第四节 授时历
据《元史》记载，大都天文台上有郭守敬制作的仪器十三件。据说，为了对它们加以说明，郭守敬奏进仪表式样时，从上早朝讲起，直讲到下午，忽必烈一直仔细倾听而没有丝毫倦意。这个记载反映出郭守敬讲解生动，也反映出元世祖的重视和关心。接着郭守敬又举唐一行为编大衍历作全国天文测量为例，提出今为编授时历也应作此工作，他说“唐一行开元间令天下测量，书中见者凡十三处。今疆域比唐尤大”，应更多设观测点于“远方测验”（《元史·天文志·四海测验》）。
元代四海测验不少于二十七个观测点，至今犹存的观测站之一在古人认为是“地中”的阳城，此即今河南登封测景台（“景”字古代同“影”），又称元代观星台。登封测景台不只是一个观测站，同时也是一个固定的高表。表顶端就是高台上的横梁，距地面垂直距离四十尺。高台北面正南北横卧着石砌的圭，石圭俗称“量天尺”，长达一百二十尺。与通常使用的八尺高表比较，新的表高为原来表高的五倍，减小了测量的相对误差。郭守敬敢于在各观测站都使用四丈高表而不怕表高导致的端影模糊，是因为他配合使用了景符，通过景符上的小孔，将表顶端的像清晰地呈现在圭面上。明嘉靖七年（1528）陈宣所撰《周公祠堂记》有“观星台，甚高且宽，旧有挈壶漏刻以符日景，而求中之法尽矣。”以一台遗迹而想郭守敬当年四海测验之全貌，可知这次测量对授时历的编算贡献很大。据今人研究，仿郭守敬测量太阳高度的误差仅有1/3角分，这比其后三百年欧洲最精密的天文观测还要精确，它们为授时历提供了高精度的原始测量数据。
至元十三年（1276）元世祖诏命改治新历，经过许衡、王恂、郭守敬等人四年的努力，于至元十七年完成，元世祖赐名《授时历》。王恂是以算术闻名于当时的，元世祖命他负责治历。他谦称自己只知历数，可负责推算，但负责人要找一个深通历理的人，于是他推荐了许衡。许衡是当时大儒，于易学尤精，接受任命以后十分同意郭守敬“历之本在于测验”的看法，支持制造仪器进行实测。至元十八年（1281），《授时历》颁行天下，许衡于同年病卒，王恂已于前一年去世，这时有关授时历的计算方法、计算用表等尚未定稿，郭守敬又挑起整理著述最后定稿的重担，成为参与编历全过程的功臣。
《授时历》是中国古代创制的最精密的历法。据《元史·历志》载，郭守敬在授时历中考证了七项天文数据：（1）至元十三年到至元十七年的冬至时刻。
（2）回归年长度及岁差常数。如关于回归年长度的确定，他收集了从大明六年（462）到至元十五年（1278）间八百一十九年的冬至时刻，又从中选出六个较准确的数据，求得一回归年长为365.2425日。此值与现行公历（格雷戈里历）值相同，但在时间上要早三百多年。
（3）冬至日太阳的位置。
（4）月亮过近地点的时刻。
（5）冬至前月亮过升交点的时刻。
（6）二十八宿的赤道坐标。
（7）元大都日出日没时刻及昼夜时间长短。
此外他又计算出五项新的数据：（1）太阳在黄道上不均匀的运行速度。
（2）月亮在白道上不均匀的运行速度。
（3）由太阳的黄道积度计算太阳的赤道积度。
（4）由太阳的黄道积度计算太阳的去极度。
（5）白道与赤道交点的位置。
《授时历》采用的天文数据是相当精确的。如郭守敬等重新测定的黄赤大距（黄赤交角）为古度23.9030度，约折合今度 23°33′34″，与理论推算值的误差仅为1′36″。法国著名数学家和天文学家拉普拉斯在论述黄赤交角逐渐变小的理论时，曾引用郭守敬的测定值，并给予其高度评价。
在数学方面，《授时历》的推算中使用了郭守敬创立的新数学方法。如“招差法”是利用累次积差求太阳、月亮运行速度的，这种计算方法原则上与1670年牛顿创立的内插法是一样的。又如“弧矢割圆法”是用来计算积度的（所谓积度可看成黄经或赤经的余弧），类似球面三角方法求弧长的算法。不仅如此，他废弃了用分数表示非整数的作法，而采用百进位制来表示小数部分，从而提高了数值计算的精度。他不再花费很大的力气去计算上元积年，直接采用至元十八年冬至为历法的历元，表现了开创新路的革新精神。
在恒星观测方面，郭守敬等不仅将二十八宿距星的观测精度提高到一个新的水平，而且对二十八宿中的杂坐诸星，以及前人未命名的无名星进行了一系列观测，并且编制了星表。如在《元史·历志·授时历议》中载有周天列宿度，是至元十七年到至元二十三年间二十八宿距星的距度测量值。据潘鼐在《中国恒星观测史》中的研究，元代二十八宿的测量误差很小，其中房、虚、室、娄、张五宿的测量误差小于1′，大于10′的仅胃宿一宿，实在是高水平的测量，也是元代天文仪器精密的客观记录。除《元史》中的二十八宿数据外，郭守敬还著有《新测二十八舍杂坐诸星入宿去极》一卷和《新测无名诸星》一卷，惜已失佚。清代梅文鼎说曾见过民间遗本，现在许多学者认为北京图书馆藏明钞本《天文汇钞》中的《三垣列舍入宿去极集》一卷，就是抄自郭守敬恒星图表的钞本，甚为珍贵。
