公元219年发生的襄樊之战，以蜀汉刘备部将关羽北伐曹魏，水淹七军、围困襄、樊两城开端，以东吴孙权部将吕蒙“白衣渡江”偷袭南郡，关羽败走麦城，身首异处结束。
这是一次典型的囚徒困境。
赤壁之战前，刘备与孙权结成联盟，约定共同对抗北方最强大的曹操，以获得合作收益。关羽北伐是针对曹操的军事行为，可以理解为刘备一方努力履行联盟的合作契约，执行合作策略。孙权一方趁刘备一方正努力执行合作策略，趁其毫无防范之机，偷袭了关羽的后方根据地，导致关羽兵败身死。孙权一方的偷袭不是针对曹操的军事行为，而是针对刘备的军事行为，是典型的执行了背叛策略。
（“，”左侧数值为刘备的收益，右侧数值为孙权的收益）
在单次的囚徒困境博弈模型中，若博弈双方同时选择合作，则各获得2收益；同时选择背叛，则各获得0收益；一方选择合作另一方选择背叛，合作方收益-1，背叛方收益3。同时选择合作能让集体获得最高收益，2+2=4。但是当一方选择合作给定时，另一方选择合作收益2，选择背叛收益3，2<3，对集体中的个体来说，当对方会选择合作时，其最佳策略是选择背叛。同时选择合作策略，对集体来说虽然是收益最高的策略，但对个体来说并不是——损害同伴的利益才能最大化自身利益。当一方努力履行合作契约时，另一方有很强的激励不履行合作契约，而是采取背叛策略。
作为孙权一方来说，当刘备一方努力履行合作契约时，其执行背叛的策略，的的确确能够获得最高收益——这从吕蒙能够轻而易举拿下南郡就可以证明——成本低、收益高。如果只考虑襄樊之战这一单次博弈，而不考虑未来，孙权偷袭南郡能得到最大收益，是最佳策略。
在单次的囚徒困境博弈模型中，实际上，无论对方选什么，选择背叛永远是最佳策略。上面我们已经分析了一方选择合作策略给定时，另一方的最佳策略是背叛。若一方选择背叛给定，则另一方选择合作收益-1，选择背叛收益0，-1<0，最佳策略依然是选择背叛。
作为刘备一方来说，似乎根本不该考虑履行合作契约，任何合作的举动都是劣选策略，只会降低自己的收益。关羽的北伐是愚蠢的，把刘备一方推到了一个注定大败亏输的境地——孙权若选择背叛，刘备选择合作的收益是最低的-1。
我见过很多夸赞孙权的偷袭多么明智，而讽刺关羽的北伐是多么愚蠢的言论。这些言论，包括我之前的分析，全部！都错！错！错！
真正出了昏招的孙权！
为什么？
因为以上我们分析的是单次囚徒困境博弈！所谓单次博弈，就是说博弈参与者在这次博弈之后就老死不相往来了，你遇不到我，我也找不到你，不会有下一次博弈了。但现实情况是，刘备就在西川，孙权就在江东，你能找到我，我想见你也很容易，今天这次博弈结束之后，明天还要接着博弈，并且不知道今后还有多少场博弈。
这种情况叫做无限次数重复博弈。
单次博弈与无限次数重复博弈有什么区别？后者是要考虑未来的，前者却不需要考虑。
未来会发生什么？
未来会发生收益！
这时一个新策略出现了，叫做“报复”。所谓报复，就是在上一局博弈中，甲方遭遇乙方背叛，那么在下一轮博弈中，甲方也要对乙方采用背叛策略。报复虽然针对的是过去的行为，目的却是为了获取更多的未来收益。
（“，”左侧数值为刘备的收益，右侧数值为孙权的收益）
在一个共有N轮博弈的重复博弈中，给定甲遭遇背叛就会在下一轮实施报复，不遭遇背叛就会一直合作。第n轮甲合作，乙背叛了，乙收益3；在第n+1轮，甲报复乙，选择背叛，乙无论如何选择，收益最高为0；两轮收益相加总和为3+0=3。第n轮甲合作，乙也选择合作，乙收益2；由于甲没有遭到背叛，所以第n+1轮甲会选合作，乙也选合作，收益2,；两轮收益相加总和为2+2=4。乙背叛甲的两轮收益总和为3，乙一直与甲合作两轮收益总和为4，3<4，因此比起背叛，乙更愿意跟甲合作。
