第四十八章 华罗庚 华罗庚，1910年生于江苏金坛。父亲华瑞栋，人称华老祥，原是江苏丹阳访仙桥人，后来搬迁到金坛定居。华老祥13岁时开始做学徒，学做生意，后来自己筹资开了一个小店，赚得钱后，又开了一个中等规模的店，最后则开了一家大店。有了钱之后，华老祥逐渐放松了对生意的经营。一场大火，把大店烧个精光，中店也倒闭了，只剩下一个小店。
华老祥在40岁时生了一个儿子，这就是华罗庚。华罗庚在金坛念小学的时候，金坛还没有初级中学。金坛初中创办那年，华罗庚小学毕业，他幸运地进了这个初中。1925年，他以全班第二名初中毕业。
由于家境贫寒，华老祥无力让华罗庚继续升高中。经过努力，华罗庚考取了由黄炎培等主办的上海中华职业学校商科。华老祥除需维持一家四口人的生活外，家里还住有几个侄儿与侄女，一直帮助他们到结婚成家为止，因此家境愈益困窘。仅仅为了家里拿不出50元的学费，华罗庚不得不放弃还差一学期就毕业的机会，弃学回金坛帮助其父经营“乾生泰”小店。
这时华罗庚已对数学产生了强烈的兴趣。那时有一个留法学物理的青年叫王维克，回到金坛，执教于金坛初中。他欣赏华罗庚的数学才能，并借书给华罗庚看，有一本大代数，一本解析几何，一本50页的微积分。华罗庚边站柜台，边用零散的时间学习数学。家里人都说他在看“天书”。为了怕他看书影响做生意，华老祥多次要撕掉他的“天书”。
1927年，华罗庚与吴筱元女士结婚。次年生女名华顺，以后他们又有了三个儿子华俊东、华陵与华光和两个女儿华苏与华密。
1929年，金坛发生了流行瘟疫（大概是伤寒），华罗庚染病卧床6个月，曾发高烧昏迷不醒，6个月未翻身，病虽痊愈，但左腿留下残疾，走路时要左腿先划一个大圆圈，右腿跨一小步。有人嘻称他按“圆与直线”行走。
华罗庚病愈后，家境更贫寒。幸得王维克帮忙，让他在金坛初中补习班教书。刚教了一个月，王维克校长就被人告了一状，说他任用不合格教员华罗庚，王维克一怒之下拂袖而去。继任校长韩大受，委任华罗庚为会计，总算没有让他失业。
1926年，上海《学艺》杂志（10卷10期）上载有一篇苏家驹的文章《代数的五次方程式的解法》。一般五次以上代数方程的根是不能用系数的四则运算及根式来表示的，这已由N.H.阿贝尔（Abel）于1826年证明。苏家驹当时是知道这件事的。由于他自以为得到了一个可解的“证明”，又未发现错误而发表该文。华罗庚当时也已知道阿贝尔定理，他找到了苏家驹文章的错误。他于1930年在上海《科学》（15卷2期）上发表《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》，指出苏文中有一个12阶的行列式计算错了。这是华罗庚发表的第二篇文章，他的第一篇文章是讨论J.C.F.施图姆（Sturm）定理的，刊于1929年《科学》14卷上。
华罗庚的论文引起当时的清华大学数学系主任熊庆来的注意，他认为华罗庚有天才，有培养前途。使熊庆来纳闷的是从未听说过数学界中有一个华罗庚。后来，熊庆来从系里一个教员金坛人唐培经那里打听到华罗庚的情况。经熊庆来推荐，华罗庚于1931年来清华大学任算学系助理，管理图书、公文，也兼办杂事。在清华大学，华罗庚如鱼得水，拼命学习数学。至1933年，华罗庚的水平与能力已为大家所认识。系里欲聘任他为助教，但又碰到同样的资格问题。为华罗庚的问题，理学院开会讨论，不少教授如郑桐荪、杨武之、叶企荪等，认为清华大学出了个华罗庚是一件好事，不应该因资格问题而限制人才使用。由此他被破格提升为助教，授微积分课。1934年他又任“中华文化教育基金会董事会”乙种研究员，1935年，他被提升为教员。
华罗庚在清华大学期间，除对高等数学基础知识全面认真学习外，特别致力于数论的学习，例如D.希尔伯特（Hilbert）的《数论报告》（BerichtüberdieTheoriederalgebraischenZahlk-örper，1897）与E.兰道（Landau）的《数论教程》（共三卷）（Vor-lesungenüberZahlentheorie，BandⅠ，Ⅱ，Ⅲ，1927）等名著，他都已融会贯通。那时他致力于华林（Waring）问题及其有关问题的研究。他的工作曾得到清华大学数学系教授杨武之的指点与帮助。
1936年左右，法国著名数学家J.阿达马（Hadamard）与美国著名数学家N.维纳（Wiener）来清华大学系统讲学。华罗庚的好学和勤奋深深地感动了他们二人，他们非常器重华罗庚。华罗庚从他们的讲学中深受教益。阿达玛向华罗庚指出，И.M.维诺格拉多夫对华林问题的研究非常出色，是这方面研究的主要方向，从此华罗庚进入了研究堆垒数论的主流。在以后相当长的时间中，华罗庚的工作受到维诺格拉多夫的影响。华罗庚从维纳那里学到大量傅里叶（Fourier）分析的知识与技能，这与他以后的工作有着密切的关联。
