理解自然律，数学为何能发挥作用

【编者按】

宇宙的运行由自然法则和基本的物理常数统治着，它们决定了宇宙的起源、形状、规模和命运。这些自然法则和常数从何而来?为什么宇宙的奇妙与复杂可以使用如此简练、优雅的数学语言来表达?

英国著名化学家和科普作家、《伽利略的手指》作者彼得·阿特金斯在《变个宇宙出来：自然法则的起源》（苏湛 译，商务印书馆2023年3月版）一书中，通俗幽默地解释了在一无所有（nothing）中，在无为(indolence)的驱使和无规则(anarchy)的支配下，宇宙漫无目的地演化出了今天我们所知道的全部复杂精巧的自然律。本文摘自第九章“来自深层的呐喊：数学为何能发挥作用”。

《变个宇宙出来：自然法则的起源》书封

很多自然律都可以用数学形式表达，包括那些内容原本和数学没什么关系的定律（例如被总结出来描述自然选择造成的演化的定律，不管这些定律最后会长成什么样），在用数学重新诠释后，都会获得更大的威力。

最早考虑这个问题的科学家之一是颇具影响力的匈牙利数学家尤金·维格纳（Eugene Wigner或匈牙利语Wigner Jen? Pál，1902—1995），他在1959年的一场题为“数学在自然科学中不可理喻的有效性”的讲座中提出了这个问题。他以一种也许非常明智的谨小慎微的态度给出了如下结论：数学不可理喻的有效性是一个谜，这个谜过于深奥，是不可能通过人类的反思获得解决的。其他一些人进一步增强了这种普遍的绝望感，他们认为在目前的各种未解之谜中，这一个很可能会一直持续下去。

而另一种观点，相对于维格纳谨慎的悲观主义，另一种更加积极的看法认为，数学的有效性并非不可理喻，它不是在制造困惑，而是为探索宇宙的深层结构提供了一扇重要的窗户。数学可能是宇宙在努力使用我们共同的语言对我们说话。在本章的论述中，我会试着消除这种说法看似可能会——我但愿不会——染上的神秘主义色彩。自然律存在数学版本，这一事实也许指向一个关于组成现实世界的深层结构可能是什么的严肃问题，并让我们期待获得一个能带来丰厚回报的答案。也许它指向的是那个最深刻的问题，也是古往今来所有问题中最令人困惑和最引人入胜的问题：存在着的东西是怎样开始存在的。

可定量的世界

不可否认，数学是一种格外有效和成功的与宇宙对话的语言。从最实用主义的层面说，我们可以用概括物理定律的方程预言出物理过程的数值结果，就像从摆长预言出单摆的周期那样。看看天文学家预言行星轨道、日食发生率，以及超级月亮——也就是在月球接近近地点的时候出现满月的现象——出现的惊人能力吧。然后，从表述为数学形式的定律中还会突现出意想不到的推论，并被观测验证。这些例子中最著名的莫过于有人听完爱因斯坦广义相对论——他的引力理论——的内容，就预言了黑洞。还有一种说法，当然是讽刺性的，说的是如果一个实验观测无法被一个写成数学形式的理论所支持，它就不能被接受。世界经济在追求把自然律写成数学形式的风气影响下潮起潮落。各国工业产出中比例非常大的一部分现已归功于对量子力学及其数学形式的执行。

当然，在我们对宇宙的理解以及对它的物理化诠释中，有一些方面尚未被表示为数学形式。就在本书开始的部分以及刚刚顺带提到的几句话中，我把注意力投向了宇宙中影响最深远的理论之一，即用来解释演化现象的自然选择理论。从它并没有被表示成公式形式的意义上说，这一理论就其内在本质而言并不是数学性的，但它却仍然拥有巨大的效力，也许在宇宙中的不管什么地方，只要那里存在可以被认为是“生命”的东西，这项理论就能够适用。甚至不仅仅是新物种的突现，它还可以适用于整个新宇宙的突现。我们可以把这一理论表述为一种自然律，比如，赫伯特·斯宾塞的“适者生存”就是一种粗糙但不失犀利的近似。不过，一旦我们对这种理论做一点儿数学上的演绎，比如构建生物数量的动力学模型，就像我很快会再次提到的，这项理论的定性版本就会立刻获得深不可测的、定量化的丰富内涵——我这样说的意思是，它将能够做出定量化的预言。

