评《几何学的力量》：化圆为方，人生几何

《几何学的力量》，[美]乔丹·艾伦伯格著，胡小锐、钟毅译，中信出版集团，2023年3月出版，389 页，79.00元

人生几何

回想起学生时代学数学尤其是几何的时候总是心情复杂。几何好像是遥远的古代祖先传下来的技巧，在校园之外的现代生活中百无一用。几何在数学领域中的地位堪比榴莲，爱的爱死，讨厌的避之唯恐不及。有些人觉得学几何比登天还难，而另一些人则认为几何是数学中唯一有趣的部分，当然，前者可能占多数。

英文“Geometry”来源于希腊语，其中“Geo”意为地球，“Metry”对应希腊语中的测量，因此，几何的本意是大地测量。作为数学的一个分支，几何主要研究形状、尺寸、空间和位置等。关于为何Geometry在中文中翻译为“几何”，有很多说法。最有趣的一种说法（尚未得到证实）是徐光启在翻译欧几里得的《几何原本》时，受曹操“短歌行”中的“对酒当歌，人生几何”的启发；加之徐光启是上海人，“Geometry”的前几个字母发音和上海话的“几何”相似，因此得名。

乔丹·艾伦伯格（Jordan Ellenberg）是美国威斯康星大学的数学教授，他的著作《几何学的力量》进过纽约时报畅销书榜。本书生动形象、全面地描述了几何在生活中各个领域的应用，包括理论物理、金融、人工智能、政治和诗歌等，可以说几何几乎无处不在。虽然要完全理解这本书需要一定的数学基础（高中或以上），但无论你的数学知识深浅，都可以通过本书了解到一些关于数学和几何的有趣八卦，拓展知识视野。

几何与人工智能：灭蚊建模、布朗运动、马尔科夫、搜索算法和ChatGPT

几何与人工智能的关系要追溯到二十世纪初圣路易斯世博会上科学家罗纳德·罗斯（Ronald Ross）做的一个题为“灭蚊卫生政策的逻辑基础”的有趣演讲。罗斯的模型很简单，假设一只蚊子出生在给定的点，并且在它的生命中每一天可以选择向东南西北，各百分之二十五的概率，最后它死的距离会离出生点多远？只要计算出这个圆圈的大小，排干的水池的圆圈足够大，蚊子就会被消灭。罗斯的数学功底并没有办法解决这个二维模型，而是解决了简化版的一维模型。1905 年7月皮尔逊在《自然》杂志中提出并解决了罗斯的二维灭蚊问题。

罗斯的演讲其实并不成功，因为他的演讲对象是数百名医生，他们完全听不懂罗斯想要把数学建模引入医学讨论的想法。但谁能想到，这篇关于灭蚊政策的演讲，开启了随机游走理论，而这个理论在二十世纪启发了理论物理、金融衍生品定价模型、搜索算法, 甚至如今最火爆的ChatGPT都与之有密切关系。

同年爱因斯坦在《物理学年鉴》发表了关于布朗运动的论文，一举成名。布朗运动是用来刻画漂浮在液体中的小颗粒的运动，是1827年罗伯特·布朗在显微镜下研究花粉颗粒首先注意到这个现象。开始他以为这是生命体的特有现象，但在进一步试验后，他发现窗户上的玻璃屑、粉末锰、铋和砷、石棉纤维也都存在类似现象。爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。布朗运动的发现、实验研究和理论分析对于理论物理具有划时代意义，而其数学建模和之前提到的灭蚊模型有着非常大的关联。

在二十世纪随机过程理论轰轰烈烈的发展中，最有名的莫过于安德烈·马尔科夫（Andrey Markov）。马尔科夫是一位俄罗斯数学家，他在概率论和随机过程领域做出了重要贡献。他也是个怪异的数学家，只关心概率纯理论，对实际运用漠不关心。得知其他数学家把随机游走方面的理论运用到股票市场，马尔科夫不以为然，认为此类工作在数学领域并无太多价值。这种纯数学家对于运用数学家和统计学家的鄙视链条，在今日的数学界仍可找到踪影。

马尔科夫对数学最大的贡献莫过于以他名字命名的马尔科夫链（Markov Chain）。二十世纪初，马尔科夫采用该链来分析俄罗斯诗人普希金的著名诗作《叶甫盖尼·奥涅金》中的字母。他将俄语字母的排列视为一个随机过程，并计算了一个马尔科夫链模型。通过这个模型，马尔科夫成功地揭示了《叶甫盖尼·奥涅金》中字母出现的概率规律。在前两万个字母中，他发现如果当前字母是辅音，下一个是元音的概率是百分之六十六点三，而如果当前的字母是元音，下一个是辅音的概率是百分之八十七点二；他还对谢尔盖·阿克萨科夫（Sergey Aksakov）的小说做了同样的研究，发现如果当前字母是辅音，下一个是元音的概率是百分之三十六点五，而如果当前字母是元音，下一个是辅音的概率是百分之四十四点八。也就是说通过统计这个数据，可以大致辨别出一篇文字的出处更有可能是普希金还是阿克萨科夫。这个有趣的运用蕴含了未来谷歌搜索算法和ChatGPT的关键思想。