华罗庚在清华大学时，算学系有陈省身、许宝騄、柯召、吴大任等，物理系有王竹溪、赵九章等。华罗庚时常跟他们论学问难，互相切磋。
1936年，维纳将华罗庚推荐给英国剑桥大学著名数学家G.H.哈代（Hardy），盛赞华罗庚是中国的S.A.拉马努金（Ra-manujan）。华罗庚得中华文化教育基金会每年1200美元的乙种补助，以一个访问学者的身份去英国剑桥大学进修。哈代与J.E.李特尔伍德（Littlewood）都很赞赏华罗庚，保证两年可以给华罗庚博士学位，但他却表示：“我来剑桥大学是为了求学问，而不是为了学位。”
华罗庚在剑桥大学时，结识了一批优秀的年轻数学家，如H.海尔布伦（Heilbronn）、H.达文波特（Davenport）、T.埃斯特曼（Estermann），R.A.兰金（Rankin）与E.Ch.蒂奇马什（Titchmarsh）等人，他们互相切磋，并从他们那里得到不少帮助。
在英国，华罗庚致力于解析数论，特别是圆法与三角和估计的研究。他的工作水平有了实质的提高。例如关于完整三角和的估计、华林问题与E.普罗黑（Prouhet）问题（或普罗黑-塔利（Tarry）问题）等的重要研究，经过半个世纪的考验，他当时的论文已成为众所周知的经典文献。
1937年抗日战争爆发，华罗庚于1938年毅然回到云南省昆明市。鉴于他的学术水平与才华，不少大学争聘他。清华大学数学系主任杨武之破格提拔华罗庚为正教授，于是他在位于昆明市的西南联合大学（由清华大学、北京大学与南开大学联合组成，共同招生，各校自聘教授，三校研究生自由选课与参加讨论班）执教。这时他虽然仍继续其数论研究，并完成他的专著《堆垒素数论》，但他的主要研究兴趣已从数论转移，而致力于群论、矩阵几何学、自守函数论与多复变函数论的研究。围绕这些学科，华罗庚与其他数学家一起倡导并主持了各种讨论班。参加过他的讨论班而以后闻名的数学家中有段学复、闵嗣鹤、樊■、徐贤修，受过他的影响及听过他的课的青年还有蓝仲雄、王湘浩、孙本旺、彭慧云、田方增、徐利治、钟开莱与严志达等人。
1946年2至5月，华罗庚应苏联科学院与苏联对外文化协会邀请，到苏联进行了3个月的访问。
由于美国原子弹的震撼，国民政府军政部部长陈诚、次长兼兵工署长俞大维，欲建立国防科技，乃经由曾昭抡邀华罗庚与吴大猷去重庆商谈。他们向陈诚、俞大维陈述我国科学落后，应由培养人才入手。陈诚、俞大维采纳此议。由军政部资助两年费用，华罗庚、曾昭抡、吴大猷率优秀青年孙本旺（数学）、朱光亚、李政道（物理）、唐敖庆、王瑞駪（化学）一行于1946年7月初由上海乘船赴美。
在美国期间，华罗庚首先在普林斯顿高级研究院做研究工作，又在普林斯顿大学教授数论课。那时在普林斯顿有徐贤修、王湘浩、闵嗣鹤（数学）、张文裕、吴健雄、袁家骝（物理）、梁守榘（化学）、尤桐（考古）等人。1946年底，华罗庚在美国治疗腿疾。 他的腿治愈后，基本上可以正常行走。1948年春，华罗庚应伊利诺伊大学之聘，任正教授直至1950年2月回国为止。华罗庚在美期间，在数论、代数与复分析方面做了大量的研究工作。
中华人民共和国刚成立，华罗庚就率全家于1950年2月乘船，途经香港于3月16日回到北京。他执教于清华大学数学系，并筹备成立中国科学院数学研究所。1951年，他被任命为中国科学院数学研究所所长。1955年，华罗庚又被任命为中国科学院数理化学部委员，数理化学部副主任。
早在1946年，华罗庚就指出：“我国将来数学研究所的工作，似乎不应当只偏重于纯粹数学或纯粹数学的一部分而已。”建所之初，按上述蓝图，研究所广泛网罗人才，工作进展神速。数学所先设有数论（华罗庚、越民义、王元、许孔时、吴方、魏道政）与微分方程（吴新谋、秦元勋、王光寅、丁夏畦、邱佩璋）两组，相继成立了代数组（华罗庚、万哲先），函数论组（华罗庚、陆启铿、龚昇），拓扑组（吴文俊、张素诚、孙以丰），泛函分析组（关肇直、田方增、冯康），数理逻辑组（胡世华、唐稚松、陆钟万），概率统计组（王寿仁、张里千），理论物理组（张宗燧、戴元本），力学组（庄逢甘、林鸿荪、罗时钧、沈元、李敏华、胡海昌），计算机设计组（闵乃大、吴几康、夏培肃）。熊庆来于1957年回国，函数论室加设单复变函数论，杨乐、张广厚是熊庆来晚年的研究生。华罗庚在见到厦门大学青年陈景润关于塔利问题的一篇文章后，认为他有培养前途而将他调来数学所工作。华罗庚领导了“数论导引”与“哥德巴赫（Goldbach）猜想”两个讨论班。他还领导了多复变函数论与代数方面的工作。除此之外，他曾建议关肇直、田方增研究赋范环论，建议冯康研究广义函数论。数学所还向全国开放，来所工作过的有李国平、李修睦、梁之舜、张远达、钟同德、林坚冰、严士健等。得益于在数学所期间的工作而成为学部委员者近20人。这个阶段，华罗庚写成《数论导引》（1957）、《多复变数函数论中的典型域的调和分析》（1959）、《指数和估计及其在数论中的应用》（1963）与《典型群》（与万哲先合作，1963）4本专著。