第七节 刘徽的极限思想

　　刘徽为证明《九章算术》中的各种公式，提出了“析理以辞，解体用图”的要求，并创立了对许多问题行之有效的图验法和棋验法。但是有些问题并非仅仅用棋用图就可以解决的，而是需要具备相当清楚的极限思想。

　　在先秦诸子的著作中就已有了极限思想的萌芽，如名家就提出过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。但先秦诸子的这类思想大多带有思辨性质，而刘徽则把极限思想和极限概念运用于解决实际的数学问题，这是极为重要的。刘徽创立割圆术，用圆内接正多边形面积逼近圆面积，用圆内接正多边形周长逼近圆周长，解决了推求圆周率精确值问题，是他应用极限思想的成功事例。他对阳马术（四棱锥体积公式）的证明也是很精彩的。这个问题虽然相当困难，但刘徽运用极限方法完满地证明了阳马（四棱锥）与鳖臑（三棱锥，亦即四面体）的体积之比为2∶1，从而由堑堵（楔形）体积公式推导出阳马体积的正确公式。他处理弧田术（弓形面积公式）的作法，开方不尽时求微数的思想，以及对两立体截面积与体积关系的认识，无不与极限和无穷小分割的思想紧密地联系在一起。这些思想具有深刻的数学内涵，并且是解析几何、微积分等现代数学方法的基础。刘徽在那样早的时代就产生了这些思想并用于解决实际问题，确实是非常不简单的和难能可贵的。