一次掷出两个6是怎样的概率问题？

【编者按】

来自不同文化的人们发明了不同的计数系统，印度的十进制经过历史的沉淀，脱颖而出，成为当今普遍使用的计数系统。人们还开发出各种各样的数学工具、建立各自模型描述自然世界中的规律，甚至用编织来解决计算机都无可奈何的双曲面模型。在现实生活中，数学在很多领域也都起着意想不到的作用。我们通常认为体育比赛中的胜负靠的是赛场内的主客观因素，但其实随机性也发挥了不小的作用……《数学王国的冒险之旅》一书试图展示数学诙谐迷人又出乎意料的一面。本文摘编自该书第9章《如何打败概率》。

曾经有一种说法是，去拉斯维加斯结婚，去里诺离婚。而现在，你可以前往这两座城市玩一把角子机。里诺的佩珀米尔赌场有1900台角子机，但它还不是城中最大的赌场。穿过赌场的大厅，轮盘赌桌和21点的赌桌在一排排闪烁、旋转、嘟嘟作响的角子机的衬托下，显得黯然失色。科技的进步让这些“独臂土匪”失去了摇杆，也没有了机械的内核。玩家现在可以通过按下发光的按钮或点击触摸屏来下注。偶尔能听到硬币哗啦啦的声音，但这来自预录的样本，因为硬币已经被电子信用卡取代。

赌场角子机

角子机是赌场产业的前沿，是博彩的前线，也是底线。这些机器在美国每年能挣250亿美元（除去它们兑付的所有奖金后），大约是美国每年电影总票房的2.5倍。在全球赌场文化中心内华达州，角子机的收入如今占博彩收入的近70%，而且这个数字每年还在上升。

概率是对可能性的研究。当我们掷硬币或玩角子机时，我们不知道硬币会如何落下，也不知道旋转的滚筒会停在哪里。概率为我们提供了一种语言，来描述硬币正面朝上，或者我们中头彩的可能性。通过数学方法，不可预测性变得非常可预测。概率似乎是我们日常生活中理所当然的一部分，比如在查看天气预报时，我们默认预报结果会以一个概率出现。但在人类思想史上，意识到数学可以告诉我们未来的这个想法是近几百年才出现的，且影响深远。

我来里诺是为了见一位数学家，世界上超过一半的角子机的赔率是由他设定的。他的工作有悠久的历史渊源，概率论最早是16世纪由赌徒吉罗拉莫·卡尔达诺提出的，我们在讨论三次方程时曾提到过这位意大利朋友。这种会导致自我厌恶的嗜好给数学带来了突破，这是很罕见的。“我过分沉迷于棋盘和赌桌，我知道我必须受到最严厉的谴责。”他写道。他的坏习惯让他写出了一部短小的专著，名叫《论赌博游戏》，这是第一部科学分析概率的作品。然而，这本书太超前了，直到他死后一个世纪才出版。

卡尔达诺的观点是，如果一个随机事件有几个具有相同可能性的结果，那么任何一个结果发生的概率等于该结果数目与所有可能结果数目之比。也就是说，如果某件事占了6个可能结果中的一个，它发生的概率就是六分之一。所以，当你掷色子时，得到6的概率是1/6。掷出偶数的机会是3/6，也就是1/2。概率可以被定义为某种事情发生的可能性，用分数表示。不可能发生的概率为0，而确定会发生的概率为1，其余的均介于两者之间。

这看起来很直观，但事实并非如此。古希腊人、古罗马人和古印度人都是狂热的赌徒，然而，似乎没有人试图理解随机性是如何被数学定律支配的。例如，在罗马，掷硬币是解决争端的一种方式。

如果掷到了恺撒大帝的头像这一面，那就意味着同意这个决定。随机性并没有被认为是随意的，而是一种神圣意志的表达。纵观历史，人类在寻找解释随机事件的方法上具有非凡的想象力。例如，“书本占卜术”就是通过在文学作品中随机选择一段文字来给出指导。同样，根据《圣经》，拣选短麦秆是一种公平的选择方式，但得出的结果被解释为上帝的意志：“签放在怀里，定事由耶和华。”（《箴言》16:33）

迷信给概率的科学研究带来了极大的阻碍，但在掷了几千年色子之后，神秘主义被一种更强烈的人类欲望所克服，那就是对经济利益的渴望。吉罗拉莫·卡尔达诺是第一个把命运握在手里的人。事实上可以这么说：概率的发明是近几个世纪迷信和宗教衰落的根源。

如果不可预测的事件遵从数学规律，就不需要神明来解释它们了。世界的世俗化通常被认为是查尔斯·达尔文和弗里德里希·尼采等思想家的功劳，但很可能其实是吉罗拉莫·卡尔达诺开了先河。运气游戏最常使用色子。古代经常使用距骨，也就是绵羊或山羊的脚踝骨，它有四个平坦的面。印度人喜欢棒状和三角巧克力形状的色子，他们用小点标记不同的面，很有可能色子早于所有正式的数字符号系统出现，并沿用了下来。最公平的色子每一面都相同，如果进一步要求每面都必须是一个正多边形，则只有5种形状符合，也就是5种柏拉图多面体。所有柏拉图多面体都被用作色子。乌尔（Ur）可能是世界上已知的最古老的游戏，这个至少可以追溯到前3世纪的游戏用到了正四面体，然而，这却是5种选择中最糟糕的一个，因为四面体只有4个面，且几乎无法滚动。古埃及人使用正八面体（有8个面），而正十二面体（12个面）和正二十面体（20个面）如今则存在于占卜师的手提包里。