华罗庚的主要研究工作为定出4类典型域上的完整正交系。这项工作荣获1956年颁发的第一届国家自然科学一等奖。1950年，毛泽东主席会见华罗庚时，曾希望他培养出一些好学生来。建所后，华罗庚十分注意培养学生，他在撰写专著的过程中，总是组织讨论班，对他所写的材料加以讲述、讨论与修改，使学生在实践中学会做研究，提高独立工作能力。华罗庚还注意数学知识的普及工作，在报纸上发表了不少介绍治学经验与体会的文章。从1956年开始，华罗庚即在中国倡导高中学生的数学竞赛活动，为此他为中学生写过5本通俗易懂的小册子。总之，从1950至1957年，华罗庚的一切工作都得到政府与数学家的广泛支持，工作成效十分显著。华罗庚高瞻远瞩，始终坚持对苏联与西方先进数学的学习。这期间，他还不断致力于争取华裔数学家回国工作。
1957年，华罗庚与曾昭抡、钱伟长、千家驹、童第周就科技问题在《光明日报》上联名发表文章，提了几个正确意见。这一具有良好愿望的文章，竟被说成是所谓反党反社会主义的科学纲领。曾昭抡与钱伟长被错划为“右派分子”。华罗庚、千家驹与童第周虽然得到保护而免遭划为右派，但仍受到多次“批判”。1958年，《人民日报》登载了所谓“走白专道路”的文章，由此在全国掀起了“拔白旗运动”，华罗庚又作为数学研究所的重点批判对象，他与一些正直的数学家被剥夺了发言权。
1962年，华罗庚以极大的勇气来整顿数学研究所。他倡议在数学所的研究实习员中进行一次基础课考试，成绩优秀者提升，成绩太差者调出数学所工作。经过这次整顿，数学所又逐渐走上正轨。华罗庚还在数学所开辟了一个“练拳园地”，出题目给大家做，以提高对数学基础知识的掌握。但好景不长，从1964年开始，形势又在向“左”转了。华罗庚的一系列正确做法，被说成是所谓“考、提、调”三板斧，是砍向“革命群众”的三板斧，是“资产阶级的反攻倒算”。他被迫离开数学研究所去中国科学技术大学从事研究与教学工作。华罗庚于1958年被任命为中国科学技术大学副校长兼数学系主任。华罗庚在科技大学期间写成专著《高等数学引论》。
从1958年开始，华罗庚致力于数论方法在近似分析，特别是在多重定积分的近似计算中的应用研究（与王元合作）及混合型偏微分方程的研究。至1965年，华罗庚将他的主要精力放在数学方法在工业上的普及应用方面。他选择适合中国工业实际水平的“优选法”与“统筹法”（简称“双法”）加以推广应用。近20年的时间里，他与陈德泉、计雷等人一起，足迹遍布中国20多个省、市、自治区的厂矿工交企业，给工人讲课，既普及了数学知识，又取得很好的经济效益，影响颇为深远。
1966年，爆发了持续10年之久的“文化大革命”。华罗庚的家被查抄过3次，手稿散失殆尽，不少工作无法再继续进行。他被贴了不少充满了造谣污蔑之词的大字报，还遭到几次批判。这一情况至1967年即告终止，他可以安静地呆在家里，甚至可以出去普及“双法”。较之中国的绝大多数知识分子，华罗庚可算是幸运的。1975年，华罗庚得了心肌梗塞，经治疗虽幸免于死，但却种下了致命的病根。
1976年，“文化大革命”结束了。从1979年开始的数年间，华罗庚在朋友与学生的协助下，完成专著《数论在近似分析中的应用》（与王元合作，1978），《从单位圆谈起》（1977），《优选学》（1981）与《华罗庚论文选集》（HuaLooKeng，Selectedpapers.1983）。他还以学者身份，3次出国讲学。1978年，他被任命为中国科学院副院长。1980年，中国科学院数学研究所分成数学所、应用数学所与系统科学所。华罗庚除继续担任数学所所长外，还被任命为应用数学所所长，直至1983年底为止。1979年，法国南锡大学授予他荣誉博士称号，以后香港中文大学（1983）与美国伊利诺伊大学（1984）也授予他荣誉博士称号。他还被选为美国科学院国外院士（1982），第三世界科学院院士（1983）与德国巴伐利亚科学院院士（1985）。这些年来，华罗庚仍积极工作，他想多做些事，将失去的光阴补回来，但终究年迈体弱，力不从心了。1985年6月12日，华罗庚在日本东京大学作完演讲，由于心脏病突然发作而去世。
除数学家生涯外，华罗庚还积极地参加社会政治活动。从1951至1983年，华罗庚均为中国数学会理事长。又曾任第二届中国科学技术协会副主席，第一至第六届全国人民代表大会常务委员会委员，第六届全国政治协商会议副主席。他曾参加第一次国共合作时期的国民党。1979年6月加入中国共产党。
华罗庚是世界知名的数学家，他在数学方面的卓越成就，简述如下：
1.指数和估计及堆垒素数论。
命q为整数＞1，f（x）=akxk＋…＋a1x为整系数多项式满足（ak，…，a1，q）=1（即互素）。记
华罗庚在1940年证明了：对于任何ε＞0皆有
其中c（k，ε）为仅依赖于k与ε的常数。这一结果是臻于至善的。它是C.F.高斯（Gauss）和与高斯定理的推广：