谷歌搜索算法的本质是通过马尔科夫链，根据之前的状态，预测下一个可能的状态。马尔科夫链和谷歌搜索的关系体现在谷歌搜索算法中的一个重要组成部分——PageRank算法。PageRank算法运用马尔科夫链的思想来模拟网页之间的链接关系。在PageRank模型中，每个网页被视为一个状态，而网页之间的链接被视为状态转移的可能性。因此，当用户在浏览网页时，他们从一个网页跳转到另一个网页的行为可以看作是一个马尔科夫链过程。PageRank算法计算每个网页的概率分布，这个概率分布可以理解为网页的重要性得分。最终，搜索引擎会根据这个得分对搜索结果进行排序。

而ChatGPT是一个基于GPT架构的大型语言模型，它可以进行自然语言生成、理解和对话等任务。ChatGPT利用了类似马尔科夫链的方法，即根据之前的文本，预测下一个可能的文本，并不断重复这个过程，从而生成连贯的对话或文章。具体来说，ChatGPT使用的是“自回归模型”（Autoregressive Model），它将文本序列看作一个时间序列，当前的文本生成依赖之前的文本，每个文本片段的生成都是基于之前所有文本的概率分布。这种模型可以看作是一种马尔科夫链模型，基于当前状态的概率分布预测下一个状态的概率分布。马尔科夫链在深度学习和神经网络中起到了非常关键的作用。

几何与政治家：林肯化圆为方

几何与历史上一些知名的政治家也颇有渊源。林肯可能是历任美国总统里对几何最感兴趣的一位。他将几何学的概念和原理应用到政治和法律问题中，从而获得更深刻的理解和更好的解决方案。林肯的几何学思维方式不仅在律师生涯中得到了体现，也对他的整个政治生涯产生了深远的影响。

林肯在人生艰难时期把欧几里得的《几何原本》当作慰藉的源泉，是个十足的几何控，他的几何学基础知识是在早年测量员工作中学到的。1850年代，林肯在众议院任职一届后卸任，眼看政治生涯似乎就要到头了，他接下来的计划是当一名普通律师。他的律所合伙人威廉·赫恩登（William Herndon）以前是他的室友，赫恩登回忆往事说自己早已呼呼大睡，而林肯沉浸在欧几里得的《几何原本》中，点着蜡烛废寝忘食。某日清晨，熬了一个晚上的林肯告诉赫恩登他一直在努力解决一个著名的化圆为方问题。他试图构建一个与给定圆具有相同面积的正方形，但限制条件是只能使用直尺和圆规这两种工具。在古希腊，当某人使任务变得比必要的更难时，标准的愤怒评论是说：“我不是要你把圆圈弄方。”英语中的square the circle, 中文的化圆为方，表达的都是类似的意思。这个难题在古代一直没有被解决，且直到十九世纪才被证明不可能通过尺规完成（尺规画不出根号π）。

林肯在其政治生涯中多次使用了化圆为方的比喻来解释政治难题。他认为，有些人提出了一些看似美好的政治理念，但实际上是不可能实现的，就像化圆为方一样。例如，林肯在一次著名演讲中谈到了废除奴隶制的问题。他说：“废除奴隶制并不是化圆为方，废除奴隶制是我们必须完成的任务。”他还在一封信中用化圆为方的比喻来讨论解决联邦政府和州政府之间的权力分配问题：“我们不能期望找到一个完美的解决方案，因为这是化圆为方，但我们可以努力找到一个更好的方案，一个更符合我们的国家利益和宪法原则的方案。”

林肯通过几何学的思维方式，不断挑战法律和政治问题，并用几何学的逻辑和推理来解决这些问题。他曾说：“我们正在进行一场测试，测试我们是否能够建立一个基于自由的政府，一个可以对抗各种挑战和威胁的政府。我们必须保持信念和原则，就像在几何学中，要根据公正的原则去推导正确的结论一样。”林肯还经常使用几何学的概念来解释法律问题。在一份辩护词中，他使用了几何学中的“反证法”：先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。

林肯使用几何学计算他家和最近的邮局之间的距离。在那个时代，测量距离的方法非常有限，而林肯熟悉几何学的原理和技术，使用了几何学中的三角函数和三角比例来计算这个距离。林肯还使用几何学设计了一种更有效的种植作物的方式。他观察到传统的种植方法会导致农田的土壤逐渐丧失肥力，于是他将农田分成了一系列大小相等的正方形，每个正方形都种植不同的作物，这种方式使得每种作物都能够得到充分的阳光和土壤营养。此外，林肯还在正方形田地之间留下了一些小的三角形田地，这些小田地可以用来种植牧草和其他一些需要更少的土地的作物。这种方法被称为“林肯田地”或“林肯花园”，主要依赖于作物轮作和多样化种植，以提高作物产量和保持土壤肥力，实现种植效益的最大化。通过轮作可以有效减少土壤中病原体和害虫的数量，从而降低病虫害的发生率。通过种植不同类型的作物，可以使土壤中的营养成分得到更好的循环利用。

