第二节 割圆术和圆周率

　　中国在两汉之前，一般采用的圆周率是“周三径一”，即π=3。这个数值与文化发达较早的其他国家所用的圆周率相同。但是，这个数值误差很大，后来的数学家不断努力去探求更精确的结果。据公元1世纪初制造的新莽嘉量斛（一种圆柱形标准量器）推算，其

　　

　　

　　

　　

　　

　　其中最突出的是魏晋之际的杰出数学家刘徽。刘徽生活在魏晋时期，生平不详，曾作《九章算术注》九卷，另撰《重差》一卷附于《九章》之后，两者并为十卷。唐初以后《重差》另本单行，被称为《海岛算经》。此外，他还撰有《九章重差图》一卷，已失传。刘徽是中国传统数学理论的奠基者和代表人物，他的主要贡献之一是在《九章算术注》中创造了“割圆术”，为圆周率研究工作奠定了理论基础和提供了科学的算法。刘徽割圆术的基本思想是用圆内接正多边形的周长和面积逼近圆周长和圆面积。逼近的最终结果，正如他所指出的“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”①，即极限情形是两者完全重合。刘徽从圆内接正六边形算起，一直到求出圆内接正96边形边长和正192边形的面

　　

　　

　　=3.1416。这两个结果是比较好的，现在还经常使用，其计算程序也比古希腊数学家阿基米德的类似方法简便得多。继刘徽之后，南北朝时祖冲之把圆周率推算到更加精确的程度。祖冲之是我国历史上最杰出的数学家、天文学家和机械发明家，本编别有传。祖冲之著有《缀术》、《九章算术注》、《大明历》、《驳戴法兴奏章》、《安边论》、《易老庄义》、《论语孝经释》、《述异记》等，《隋书·经籍志》还载有《长水校尉祖冲之集》51卷，但大部分已失传。他的数学专著《缀术》，唐代收入《十部算经》，立于学官，要学习四年，并曾传到朝鲜、日本，但也已失传。关于圆周率问题，据《隋书·律历志》记载，祖冲之求出π的不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，并确定π的真值在这两个近似值之间，即3.1415926＜π＜3.1415927，精确到小数七位。这是当时世界上最先进的成果，直到约一千年后才为15世纪中亚数学家阿尔·卡西和16世纪法国数学家韦达所超过。至于他得到这两个数值的方法，一般认为是基于刘徽割

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　是如何得到的，有调日法术，连分数法，解同余式或不定方程，割圆术等多

　　

　　

　　托和荷兰工程师安托尼兹分别得到的，并通称为“安托尼兹率”。但这已是祖冲之以后一千多年的事情了。为了纪念祖冲之在科学

　　

　　

　　发现的一颗小行星命名为“祖冲之星”，莫斯科大学里刻有祖冲之的雕像，在月球背面也已有了以祖冲之的名字命名的环形山。

　　

　　①《九章算术》方田章圆田术刘徽注，见钱宝琮校点本《算经十书》（上册），中华书局，1963年版。