据《元史》记载，大都天文台上有郭守敬制作的仪器十三件。据说，为了对它们加以说明，郭守敬奏进仪表式样时，从上早朝讲起，直讲到下午，忽必烈一直仔细倾听而没有丝毫倦意。这个记载反映出郭守敬讲解生动，也反映出元世祖的重视和关心。接着郭守敬又举唐一行为编大衍历作全国天文测量为例，提出今为编授时历也应作此工作，他说“唐一行开元间令天下测量，书中见者凡十三处。今疆域比唐尤大”，应更多设观测点于“远方测验”（《元史·天文志·四海测验》）。
元代四海测验不少于二十七个观测点，至今犹存的观测站之一在古人认为是“地中”的阳城，此即今河南登封测景台（“景”字古代同“影”），又称元代观星台。登封测景台不只是一个观测站，同时也是一个固定的高表。表顶端就是高台上的横梁，距地面垂直距离四十尺。高台北面正南北横卧着石砌的圭，石圭俗称“量天尺”，长达一百二十尺。与通常使用的八尺高表比较，新的表高为原来表高的五倍，减小了测量的相对误差。郭守敬敢于在各观测站都使用四丈高表而不怕表高导致的端影模糊，是因为他配合使用了景符，通过景符上的小孔，将表顶端的像清晰地呈现在圭面上。明嘉靖七年（1528）陈宣所撰《周公祠堂记》有“观星台，甚高且宽，旧有挈壶漏刻以符日景，而求中之法尽矣。”以一台遗迹而想郭守敬当年四海测验之全貌，可知这次测量对授时历的编算贡献很大。据今人研究，仿郭守敬测量太阳高度的误差仅有1/3角分，这比其后三百年欧洲最精密的天文观测还要精确，它们为授时历提供了高精度的原始测量数据。
至元十三年（1276）元世祖诏命改治新历，经过许衡、王恂、郭守敬等人四年的努力，于至元十七年完成，元世祖赐名《授时历》。王恂是以算术闻名于当时的，元世祖命他负责治历。他谦称自己只知历数，可负责推算，但负责人要找一个深通历理的人，于是他推荐了许衡。许衡是当时大儒，于易学尤精，接受任命以后十分同意郭守敬“历之本在于测验”的看法，支持制造仪器进行实测。至元十八年（1281），《授时历》颁行天下，许衡于同年病卒，王恂已于前一年去世，这时有关授时历的计算方法、计算用表等尚未定稿，郭守敬又挑起整理著述最后定稿的重担，成为参与编历全过程的功臣。
《授时历》是中国古代创制的最精密的历法。据《元史·历志》载，郭守敬在授时历中考证了七项天文数据：（1）至元十三年到至元十七年的冬至时刻。
（2）回归年长度及岁差常数。如关于回归年长度的确定，他收集了从大明六年（462）到至元十五年（1278）间八百一十九年的冬至时刻，又从中选出六个较准确的数据，求得一回归年长为365.2425日。此值与现行公历（格雷戈里历）值相同，但在时间上要早三百多年。
（3）冬至日太阳的位置。
（4）月亮过近地点的时刻。
（5）冬至前月亮过升交点的时刻。
（6）二十八宿的赤道坐标。
（7）元大都日出日没时刻及昼夜时间长短。
此外他又计算出五项新的数据：（1）太阳在黄道上不均匀的运行速度。
（2）月亮在白道上不均匀的运行速度。
（3）由太阳的黄道积度计算太阳的赤道积度。
（4）由太阳的黄道积度计算太阳的去极度。
（5）白道与赤道交点的位置。
《授时历》采用的天文数据是相当精确的。如郭守敬等重新测定的黄赤大距（黄赤交角）为古度23.9030度，约折合今度 23°33′34″，与理论推算值的误差仅为1′36″。法国著名数学家和天文学家拉普拉斯在论述黄赤交角逐渐变小的理论时，曾引用郭守敬的测定值，并给予其高度评价。
在数学方面，《授时历》的推算中使用了郭守敬创立的新数学方法。如“招差法”是利用累次积差求太阳、月亮运行速度的，这种计算方法原则上与1670年牛顿创立的内插法是一样的。又如“弧矢割圆法”是用来计算积度的（所谓积度可看成黄经或赤经的余弧），类似球面三角方法求弧长的算法。不仅如此，他废弃了用分数表示非整数的作法，而采用百进位制来表示小数部分，从而提高了数值计算的精度。他不再花费很大的力气去计算上元积年，直接采用至元十八年冬至为历法的历元，表现了开创新路的革新精神。
在恒星观测方面，郭守敬等不仅将二十八宿距星的观测精度提高到一个新的水平，而且对二十八宿中的杂坐诸星，以及前人未命名的无名星进行了一系列观测，并且编制了星表。如在《元史·历志·授时历议》中载有周天列宿度，是至元十七年到至元二十三年间二十八宿距星的距度测量值。据潘鼐在《中国恒星观测史》中的研究，元代二十八宿的测量误差很小，其中房、虚、室、娄、张五宿的测量误差小于1′，大于10′的仅胃宿一宿，实在是高水平的测量，也是元代天文仪器精密的客观记录。除《元史》中的二十八宿数据外，郭守敬还著有《新测二十八舍杂坐诸星入宿去极》一卷和《新测无名诸星》一卷，惜已失佚。清代梅文鼎说曾见过民间遗本，现在许多学者认为北京图书馆藏明钞本《天文汇钞》中的《三垣列舍入宿去极集》一卷，就是抄自郭守敬恒星图表的钞本，甚为珍贵。
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