乌尔皇室游戏棋盘

目前最流行的色子形状是立方体。它最容易制造，数字的跨度既不大也不小，滚动起来很流畅，但又没那么容易滚动，会明确地落在某个数字上。带有点的立方体色子在不同文化中都是运气和机遇的象征，无论是在中国的麻将室里，还是在英国汽车的后视镜上，都能看到一样的色子。之前说过，掷一个色子，掷出6的概率是1/6。再掷一个色子，出现6的概率还是1/6。那么掷一对色子，得到一对6的概率是多少？概率论最基本的规则是，两个独立事件发生的概率等于第一个事件发生的概率乘以第二个事件发生的概率。当你掷一对色子时，第一个色子得到的结果与第二个色子的结果无关，反之亦然。所以，掷出两个6的概率是1/6×1/6，等于1/36。你可以通过计算两个色子的所有可能组合，直观地看到这一点：一共有36个具有相同可能性的结果，其中只有一个结果是一对6。相反，在36个可能的结果中，有35个不是一对6。所以，没有掷出一对6的概率是35/36。你也可以不列举出35个例子，而是从完整的集合中减去掷出一对6的情况。在这个例子中就是，1 – 1/36 =35/36。因此，某件事没有发生的概率是1 减去这件事情发生的概率。

色子赌桌相当于早期的角子机，赌徒们把赌注押在掷色子的结果上。一种经典的赌博游戏是掷出4个色子，押注至少有一个6出现的可能性。对于任何愿意在这件事上押钱的人来说，这可以让你获得一些额外的收入，而且我们也有足够的数学知识来理解为什么会这样：

第一步：用4个色子掷出至少一个6的概率等于1减去4个色子中没有一个色子出现6的概率。

第二步：一个色子没有掷出6的概率是5/6，因此如果有4个色子，都没有掷出6的概率就是5/6×5/6×5/6×5/6 = 625/1296，也就是0.482。

第三步：所以，掷出至少一个6的概率是1 – 0.482 = 0.518。

概率为0.518意味着，如果你连续1000次每次掷4个色子，得到至少一个6的情况大约会发生518次，而没有6的情况大约有482次。

如果你押注至少会出现一个6，平均而言你赢的次数会比输的次数要多，所以你最终能从中获利。

17世纪作家舍瓦利耶·德梅雷（Chevalier de Méré）坐在赌桌前的频率，和他身处巴黎最时髦的沙龙里的频率一样。德梅雷对掷色子的数学原理和赢钱都很感兴趣。虽然他提出了一些关于赌博的问题，但是他凭自己的能力无法回答。因此，1654年，他找到了著名数学家布莱兹·帕斯卡。帕斯卡对概率的调查成为一个引发了对随机性的研究的随机事件。

布莱兹·帕斯卡在遇到德梅雷的问题时才31岁，但他在学术界的名声已经流传了近20年。帕斯卡幼年时就表现出了惊人的天赋，13岁时，他的父亲让他参加了素数爱好者马兰·梅森修士组织的科学沙龙，梅森的沙龙聚集了许多著名数学家，包括勒内·笛卡儿和皮埃尔·德·费马。帕斯卡在十几岁时就证明了几何学中的重要定理，并发明了一种早期的机械计算器，也叫“加法器”（Pascaline）。

德梅雷问帕斯卡的第一个问题与“两个6”有关。我们在前面看到，当你掷两个色子的时候，有1/36的机会能得到两个6。掷色子的次数越多，获得两个6的机会就越大。德梅雷想知道他需要把一对色子掷多少次，才更有可能出现两个6。

德梅雷的第二个问题更复杂。假设让和雅克正在玩一个色子游戏，游戏包括几个回合，每个回合两人都掷出色子，看谁得到的数字最大，率先赢得三个回合的人获胜。在三个回合之后，游戏因意外需要终止。最直接的赢家是掷出了三次最大的数字的人。每个人的赌注是32法郎，所以赌注总额是64法郎。但如果让掷了两次最大的数，而雅克掷了一次，应该如何分配赌注？

帕斯卡思索着答案，他觉得有必要找一位天才的同行来讨论这些问题，于是他写信给梅森沙龙的老朋友皮埃尔·德·费马。费马住在远离巴黎的图卢兹，这座城市的名字似乎很适合一位分析赌博问题的研究者居住。费马比帕斯卡年长22岁，他在当地刑事法院当法官，把数学作为一种智力娱乐。然而，他的业余思考使他成为17世纪上半叶最受尊敬的数学家之一。

帕斯卡和费马关于概率（他们称之为“偶然性”）的短暂通信成为科学史上的一座里程碑。他们解决了那些享乐主义者的问题，也为现代概率论奠定了基础。

《数学王国的冒险之旅》，[英]亚历克斯·贝洛斯著，刘晓鸥、吕同舟译，鹦鹉螺·中信出版集团2022年6月。