关于指数和的积分平均，华罗庚证明了：对于任意ε＞0，当1≤j≤k时有
由这两条重要定理及维诺格拉多夫关于H.外尔（Weyl）和的估计及他关于素变数三角和的估计，华罗庚研究了方程N=f1（x1）+…+fi（xi）
的可解性问题，此处fi（x）（1≤i≤s）为s个k次首项系数为正的整值多项式，N为给定正整数。特别当fi（x）=xk时，就得到著名的华林问题。若在方程中限制xi取素数，fi（x）=x及s=2，3，即得著名的哥德巴赫猜想。对于华林问题，首先是希尔伯特于190O年证明了，存在c（k），当s≥c（k）时，（3）有解。当N充分大时，最小的s记为G（k）以后，哈代与利特尔伍德用他们的“圆法”对G（k）作了定量估计。维诺格拉多夫则大大地改进了G（k）的估计，他还证明了“三素数定理”，即充分大的奇数都是三个素数之和。华罗庚将华林问题的重要结果基本上推广到上述方程的情况，而且限制变数为素数，自然包括“三素数定理”作为特例。他的成果总结在他的专著《堆垒素数论》之中。这本书已成为经典著作。
解析数论最上乘的工作之一是有一个纯分析的不等式（这称为方法），并附有这一不等式的重要应用。华罗庚的工作就是这样的。
在华罗庚领导的堆垒素数论中心问题哥德巴赫猜想讨论班上，王元、潘承洞与陈景润相继对筛法、大筛法应用及哥德巴赫猜想的结果作出改进。陈景润于1966年证明了：每一充分大的偶数都是一个素数与一个不超过两个素数之积之和。
2.体论。
若一个环k，其每一元素关于乘法都有逆元素，但对乘法来说是非交换的，则k称为体。命σ是体k到它自身的一个一一映射。如果σ满足（a+b）σ=aσ+bσ，（aba）σ=aσbσaσ，1σ=1，则称σ为半自同构。熟知的半自同构的例子为自同构：（ab）σ=aσbσ，与反自同构：（ab）σ=bσaσ。问除此之外，还有无其他半自同构？华罗庚于1949年证明了：每一个半自同构或为自同构或为反自同构。
同年，华罗庚还给下面结果一个初等证明：体的每一个真正规子体均包含在它的中心之中（H.嘉当（Cartan）-R.D.布劳尔（Brauer）-华氏定理）。
P.T.贝特曼（Bateman）用莎翁名著《罗米欧与朱丽叶》中的诗句“没有一口井那么深，也没有教堂门那么宽，像茂丘西奥的伤口一样致命呀！”来赞扬华罗庚的一些结果。
1950年，华罗庚还证明了体的乘法群的一个定理：体的乘法群不是亚阿贝尔群。
3.矩阵几何、自守函数、典型群论与多变数函数论。
华罗庚将这几个学科放在一起研究。他在这几方面的研究是密切相关的。将一个变数推广到多个变数往往无从下手，以矩阵为变元则为特殊的多变数问题。这时代数工具可能使用，一行一列的矩阵就是单变数，又可以借用单变数时的结果做背景，所以华罗庚研究的方法均重用矩阵运算，从而形成了具有自己特色的开拓性工作。
1935年，E.嘉当（Cartan）证明了，在解析映射下，只有6类不可约、齐性、有界对称域，其中两类是例外域，维数分别是16与27，其余4类称为典型域。典型域可以看作普通复平面上的单位圆在高维空间的类似。其重要性有如单位圆之于复平面，其应用与影响又超过多复变函数论。
华罗庚给出了4类典型域的运动群的矩阵表示，算出S.伯格曼（Bergman）核，重新证明了3种类型的双曲空间的黎曼（Riemann）曲率都是非正的，从而推知其几何相当正规。这就导致华罗庚开拓了“矩阵几何学”这一领域。在矩阵几何中，空间的点是某类矩阵，其背景是典型域。华罗庚的目的在于在这些矩阵空间中推广复平面的几何基本定理——K.G.C冯·施陶特（vonStaudt）定理：每一个将复平面映射到自身的保持调和分隔不变的拓扑变换必为直射变换或反直射变换。例如对复数域上的对称矩阵空间，华罗庚证明了：一个连续的将对称矩阵映射为对称矩阵并保持算术距离不变的映射必为辛变换或反辛变换。
但怎样用尽量简单的几何不变量来刻划运动群呢？1951年，华罗庚发现“粘切”就够了，所谓矩阵M与N粘切，即M-N的秩为1。华罗庚还研究了基域是体的矩阵几何学。
1953年，华罗庚用群表示论方法具体得出4类典型域的完整正交系，这相当于在复平面上找到了完整正交系e（nθ）（n=0，±1，…）。借助于典型域的完整正交系，华罗庚得出4类典型域的柯西（Cauchy）核、赛格（Szegö）核与泊松（Poisson）核。
辛群在华罗庚的自守函数论与矩阵几何的研究中都很重要。很自然地，他会研究辛群的自同构问题。1946年，华罗庚发表了他确定辛群自同构的文章。这是他研究典型群的开端。以后的一系列工作，形成了他研究典型群论的独特方法，即先解决尽可能低维的问题，再用数学归纳法推广到高维。华罗庚处理典型群自同构问题的方法很初等，即着重矩阵运算。
华罗庚在这方面的工作由万哲先、陆启铿与龚昇继续着，得到了发展与应用。
4.应用数学。