现在给定甲永远不会实施报复，即，无论在第n轮乙采用什么策略，甲在第n+1轮依旧会选合作。第n轮，甲合作，乙合作，乙收益2；第二轮甲合作，乙合作，乙收益2；两轮相加，乙总共收益4。第n轮甲合作，乙背叛，乙收益3；第n+1轮甲合作，乙背叛，乙收益3；乙两轮收益相加总和为6。4<6，跟两轮合作相比，两轮背叛收益更高。实际上，我们还可以组成其他的策略组合，但是，只要甲永远选择合作，乙永远选择背叛所得的收益一定是最高的。因此，在甲不会报复的情况下，乙最佳选择永远是背叛，甲就永远无法得到合作收益。=
报复提高了背叛者的背叛成本，使背叛的收益小于合作，从而激励了人们履行合作契约。报复让自己更安全。当乙认为甲会对背叛行为进行报复的可能性越高的时候，就越不愿意背叛甲，反之，乙认为甲会对背叛行为进行报复的可能性越低，就越愿意背叛甲。
乙如何判断甲对背叛行为的进行报复的可能性？看他曾经报复的频率！曾经实施报复的频率越高，就说明未来会实施报复的概率也就越高；曾经实施报复的频率越低，就说明未来会实施报复的概率也就越低。
甲每一次的报复或不报复的决定，都关系着未来博弈中遭遇背叛的可能性。对这一次背叛行为实施了报复，在未来遭遇背叛的可能性就越低，未来合作收益也就越高；不对这一次背叛行为实施报复，在未来遭遇背叛的可能性就越高，未来合作收益也就越低。
为了降低未来博弈中博弈对手的背叛激励，获得尽可能多的未来收益，一定要尽可能对每一次背叛行为进行报复！
当孙权派吕蒙趁虚而入，占领南郡，导致关羽身死时，他就应该料想到，刘备绝不会善罢甘休，因为对背叛行为进行报复关系到未来。但孙权似乎并没有想到，最起码没有想到刘备实施报复的严重性。
公元221年，刘备亲自率领5万大军讨伐孙权，发动了夷陵之战。这一场战役，孙权部将陆逊“火烧连营”，打得刘备几乎全军覆没——孙权赢了。
有什么严重后果？
孙权与刘备能够结成联盟，合作对抗曹操，是因为无论是孙权还是刘备，其能力都不足以完成独自对抗曹操的目标，合作能让双方获得比单干更高的收益。只要孙权和刘备无法单独对抗曹操这一现实不变，双方合作获得的收益就会大于单干获得的收益。这个博弈的期限是“无限”的——不知道在未来的什么时候会结束。这也就意味着，这个未来可能很长（从实际情况看，这个未来确实很长），未来越长，双方就可以从未来的合作中获得越丰厚的回报。
合作双方的能力越强，大概率来说，合作收益就会越高。如果一方的能力受到削弱，不仅仅影响到这一方的收益，还会让另一方的合作收益也减少。
吕蒙“白衣渡江”之前，刘备定军山之战斩杀夏侯渊，从曹操手中夺取汉中；襄樊之战，关羽水淹七军，斩杀庞德，生擒于禁，围困襄阳、樊城，逼得曹操考虑迁都以避锋芒。这些军事行动给曹操带来了严重的、真实的威胁，曹操必然需要增加力量对来应对刘备一方的行动。对刘备一方增加力量，就意味着没有更多力量应对孙权一方，即使孙权无力发起对曹操的进攻，自身的防御压力总归会减少，这就提高了孙权一方的收益。
夷陵之战中刘备损失惨重，导致蜀汉被削弱。蜀汉的衰弱，使曹操可以减少针对蜀汉的力量，将这些力量投入到针对东吴一方。蜀汉的削弱，不仅仅降低了蜀汉获取收益的能力，同时也降低了东吴获取收益的能力。
每一轮博弈的合作收益都降低了，那么未来博弈的轮次越多，也就是未来越长，损失的收益也就越多。