数学

生物学，就其整体而言，也许是数学博览会中一个不那么显眼的区域。直到1953年以前，这一人类知识分支在很大程度上还不过就是在大自然中走走看看而已，而就在1953年，沃森和克里克确定了DNA的结构，从而几乎一下把生物学变成了化学的一部分，也因此使它成为了物理科学的一员，并赋予了它这一身份所蕴含的全部威力。话虽如此，除了（回到DNA）包括编码定律在内的各种遗传定律以外，很难指出有什么具体的数学生物学定律。不过，要说明数学在生物学中的直接作用，倒是有好几个不同方面的候选案例。这些案例包括对有机会捕到猎物的捕食者数量的分析，以及在某种意义上与之相类似的设计捕鱼策略和采收策略的工作。还有各种各样的周期性现象，这也是生物体所典型具有的，回过头来审视一下我们自己，呼吸、心跳以及更慢一些的24小时生理周期，都会证实这一点，此类周期性振荡都可以用数学描述。同样地，各种数值差波动，比如一场流行病中感染者与未感染者人数差的波动，各种电位差波动——就像我们思考和行动时信号沿神经传递过程中出现的那种，还有鱼在横向袭来的波浪中为推动自己在水中前进而自动（甚至在头被砍掉以后）弯曲身体时产生的肌肉活动的波动，也是一种广泛存在于生物学各个方面，可以用数学来处理的研究对象。

超逸绝伦然而却悲剧性地倒在流言蜚语中的天才艾伦·图 灵（Alan Turing，1911—1954）， 也许是第一个给据传丑得难以置信的伊索（可能生活于公元前629—公元前565年，如果他真的存在过的话）讲述的美丽寓言拆台的人，他展示了如何用数学方法处理化学物质在各种形状——例如像豹子那样的形状——容器中扩散的扩散波，这一工作解释了动物毛皮上的图样是如何形成的，包括豹子的斑点、斑马的斑纹、长颈鹿的斑块以及蝴蝶翅膀上错综复杂的美丽纹理。就连大象的长鼻子也是通过化学物质按照各种方程及其解所表示的数学定律在整个大象早期胚胎中产生的扩散波而形成的。

社会学出现于18世纪晚期，是一种适用于人类群体研究的生物学的细化分支，尽管其时常用老鼠来建模。埃马纽埃尔-约瑟夫· 西哀士（Emmanuel-Joseph Sieyès，1748—1836）于1780年首创了这个词，不过直到19世纪晚期，这门学科才取得一些成果，并且直到20世纪，人们可以在计算机上用数值法来研究结构复杂的统计模型以后，才获得了其数学结构。尽管推动学科发展的早期动力是识别关于人类行为的定律，但这门学科所取得的最主要成就却是发展了用来分析——有时也用来预测——大量个体组成的群体的最可能行为或平均行为的统计方法。这种统计建模工作对于有效地运行和管理社会至关重要，但是除了统计学本身内在具有的定律（例如随机变量的钟形分布）以外，并没有任何基本定律从这些模型中突现出来，尽管人们非常渴望找到它们。

神学——研究在本性上就难以捉摸、不可理解的神灵的学问，搜寻柴郡猫神秘笑容工作的学术版本——倒是不需要数学。当然那些由高速运转的大脑创造的其他积极得多的东西，比如诗歌、艺术和文学，也不需要——尽管这些杰作引人入胜，有时是骇人听闻的幻想，为凡尘俗世增添了很多色彩。不过统计学是个例外，因为它能够帮助我们把马洛的作品从莎士比亚作品中区分出来。而音乐也许正好骑在边界线上，以它为切入点，我们或许可以进入一种美学科学，通过对和弦以及音符序列进行检验——有些观点认为它们与脑中可能存在的共振回路有关——或许能够证明，数学洞见在这种科学中的价值是不可估量的。

