第五节 解线性方程组和解二次、三次方程

　　《九章算术》方程章方程术，是关于线性方程组解法的重要成就。这种方法是用直除法消元，直到每行只剩下一个未知数，即可求得方程的解。但是这种方法比较繁琐，刘徽认为“举率以相减，不害余数之课”①，于是创立新术，采取相应各行系数互乘后再消元的方法。刘徽的互乘相消法已和现在所用的线性方程组解法基本上一致。

　　在中国古代，把开各次方和解二次以上的方程，统称为“开方”。《九章算术》中已经给出了完整的开平方法和开立方法，而正系数二次和三次方程的解法，就是在开平方和开立方法的基础上自然引伸出来的。魏晋南北朝时期，解二次和三次方程又有了新的进展。如赵爽在《勾股圆方图注》中推

　　

　　

　　

　　《隋书·律历志》在叙述祖冲之圆周率后，又说“又设开差幂，开差立，兼以正负参之，指要精密，算氏之最者也”②，据考证，这可能是指开带从平方和开带从立方法，即解一般二次方程和三次方程，也就是容许方程中有负数项。在当时，解决这类问题是比较困难的，所以说“指要精密，算氏之最者也”。

　　

　　①《九章算术》方程章，见钱宝琮校点本《算经十书》（上册），中华书局，1963年版。

　　②据钱宝琮主编《中国数学史》第89—90页，科学出版社1964年版。