丁戊戊己相乘之数
　　九则
　　甲乙衡线上作丙丁纵线而丙丁乙与丙丁甲两角俱
　　方角则丙丁为甲乙线上之垂线

　　十则
　　两直线引至无穷不相离亦不相遇曰平行线平行线内任作几形皆等高如甲乙丙丁两线平行两线内
　　作戊己庚三角形与辛壬直形两形
　　之高必相等凡两形等高者则曰同
　　在平行线内
　　十一则
　　甲乙丙三形并为一形形曲如磬曰甲乙丙磬折形

　　十二则
　　方形并举四边曰方周
　　十三则
　　方形或圆形外实中虚曰环其中虚处曰虚形或曰缺形
　　十四则
　　甲乙形以丙丁线分之成甲丁丙乙两形或再以戊己
　　线分之成甲庚丙己戊丁庚乙四形
　　谓甲丁等二形或甲庚等四形曰分
　　形谓甲乙元形曰全形

　　数学钥巻一凡例
　　钦定四库全书
　　数学钥巻一目録
　　柘城杜知耕撰
　　方田上【直线类】
　　一则实积求亩
　　二则直形求积
　　三则方形求积
　　四则勾股求积【二法】
　　五则三角形求积
　　六则斜方形求积
　　七则梯形求积
　　【西法】八则象目形求积【二法】
　　九则诸直线形求积
　　十则积求方边【即开平方　二法】
　　十一则方边求斜
　　十二则斜求方边
　　十三则直积求长与濶【即带纵开平方】
　　十四则直形以长求濶
　　十五则直形以濶求长