我现在得收缩一下这个解释的范围。尽管上面列举了这么多数学的各种不同应用，但就其本身而言，它们并不是定律。除了统计学追求的对数据的数值分析以外，以上每个案例（我想）的数学部分都包含有对某种模型的分析。这并不是自然界基本定律的内容，而是由一些隐藏在背后的基本物理定律以非常复杂的方式组合而成的表达式。它们甚至都算不上外在定律(outlaws)，而只是利用一大堆组织起来的外在定律去执行一项具体的工作。

理解混沌与自由意志

从最简单和最明显的层面来看，数学之所以管用，是因为它提供了一种冷冰冰的、高度理性化的方法，来把一个方程的推论一一呈现出来，而这个方程实际上代表了一则用符号形式表达的定律。实际上，想从一个非数学陈述，如“适者生存”中，做出可信赖的预言，是不可能的，我们更不可能预言出若干元素最初的组合会导致在适当的时候演化出大象。相比之下，我们却可以从一个数学陈述中得到可信赖的预言，例如从如胡克定律“回复力正比于位移”中：我们可以根据摆长准确预言出单摆的周期。

我听见你喊“混沌”。确实如此，某些系统的演化过程从表面上看是不可预测的，但在诠释这种不可预测性的时候却必须要谨慎。关于表现出混沌运动的系统，一个比较简单的例子是“双摆”，即在一个单摆的底部挂上另一个单摆，两个摆都按照胡克定律摆动。在这个例子中，这两个摆的运动方程都可以被解出来，并且只要确切知道两个摆被回拉时的初始角度，那么它们在未来任何时间的角度也就都能得到确切预言了。这里关键的一句话是“只要确切知道两个摆被回拉时的初始角度”，因为即使起始角度只存在一丁点儿无穷小的不精确，在后续运行中也会造成非常不一样的结果。混沌系统并不是一个在运行上无规则的系统：它是一个对起始条件高度敏感的系统，由此使得，对一切实践上的目的而言，它的后续运行状况是不可预测的。如果我们对初始位置有完全的了解（在不存在外部干扰作用，如摩擦和空气阻力的情况下），我们就能够得到完全可预测的运行方式。

这种固有的预言与观测无法在实践上匹配的特性，所造成的后果之一就是使科学中所谓实验可验证性的意义发生了转变。长期以来，人们一直认为，将预言与观测进行比较，并以失败为启发修正理论，这一程序是科学方法的柱石之一。但是现在我们看到，可靠的预言并不总是可能的，那么这块柱石是否已被侵蚀了呢？一点儿都没有。用模型模拟混沌现象的“全局”预测可以通过在不同起始条件下对系统进行测试而得到验证，而且说真的，“混沌”本身就具有某些可预测的特性，这些特性也都可以进行验证。我们不需要预言和验证双摆的精确轨迹就可以宣称，我们已经理解了这个系统，并验证了它的运行方式。自然律，就这个案例而言是一系列外部定律，即便在这个不可定量预测的系统中，也将得到验证。

人脑是由一系列比双摆这种力学上的琐碎问题复杂得多的过程串联起来的，因此几乎并不令人惊讶地，它的输出——一个动作或一个观点，甚至是一件艺术作品——无法并且很可能永远不会变成可以根据一个给定的输入——比如看一眼什么东西，或者听见一个从耳边飘过的短语——预测的。神学家将这种不可预测性称为“自由意志”。正如对双摆一样，只不过是在一个复杂得多的规模上，我们可以，就大脑中运行的各种过程的网络而言，宣称我们理解大脑是如何工作的——无论这个大脑是人工的还是天然的，即便我们从未能预言出它可能表达过的观点、写过的诗，或者发起过的大屠杀。因此从某种意义上说，“自由意志”的存在其实证实了我们理解大脑如何工作，正如混沌的存在证实了我们理解双摆如何工作。虽然这样希望可能有点儿过于贪心，但是就像对于简单系统而言，其混沌模式是可预测的一样，也许有一天，自由意志的模式也会被发现。也许，通过精神病学，它们已经被发现了，只是还没有以规范的形式被精确表述出来而已。