看似襄樊之战和夷陵之战孙权都是最后的胜利者，但实际上孙权一方为了眼前的收益，放弃了许许多多未来收益。“白衣渡江”之前，孙刘联盟给曹魏的带来了巨大压力，但是在“白衣渡江”之后，这一联盟再也没能对曹魏集团形成实质性的威胁，只是勉强维持不被消灭而已。
那什么时候应该选择背叛呢？很明显，没有未来的时候！越是没有未来，就越要背叛，夺取尽量多的眼前收益。比如说曹魏眼看就要被严重削弱了，对抗他不需要与刘备结盟了，这时候在孙权看来，孙刘联盟的未来大概率就要结束了，没有那么多未来收益可以获得了，眼前收益大于未来收益，就应该准备采取背叛策略。
我们引入贴现率P。明天得到2收益，不如立刻得到2收益值钱，因为明天会出现很多意外导致你无法得到这2收益，贴现率就是明天依旧会得到2收益的概率，也可以理解成明天的2收益比几天的2收益贬值的比率。
若第n轮甲方遭遇乙方背叛，在以后的博弈中，甲就再也不会与乙方合作，则乙方的收益为第n轮背叛的收益3，加以后的无穷个0，最终为3。乙一直与甲合作的收益是第n轮的收益2，加上n+1轮的收益2P，加上n+2轮的收益2P²，加上n+3轮的收益2P³……就是无穷多个2相加。若乙该背叛甲，说明背叛收益高于一直合作的收益，则3>2+2P+2P²+2P³……，求得P小于1/3时，满足不等式。当下一轮博弈依旧会继续的概率不小于1/3时，乙背叛甲的收益就小于一直与甲合作的收益，乙就不该背叛；只有预期博弈继续的概率小于1/3时，乙背叛甲的收益才会大于继续与甲合作，乙应该背叛甲。
背叛或者合作，与贴现率的大小有关！
这就是为什么说孙权趁机夺取南郡是一个愚蠢的短视行为，因为在当时的情况看来，曹魏集团会在很长一段时间里保持最强者地位，这就说明孙刘联盟合作的贴现率是比较大的，而贴现率大时，选择合作才是收益最高的策略。
夷陵之战之后，诸葛亮主持了蜀汉与东吴的重新谈判，再一次让双方回到了合作的策略上，为什么蜀汉会愿意重新与东吴合作呢？理由是——预期的贴现率特别大。
第n轮甲遭遇乙背叛，乙收益3，n+1轮甲报复乙，选择背叛，乙收益0，n+2轮甲乙重新合作，乙收益2P²，n+3轮收益2P³……乙一直与甲合作，第n轮收益2，n+1轮收益2P，n+2轮收益2P²，n+3轮收益2P³……满足背叛收益小于合作，则满足3≤2+2P，求得P≥1/2。
当贴现率足够大时，在一轮背叛与一轮报复后，乙与甲合作的未来收益依旧足够大，乙没有继续背叛的激励，因此甲在报复后，与乙继续合作可以获得更多收益。
因为蜀汉和东吴都承认贴现率确实是比较大的，也就是说，双方合作才能对抗曹魏的现实会延续很长时间，所以双方才愿意重新达成合作关系。
刘备发动夷陵之战是对的，因为报复是必须的；诸葛亮在夷陵之战后重新与东吴结成联盟也是对的，因为需要与东吴合作才能对抗曹魏；但是孙权在关羽北伐曹操的时候偷袭南郡却是错的，在贴现率明显很高的情况下采用了背叛策略，是为了眼前的蝇头小利放弃了巨大的未来收益，是非常不明智的。
这是可以用数理证明的。
孙刘联盟的颓势看起来是从夷陵之战开始的，实际上在吕蒙“白衣渡江”之时，历史的天平已经开始倾斜了。刘备死后，诸葛亮主持了蜀汉与东吴的重新谈判，又达成了合作关系，但是，势已成，不可逆，结局已经写就，回天乏力了。
作者：第五大洋，历史百家争鸣特约作者
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