迷人的对称：为什么宇宙看起来这么具有数学性？

【编者按】

数学史的剧场里绝对不是只有数字、符号和天才，这里上演的是最聪明的头脑的探索，同时还有他们在世间的悲欢离合、辛酸与荣耀。数学家伊恩·斯图尔特在《迷人的对称》一书中围绕“对称”这一在数学乃至人类对自然的探索中居于核心地位的概念巧妙地穿针引线，为我们娓娓道来3000多年来的数学发展史。本文为该书前言。

1832年5月30日。晨雾中，两个法国青年面对面拔出手枪指着对方，为一个年轻女人而决斗。一声枪响，其中一人倒在地上，受了致命伤。第二天他就死于腹膜炎，年仅21岁，被葬在一条普通的道沟里——一座无名冢。数学和科学史上最重要的理论之一差点儿随着他的死一并消失。

那位活下来的决斗者至今仍姓名不详，而死去的那一位，则是埃瓦里斯特·伽罗瓦（évariste Galois），一个着迷于数学的政治革命者，把他全部的数学工作整理到一起也仅仅能写满60页纸而已。但伽罗瓦留下的遗产却引发了一场数学革命。他发明了一种语言，用来描述数学结构中的对称性，并推导出对称性带来的结果。

今天，这种被称为“群论”的语言已经被应用于纯数学和应用数学的方方面面，由此支配着自然界种种模式的形成。在物理学前沿研究中，对称性不论是在极小尺度的量子世界还是在极大尺度的相对论世界都居于核心地位。它甚至有可能指出一条通向“万有理论”的道路，人们对这一理论探求已久，希望能从数学上统一量子理论和相对论这两个近代物理学中最重要的分支。而这一切的开始仅仅是一个简单的代数问题，与数学方程的解有关——求解数学方程，就是根据一些数学线索来寻找一个未知数的值。

对称性不是一个单一的数或形状，而是一种特殊的变换——一种移动物体的方式。如果一个物体经过某种变换后看起来与之前相同，这一变换就关联着某种对称性。例如，一个正方形旋转90度前后看起来是相同的，说明正方形具有某种关于旋转的对称性。

如此简单直观的理论经过大量扩充和加工之后，成了当今科学解释宇宙及其起源的基础。爱因斯坦相对论的核心原理即为物理定律在时空中的不变性，也就是说，物理定律对于空间中的运动以及时间上的演化是对称的。而量子理论告诉我们，宇宙中的一切都是由一群微小的“基本”粒子构造而成。这些粒子的行为遵从数学公式，也就是“自然法则”，而这些法则同样具有对称性。粒子可以通过数学变换，转变为完全不同的另一种粒子，而物理定律在这些变换下同样保持不变。

如果对对称性没有深入的数学理解，上述的这些理论就不会发展出来，而当今物理学前沿那些更加新近的理论也不会形成。对于对称性的数学理解源自纯数学，它在物理学中的作用随后才逐渐凸显了出来。极其有用的想法能够从纯粹抽象的思考中产生，这被物理学家尤金·维格纳（Eugene Wigner）称为“数学在自然科学中不合理的有效性”。对于数学，有时我们从中得到的似乎比投入其中的更多。

从古巴比伦的书吏到21世纪的物理学家，本书通过一连串的故事讲述了数学家们如何在无意中发现了对称性的概念，以及对后来被证明不可能存在的公式看似无意义的寻找是如何打开通向宇宙的一扇窗，并彻底颠覆了科学与数学的。更广泛而言，对称性的故事说明了伟大的思想所带来的文化影响与其历史脉络如何在偶然的政治与科学巨变中得以鲜明地凸显出来。

本书的前半部分可能一眼看上去与对称性毫无关系，也几乎没有涉及自然世界。这是因为，对称性理论并不是像人们想象的那样，从几何学发展成为一种主流理论的。数学家和物理学家现在所使用的那些极其优美又不可或缺的对称性概念反而是来源于代数学。因此，本书的大部分内容描述的都是代数方程的求解问题。这可能听上去太专业了，但这场探寻之旅扣人心弦，其中的很多关键人物度过了不同寻常而又戏剧化的人生。数学家也是人，尽管他们经常陷入抽象的沉思之中。他们中有些人在一生中可能过于依赖逻辑行事，但我们会一再发现，主角们身上其实拥有太多人之为人的天性。我们会看到他们如何活着与死去，读到他们的爱情与决斗、关于成果优先权的激烈争夺、性丑闻、酗酒与疾病，而在其间，我们将会看到他们的数学思想如何展开，并如何改变了这个世界。

本书讲述的故事发端于公元前10世纪，至19世纪早期由伽罗瓦推向高潮，追溯了人们对方程一步步的征服过程。当数学家遭遇了所谓的“五次”方程，也就是包含未知数的五次幂的方程时，征服的脚步终于停了下来。是因为五次方程有什么根本上的区别导致原有的方法不再适用，还是说存在其他类似但更强有力的方法可以得出五次方程求解的公式？数学家们是遇到了真正的障碍，还是只是太迟钝了？

要强调的是，五次方程的解是已知存在的。问题是，这些解是否一定能用代数式表示？1821 年，年轻的挪威人尼尔斯·亨里克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）证明五次方程无法用代数方法求解，但是他的证明晦涩而迂回。他证明了不存在一般的解法，却并没有真正解释为什么。