从1959年开始，华罗庚与王元合写了一系列论文，研究了在近似分析中，如何用基于数论思想的可计算与决定性方法来尽可能取代统计实验的蒙特卡罗（MonteCarlo）方法的问题。他们的方法的要点为用一组独立单位或线性递推公式来构造一个代数数域的整底的联立有理逼近，从而定出高维单位立方体的一致分布点列并得出其偏差估计。一致分布点列可以代替蒙特卡罗方法中的随机数，故又称为伪随机数。例如，设｛Fn｝表示L.斐波那契（Fibonacci）数列，即由递推公式F0=0，F1=1，Fn+1=Fn+Fn-1（n≥1）
个变数均有周期1，则得
这是臻于至善的估计。
华罗庚还对“统筹法”，即CPM与PERT与“优选法”，亦即J.基弗（Kiefer）的“黄金分割法”与“斐波那契法”作了简化，并在中国工业部门作了广泛的普及与使用。
华罗庚的主要论著有《堆垒素数论》、《数论导引》、《多复变数函数论中的典型域的调和分析》、《指数和的估计及其在数论中的应用》、《典型群》（与万哲先合作）、《高等数学引论》、《数论在近似分析中的应用》（与王元合作）、《二阶两个自变数两个未知函数的常系数线性偏微分方程组》、《优选学》、《华罗庚科普著作选集》、《HuaLoo—Keng，SelectedPapers》（Springer—Ver-lag，1983）。
华罗庚一生都是在磨难中挣扎。他常说他的一生中曾遭遇三大劫难。首先是在他童年时，家贫，失学，患重病，腿残废。第二次劫难是抗日战争期间，孤立闭塞，资料图书缺乏。第三次劫难是“文化大革命”，家被查抄，手稿散失，禁止他去图书馆，将他的助手与学生分配到外地等。在这样恶劣的环境下，要坚持工作，做出成就，需付出何等努力，需怎样坚强的毅力是可想而知的。
早在四十年代，华罗庚已是世界数论界的领袖数学家之一，但他不满足，不停步，宁肯另起炉灶，离开数论，去研究他不熟悉的代数与复分析，这又需要何等的毅力与勇气！
华罗庚善于用几句形象化的语言将深刻的道理说出来，这些话言简意深，富于哲理，令人难忘。早在五十年代他就提出：“天才在于积累，聪明在于勤奋。”华罗庚虽然聪明过人，但从不提及自己的天分，而把比聪明重要得多的“勤奋”与“积累”作为成功的钥匙，反复教育年轻人，要他们学数学做到“拳不离手，曲不离口”，经常锻炼自己。五十年代中期，针对当时数学研究所有些青年做出一些成果后产生自满情绪，或在同一水平上不断写论文的倾向，华罗庚及时提出：“要有速度，还要有加速度”。所谓“速度”就是要出成果，所谓“加速度”就是成果的质量要不断提高。“文化大革命”刚结束时，一些人，特别是青年人受到不良社会风气的影响，而某些部门也急于求成，频繁地要求报成绩、评奖金等，采取了一些不符合科学规律的做法，这导致了学风败坏，突出地表现在粗制滥造，争名夺利，任意吹嘘上。1978年他在中国数学会成都会议上语重心长地提出：“早发表，晚评价。”后来又进一步提出：“努力在我，评价在人。”这不仅体现了他对年轻科学工作者的爱护和关怀，实际上也含蓄地表达了他对学术界不良学风的批评，以及他对科学发展及评价科学工作的看法。科学工作要经过历史检验才能逐步确定其真实价值，这是不依赖人的主观意志为转移的客观规律。
华罗庚从不隐讳自己的弱点，只要能求得学问，他宁肯暴露弱点。在他古稀之年去英国访问时，他把成语“不要班门弄斧”改成“弄斧必到班门”来鼓励自己。华罗庚每到一个大学，是讲别人专长的东西，从而得到帮助呢，还是讲别人不专长的，把讲学变成形式主义走过场？华罗庚必定选择前者，也就是“弄斧必到班门”。早在五十年代，华罗庚在《数论导引》的序言里就把搞数学比作下棋，号召大家找高手下，即与大数学家较量。中国象棋有个规则，那就是“观棋不语真君子，举手无悔大丈夫”。1981年，在淮南煤矿的一次演讲中，华罗庚指出：“观棋不语非君子，互相帮助；落子有悔大丈夫，改正缺点。”意思是当你见到别人搞的东西有毛病时，一定要说。另一方面，当你发现自己搞的东西有毛病时，一定要修正。这才是“君子”与“丈夫”。针对一些人遇到困难就退缩，缺乏坚持到底的精神，华罗庚在给金坛中学写的条幅中写道：“人说不到黄河心不死，我说到了黄河心更坚。”
人老了，精力要衰退，这是自然规律。华罗庚深知年龄是不饶人的。1979年在英国时，他指出：“树老易空，人老易松，科学之道，戒之以空，戒之以松，我愿一辈子从实以终。”这也可以说是他以最大的决心向自己的衰老作抗衡的“决心书”，以此鞭策他自己。在华罗庚第二次心肌梗塞发病时，在医院中仍坚持工作，他指出：“我的哲学不是生命尽量延长，而是尽量多做工作。”
总之，华罗庚的一切论述都贯穿一个总的精神，就是不断拼搏，不断奋进。