在林肯最著名的《葛底斯堡演说》里最为人熟悉的“主张”（proposition）是欧几里得使用的术语——其含义是通过一系列公理和逻辑推导得出的事实和无法否认的论断。

林肯的《葛底斯堡演说》不仅在美国家喻户晓，在全世界都很受欢迎。据说这篇演讲江泽民主席可以用英文倒背如流。工程师出身的江泽民主席对数学尤其是几何也十分热爱，他曾在访问濠江中学时当场给学生出了一道五点共圆的几何题：“假设：任意一个五角星形的五个三角形外接圆交于五点。求证：这五点共圆。”这是一个经典的欧几里得几何问题，证明需要不错的平面几何基本功。

几何与诗歌：华兹华斯的《序曲》

几何与诗歌之间存在着深刻而复杂的关系。首先，几何学和诗歌都需要创造性的思维和想象力。几何学家需要从空间中找到规律、规则和对称性，同样，诗人需要从语言中找到节奏、韵律和隐喻等。此外，几何学和诗歌也在某种程度上有着相似的结构和形式。几何学的构成要素通常是线、面和体，这些要素之间的关系可以用数学符号和公式来描述。而诗歌的构成要素通常是节奏、韵律和意象等，这些要素之间的关系可以通过语言和形式来描述。最后，几何学和诗歌都涉及一种探索和表达世界的方式。几何学家通过研究形状和空间，试图了解自然界的规律和结构。而诗人则通过语言和形式，试图表达人类对世界的情感和思考。

几何与诗人有千丝万缕的联系。威廉·华兹华斯在长篇自传体诗歌《序曲》（The Prelude）中讲述了一个令人难以置信的故事：一名海难受害者被抛到一个无人居住的岛屿上，身边除了一本欧几里得的《几何原本》一无所有。尽管他又饿又沮丧，仍用一根棍子在沙上画出图表，最后通过《几何原本》里一个接一个证明来排遣寂寞安慰自己。这故事并不是空穴来风，据说有原型。《序曲》还有个故事。华兹华斯在一个寒冷的冬天来到意大利，看到一块石板上刻有一些字母和几何图形。他突然感觉自己的思想被解放，可以超越时间和空间的限制，进入更高层次的思考。华兹华斯对于数学的喜爱据说部分来自好友、爱尔兰数学家威廉·汉密尔顿（William Hamilton）。汉密尔顿在 1827 年遇到华兹华斯时才二十二岁，已被任命为都柏林大学教授和爱尔兰皇家天文学家，华兹华斯五十七岁。汉密尔顿开始将自己的诗寄给华兹华斯，然而华兹华斯委婉地劝说汉密尔顿不要浪费太多精力在诗歌上。

神书《几何原本》

另一个著名例子是波斯诗人奥马开阳（Omar Khayyam），他还是一位数学家和天文学家。他的传世名作《鲁拜集》探讨了生命的意义、爱情和时间的流逝等主题。奥马开阳的许多诗歌也包含了对数学的引用，包括无限、几何和代数等概念。其中一首写道：天地为球，人心多欲，球之中心无所不在，而其周围则无所依托。（The world is a sphere, the desires of men are various and different, and the center of the sphere is everywhere, but its circumference is nowhere.）

不过诗人也有吐槽数学几何的例子。比如济慈曾经吐槽牛顿，说他通过展示棱镜表现出的光学效果，剥夺了彩虹的所有浪漫色彩。美国现代派诗人E. E. 卡明斯在一首诗中写过：“几何解释不了为什么一个人不可能同时在两个不同的地方。”

在某种程度上，几何学被认为是宇宙秩序、和谐和美的表现，而这些特性通常与神性或上帝联系在一起。在柏拉图哲学中，几何学被认为是理性思考的基础，揭示了宇宙的永恒真理。柏拉图的理念论主张，理念（如圆形、三角形等）存在于一种永恒、不变的超越现实之中，这种现实通常与神性相关联。因此，在柏拉图哲学中，几何学是对神圣秩序的研究。基督教神学中的某些观点也将几何学与神性联系起来。例如，在《圣经》的创世纪中，上帝被描绘成通过有序的创造行为创造了宇宙。几何学的规律和原则通常被认为反映了上帝的智慧和创造力。因此，研究几何学被认为是了解上帝思维方式的一种途径。另一方面，在伊斯兰哲学和艺术中，几何图案被认为是表达神圣无限性的一种方式。因为伊斯兰教禁止刻画具象的真主，所以几何图案成为了装饰清真寺和其他宗教建筑的重要元素。这些复杂的几何图案被认为代表了宇宙的无限复杂性，而这种复杂性归功于真主安拉的无限智慧和创造力。

本书还讨论了一系列有趣的问题：一根吸管到底有几个洞？数字货币交易中的公钥和私钥是怎么生成的？新冠病毒的传播如何建模？自然界中随处可见的黄金分割给我们怎样的启示？统计学何时会骗人？选举中的“黑魔法”是什么？人工智能是如何战胜国际象棋冠军的？这些有趣的问题背后都蕴含着深刻的几何原理，让人不得不惊叹大自然的神奇和几何的美妙。