伽罗瓦发现，五次方程不可解，是源于方程本身所具有的对称性。可以这么说，如果方程的这些对称性通过了伽罗瓦检验——这意味着它们能以一种非常特殊的方式组合在一起，对此我现在先不做解释——那么这个方程就可以用代数式求解。如果对称性没有通过伽罗瓦检验，那么就不存在这样的代数式。

一般的五次方程都无法用代数式求解，因为它们所具有的对称性不属于可求解的类别。

这一史诗级的发现引出了本书的第二个主题：群——一种数学上“关于对称性的微积分”。伽罗瓦继承了代数学这一古老的数学传统，并把它发扬光大，改造成研究对称性的工具。

到目前为止，“群”这样的词还是未经解释的专业术语。当这些词的含义在叙述中变得重要的时候，我会解释它们，但有时我们只需要一个方便的名称来代指各种各样的概念。如果你遇到了看上去像是专业术语的词，但书中对此一带而过，没有立即展开讨论，那么它的作用就只是一个实用的标签，背后的实际含义并不重要。有时只要你继续往下读，这些含义总归会逐渐呈现出来。“群”就是一个恰当的例子，作为专业术语它已经出现了，但我们直到本书的中间部分才能明白它具体的含义。

本书还会涉及数学中一些特殊的数所具有的奇妙意义。我指的并不是物理学中的基本常数，而是π这样的数学常数。物理学基本常数，比如光速，原则上可能是任意值，只是在我们的宇宙中碰巧等于每秒186000英里（约300000千米）。但是π永远等于比3.14159稍大的一个值，这个值无法被这个世界里的任何事物改变。

五次方程的不可解告诉我们，5这个数就像π一样，是非常特殊的。它是使与之相关联的对称群无法通过伽罗瓦检验的最小的数。另一个奇妙的例子与下面这一列数有关：1，2，4，8。数学家发现可以对通常的实数概念进行一系列的扩张，首先得到复数，随后则是被称为四元数和八元数的东西。它们分别由2套、4套和8套实数构造而成。接下来呢？你可能很自然地会想到16，但实际上这列数已经没有更进一步的合理扩张了。这是一个非凡而深刻的事实。它告诉我们，8这个数有其特殊性。这种特殊性不是表面意义上的，而在于数学本身的潜在结构。

除了5和8之外，本书还着重介绍了其他几个数，尤其是14，52，78，133和248。这些奇怪的数是五个“例外李群”的维数，它们的影响遍及整个数学领域以及大部分的数学物理学领域。它们是数学舞台上的主角，而其他看起来与它们相差无几的数却只不过是些小角色。

数学家发现这些数有多特殊的时候，正是19世纪末抽象代数建立起来的时候。重要的不是这些数本身，而是它们在代数基础中起到的作用。它们中的每一个数都关联着一个叫作李群的数学对象，具有独特而显著的特性。这些李群在近代物理学中起着基础性的作用，而且看起来与空间、时间和物质的深层结构都有关联。

这就引出了本书的最后一个主题：基础物理学。长久以来物理学家一直想知道，为什么空间有三个维度，而时间有一个维度——为什么我们生活在四维时空之中。超弦理论是将整个物理学统一在同一套互相一致的法则中的最新尝试，物理学家由此开始思考时空是否可能存在额外的“隐藏”维度。这种想法听起来好像很荒唐，但历史上有很多这样的先例。隐藏维度的存在可能是超弦理论中争议最小的一点了。远比隐藏维度更有争议的是，超弦理论相信构建一套新的时空理论主要需要依靠相对论和量子理论——近代物理学的两大支柱——背后的数学。人们认为，统一这两个相互矛盾的理论所需要的完全是数学上的推演，而不是新的革命性实验。数学美感被看作物理学真理的前提，这可能是个危险的假设。很重要的一点是，我们不能忽略实际的物理世界，任何从当下的深思熟虑中最终产生的理论，无论它具有多深的数学渊源，都必须与实验和观察结果进行比对。

不过眼下我们有充分的理由进行数学上的探索。原因之一是，在一个真正有说服力的统一理论建立起来之前，没有人知道应该做什么样的实验。另一个原因是，数学上的对称性在相对论和量子理论中都至关重要，而这两种理论又缺乏共同的基础，所以哪怕是再微不足道的共同点，也应该得到足够的重视。空间、时间和物质的可能结构是由它们所具有的对称性决定的，而其中一些最重要的可能结构似乎都关联着特殊的代数结构。时空之所以具备它的这些性质，也许正是因为数学只允许少数特殊的形式存在。如果是这样，着眼于数学就很有意义了。

为什么宇宙看起来这么具有数学性呢？人们提出了很多答案，但我觉得它们都不太令人信服。数学思想与物理世界之间的对称关系，就像我们眼中的美与最重要的数学形式之间的对称关系一样，是一个深奥而可能无解的谜。没有人能说清为什么美即是真，真即是美。我们能做的，只有思考其间蕴含的无限复杂性而已。

《迷人的对称》，[英]伊恩·斯图尔特著，李思尘、张秉宇译，鹦鹉螺｜中信出版集团2022年9月。