华罗庚从小就爱国爱民，胸怀大志。抗战刚开始，出于民族大义，他即放弃留在英国继续做研究工作的机会，毅然回到中国昆明。抗日战争时期，他见后方贪官奸商横行，十分气愤，毅然写道：“寄旅昆明日，金瓯半缺时，狐虎满街走，鹰鹳扑地飞。”当他得知闻一多被暗杀的消息后，心中交织着强烈的爱和恨，他写道：“乌云低垂泊清波，红烛光芒射斗牛，宁沪道上闻噩耗，魔掌竟敢杀一多。”中华人民共和国刚成立，华罗庚就毅然放弃在美国伊利诺伊大学的终身教授职务，携全家回到北京。在归国途中，发表了热情洋溢的“致中国全体留美学生的公开信”（1950年2月），信中写道：“梁园虽好，非久居之乡，归去来兮！”“为了抉择真理，我们应当回去；为了国家民族，我们应该回去；为了为人民服务，我们也应当回去。”
华罗庚在1951年又写道：“从前帝国主义者不但在经济上剥削我们，政治上奴役我们，使我们变成半殖民地半封建的国家；同时，又从文化上——透过他们所办的教会、学校、医院和所谓慈善机关——来打击我们民族的自信。”“实际上，我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智和成就。”“请读者用客观的态度，公正的立场，自己判断，自己分析，看看我们是否是如帝国主义所说的‘劣等民族’”。
这些话字里行间充分反映了华罗庚热爱祖国、忧国忧民的心情，他为了振兴中华而毅然回归祖国。
1957年，华罗庚遭到错误批判。当时，中国数学界大搞“拔白旗”、批判“资产阶级学术权威”的运动。华罗庚目睹中国数学界遭到的破坏与损失，痛心疾首。1963年，他借写《高等数学引论》的序言为题，加以发挥地写道：“它既是急就章，又是拖沓篇，1958年匆匆上马。”“错误百出，疵谬迭见。”“紧紧松松，赶赶拖拖，因而详略不一，前后不贯，轻重失调，呼应不周等毛病在所难免的了。”
1964年，他更在一篇文章中写道：“向前走了3里路，发现错了，不要紧，后退3里，便到原来的出发点了；但时间却不能退回到原来出发的时间，而是花了双倍时间，时乎时乎不再来！”
“文化大革命”期间，眼见着国家遭难，人民受害，他更是百感交集，悲愤万分。1969年，他的恩师熊庆来遭迫害致死，他都不能去悼念。1978年，熊庆来得到平反后，华罗庚写道：“恶莫恶于除根计，痛莫痛于不敢啼，尸体已入焚化间，谁是？翻遍盖面布，方得见遗容一面，骨架一层皮。”
在“四人帮”横行时，华罗庚虽受到保护，但他被剥夺了发言权，而且实际上被禁止与朋友学生往来。他的“双法”普及工作，亦常遭到横加干预。在这黑暗的日子里，据说华罗庚有一个小本子，经常偷着写诗骂“四人帮”，不肯示人，可惜未能留存下来，现仅得一首如下：“并州战役胜利日，白骨妖魔心如炽。
‘我要分裂停生产’，尔辈竟敢搞团结。”
1976年，“四人帮”殄灭，特别是中国共产党十一届三中全会确立了改革开放政策，华罗庚心情舒畅，他写了一系列述怀诗句，展望未来，跃跃欲试。列举一首如下：“春风吹绿了大地，原野上万马奔驰，与其伏枥而空怀千里，何如奋勉而追骐骥？”
华罗庚终于倒在了学术报告的讲台上，为祖国、为数学，工作到了生命的尽头。
华老祥在40岁时生了一个儿子，这就是华罗庚。华罗庚在金坛念小学的时候，金坛还没有初级中学。金坛初中创办那年，华罗庚小学毕业，他幸运地进了这个初中。1925年，他以全班第二名初中毕业。
由于家境贫寒，华老祥无力让华罗庚继续升高中。经过努力，华罗庚考取了由黄炎培等主办的上海中华职业学校商科。华老祥除需维持一家四口人的生活外，家里还住有几个侄儿与侄女，一直帮助他们到结婚成家为止，因此家境愈益困窘。仅仅为了家里拿不出50元的学费，华罗庚不得不放弃还差一学期就毕业的机会，弃学回金坛帮助其父经营“乾生泰”小店。
这时华罗庚已对数学产生了强烈的兴趣。那时有一个留法学物理的青年叫王维克，回到金坛，执教于金坛初中。他欣赏华罗庚的数学才能，并借书给华罗庚看，有一本大代数，一本解析几何，一本50页的微积分。华罗庚边站柜台，边用零散的时间学习数学。家里人都说他在看“天书”。为了怕他看书影响做生意，华老祥多次要撕掉他的“天书”。
1927年，华罗庚与吴筱元女士结婚。次年生女名华顺，以后他们又有了三个儿子华俊东、华陵与华光和两个女儿华苏与华密。
1929年，金坛发生了流行瘟疫（大概是伤寒），华罗庚染病卧床6个月，曾发高烧昏迷不醒，6个月未翻身，病虽痊愈，但左腿留下残疾，走路时要左腿先划一个大圆圈，右腿跨一小步。有人嘻称他按“圆与直线”行走。
华罗庚病愈后，家境更贫寒。幸得王维克帮忙，让他在金坛初中补习班教书。刚教了一个月，王维克校长就被人告了一状，说他任用不合格教员华罗庚，王维克一怒之下拂袖而去。继任校长韩大受，委任华罗庚为会计，总算没有让他失业。
1926年，上海《学艺》杂志（10卷10期）上载有一篇苏家驹的文章《代数的五次方程式的解法》。一般五次以上代数方程的根是不能用系数的四则运算及根式来表示的，这已由N.H.阿贝尔（Abel）于1826年证明。苏家驹当时是知道这件事的。由于他自以为得到了一个可解的“证明”，又未发现错误而发表该文。华罗庚当时也已知道阿贝尔定理，他找到了苏家驹文章的错误。他于1930年在上海《科学》（15卷2期）上发表《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》，指出苏文中有一个12阶的行列式计算错了。这是华罗庚发表的第二篇文章，他的第一篇文章是讨论J.C.F.施图姆（Sturm）定理的，刊于1929年《科学》14卷上。
