第四节 弧矢割圆术和球面三角法

　　古希腊、印度和阿拉伯国家的数学家和天文学家从很早的时候起就创用了球面三角法，用来解决天文学方面的计算问题。隋唐之际，印度天文学开始传入我国，如《开元占经》所收《九执历》中曾介绍过印度的正弦表，但球面三角法基本上没有引起中国数学家和天文学家的重视。

　　沈括在《梦溪笔谈》中首创“会圆术”，把割圆术方法应用于推算弧、弦、矢的关系，提出了一个由弓形中弦和矢的长度来求

　　

　　

　　

　　应弦长，v为相应矢长，d为圆的直径。王恂、郭守敬在《授时历》中，根据相似三角形相应各线段成比例的关系，并反复应用沈括“会圆术”，创立了一种推算“赤道积度”和“赤道内外度”（即已知太阳的黄经度数求其赤经度数和赤纬度数）的新算法。这种新算法常被称为“弧矢割圆术”，它与球面三角学中求解球面直角三角形的方法是类同的。在推算过程中，他们还得到了一些新的关系式。这些关系式相当于下列的球面三角公式：sinα=sincsinα

　　

　　

　　其中c为黄经，b为赤经，a为赤纬，α为黄赤交角。由于当时用于天文计算的中国传统代数学方法并不逊色，并且会圆术公式误差很大，采用圆周率π=3入算，误差也很大，所得结果并不精确，所以王恂、郭守敬虽然开辟了通向球面三角学的途径，但他们所引入的新方法并没有能够发展起来。一直到十七世纪进行历法改革时由《崇祯历书》等引进西方数学之后，球面三角法才在天文计算等方面得到了广泛的应用。