华罗庚的论文引起当时的清华大学数学系主任熊庆来的注意，他认为华罗庚有天才，有培养前途。使熊庆来纳闷的是从未听说过数学界中有一个华罗庚。后来，熊庆来从系里一个教员金坛人唐培经那里打听到华罗庚的情况。经熊庆来推荐，华罗庚于1931年来清华大学任算学系助理，管理图书、公文，也兼办杂事。在清华大学，华罗庚如鱼得水，拼命学习数学。至1933年，华罗庚的水平与能力已为大家所认识。系里欲聘任他为助教，但又碰到同样的资格问题。为华罗庚的问题，理学院开会讨论，不少教授如郑桐荪、杨武之、叶企荪等，认为清华大学出了个华罗庚是一件好事，不应该因资格问题而限制人才使用。由此他被破格提升为助教，授微积分课。1934年他又任“中华文化教育基金会董事会”乙种研究员，1935年，他被提升为教员。
华罗庚在清华大学期间，除对高等数学基础知识全面认真学习外，特别致力于数论的学习，例如D.希尔伯特（Hilbert）的《数论报告》（BerichtüberdieTheoriederalgebraischenZahlk-örper，1897）与E.兰道（Landau）的《数论教程》（共三卷）（Vor-lesungenüberZahlentheorie，BandⅠ，Ⅱ，Ⅲ，1927）等名著，他都已融会贯通。那时他致力于华林（Waring）问题及其有关问题的研究。他的工作曾得到清华大学数学系教授杨武之的指点与帮助。
1936年左右，法国著名数学家J.阿达马（Hadamard）与美国著名数学家N.维纳（Wiener）来清华大学系统讲学。华罗庚的好学和勤奋深深地感动了他们二人，他们非常器重华罗庚。华罗庚从他们的讲学中深受教益。阿达玛向华罗庚指出，И.M.维诺格拉多夫对华林问题的研究非常出色，是这方面研究的主要方向，从此华罗庚进入了研究堆垒数论的主流。在以后相当长的时间中，华罗庚的工作受到维诺格拉多夫的影响。华罗庚从维纳那里学到大量傅里叶（Fourier）分析的知识与技能，这与他以后的工作有着密切的关联。
华罗庚在清华大学时，算学系有陈省身、许宝騄、柯召、吴大任等，物理系有王竹溪、赵九章等。华罗庚时常跟他们论学问难，互相切磋。
1936年，维纳将华罗庚推荐给英国剑桥大学著名数学家G.H.哈代（Hardy），盛赞华罗庚是中国的S.A.拉马努金（Ra-manujan）。华罗庚得中华文化教育基金会每年1200美元的乙种补助，以一个访问学者的身份去英国剑桥大学进修。哈代与J.E.李特尔伍德（Littlewood）都很赞赏华罗庚，保证两年可以给华罗庚博士学位，但他却表示：“我来剑桥大学是为了求学问，而不是为了学位。”
华罗庚在剑桥大学时，结识了一批优秀的年轻数学家，如H.海尔布伦（Heilbronn）、H.达文波特（Davenport）、T.埃斯特曼（Estermann），R.A.兰金（Rankin）与E.Ch.蒂奇马什（Titchmarsh）等人，他们互相切磋，并从他们那里得到不少帮助。
在英国，华罗庚致力于解析数论，特别是圆法与三角和估计的研究。他的工作水平有了实质的提高。例如关于完整三角和的估计、华林问题与E.普罗黑（Prouhet）问题（或普罗黑-塔利（Tarry）问题）等的重要研究，经过半个世纪的考验，他当时的论文已成为众所周知的经典文献。
1937年抗日战争爆发，华罗庚于1938年毅然回到云南省昆明市。鉴于他的学术水平与才华，不少大学争聘他。清华大学数学系主任杨武之破格提拔华罗庚为正教授，于是他在位于昆明市的西南联合大学（由清华大学、北京大学与南开大学联合组成，共同招生，各校自聘教授，三校研究生自由选课与参加讨论班）执教。这时他虽然仍继续其数论研究，并完成他的专著《堆垒素数论》，但他的主要研究兴趣已从数论转移，而致力于群论、矩阵几何学、自守函数论与多复变函数论的研究。围绕这些学科，华罗庚与其他数学家一起倡导并主持了各种讨论班。参加过他的讨论班而以后闻名的数学家中有段学复、闵嗣鹤、樊■、徐贤修，受过他的影响及听过他的课的青年还有蓝仲雄、王湘浩、孙本旺、彭慧云、田方增、徐利治、钟开莱与严志达等人。
1946年2至5月，华罗庚应苏联科学院与苏联对外文化协会邀请，到苏联进行了3个月的访问。
由于美国原子弹的震撼，国民政府军政部部长陈诚、次长兼兵工署长俞大维，欲建立国防科技，乃经由曾昭抡邀华罗庚与吴大猷去重庆商谈。他们向陈诚、俞大维陈述我国科学落后，应由培养人才入手。陈诚、俞大维采纳此议。由军政部资助两年费用，华罗庚、曾昭抡、吴大猷率优秀青年孙本旺（数学）、朱光亚、李政道（物理）、唐敖庆、王瑞駪（化学）一行于1946年7月初由上海乘船赴美。
在美国期间，华罗庚首先在普林斯顿高级研究院做研究工作，又在普林斯顿大学教授数论课。那时在普林斯顿有徐贤修、王湘浩、闵嗣鹤（数学）、张文裕、吴健雄、袁家骝（物理）、梁守榘（化学）、尤桐（考古）等人。1946年底，华罗庚在美国治疗腿疾。 他的腿治愈后，基本上可以正常行走。1948年春，华罗庚应伊利诺伊大学之聘，任正教授直至1950年2月回国为止。华罗庚在美期间，在数论、代数与复分析方面做了大量的研究工作。
中华人民共和国刚成立，华罗庚就率全家于1950年2月乘船，途经香港于3月16日回到北京。他执教于清华大学数学系，并筹备成立中国科学院数学研究所。1951年，他被任命为中国科学院数学研究所所长。1955年，华罗庚又被任命为中国科学院数理化学部委员，数理化学部副主任。
早在1946年，华罗庚就指出：“我国将来数学研究所的工作，似乎不应当只偏重于纯粹数学或纯粹数学的一部分而已。”建所之初，按上述蓝图，研究所广泛网罗人才，工作进展神速。数学所先设有数论（华罗庚、越民义、王元、许孔时、吴方、魏道政）与微分方程（吴新谋、秦元勋、王光寅、丁夏畦、邱佩璋）两组，相继成立了代数组（华罗庚、万哲先），函数论组（华罗庚、陆启铿、龚昇），拓扑组（吴文俊、张素诚、孙以丰），泛函分析组（关肇直、田方增、冯康），数理逻辑组（胡世华、唐稚松、陆钟万），概率统计组（王寿仁、张里千），理论物理组（张宗燧、戴元本），力学组（庄逢甘、林鸿荪、罗时钧、沈元、李敏华、胡海昌），计算机设计组（闵乃大、吴几康、夏培肃）。熊庆来于1957年回国，函数论室加设单复变函数论，杨乐、张广厚是熊庆来晚年的研究生。华罗庚在见到厦门大学青年陈景润关于塔利问题的一篇文章后，认为他有培养前途而将他调来数学所工作。华罗庚领导了“数论导引”与“哥德巴赫（Goldbach）猜想”两个讨论班。他还领导了多复变函数论与代数方面的工作。除此之外，他曾建议关肇直、田方增研究赋范环论，建议冯康研究广义函数论。数学所还向全国开放，来所工作过的有李国平、李修睦、梁之舜、张远达、钟同德、林坚冰、严士健等。得益于在数学所期间的工作而成为学部委员者近20人。这个阶段，华罗庚写成《数论导引》（1957）、《多复变数函数论中的典型域的调和分析》（1959）、《指数和估计及其在数论中的应用》（1963）与《典型群》（与万哲先合作，1963）4本专著。华罗庚的主要研究工作为定出4类典型域上的完整正交系。这项工作荣获1956年颁发的第一届国家自然科学一等奖。1950年，毛泽东主席会见华罗庚时，曾希望他培养出一些好学生来。建所后，华罗庚十分注意培养学生，他在撰写专著的过程中，总是组织讨论班，对他所写的材料加以讲述、讨论与修改，使学生在实践中学会做研究，提高独立工作能力。华罗庚还注意数学知识的普及工作，在报纸上发表了不少介绍治学经验与体会的文章。从1956年开始，华罗庚即在中国倡导高中学生的数学竞赛活动，为此他为中学生写过5本通俗易懂的小册子。总之，从1950至1957年，华罗庚的一切工作都得到政府与数学家的广泛支持，工作成效十分显著。华罗庚高瞻远瞩，始终坚持对苏联与西方先进数学的学习。这期间，他还不断致力于争取华裔数学家回国工作。
1957年，华罗庚与曾昭抡、钱伟长、千家驹、童第周就科技问题在《光明日报》上联名发表文章，提了几个正确意见。这一具有良好愿望的文章，竟被说成是所谓反党反社会主义的科学纲领。曾昭抡与钱伟长被错划为“右派分子”。华罗庚、千家驹与童第周虽然得到保护而免遭划为右派，但仍受到多次“批判”。1958年，《人民日报》登载了所谓“走白专道路”的文章，由此在全国掀起了“拔白旗运动”，华罗庚又作为数学研究所的重点批判对象，他与一些正直的数学家被剥夺了发言权。
1962年，华罗庚以极大的勇气来整顿数学研究所。他倡议在数学所的研究实习员中进行一次基础课考试，成绩优秀者提升，成绩太差者调出数学所工作。经过这次整顿，数学所又逐渐走上正轨。华罗庚还在数学所开辟了一个“练拳园地”，出题目给大家做，以提高对数学基础知识的掌握。但好景不长，从1964年开始，形势又在向“左”转了。华罗庚的一系列正确做法，被说成是所谓“考、提、调”三板斧，是砍向“革命群众”的三板斧，是“资产阶级的反攻倒算”。他被迫离开数学研究所去中国科学技术大学从事研究与教学工作。华罗庚于1958年被任命为中国科学技术大学副校长兼数学系主任。华罗庚在科技大学期间写成专著《高等数学引论》。
从1958年开始，华罗庚致力于数论方法在近似分析，特别是在多重定积分的近似计算中的应用研究（与王元合作）及混合型偏微分方程的研究。至1965年，华罗庚将他的主要精力放在数学方法在工业上的普及应用方面。他选择适合中国工业实际水平的“优选法”与“统筹法”（简称“双法”）加以推广应用。近20年的时间里，他与陈德泉、计雷等人一起，足迹遍布中国20多个省、市、自治区的厂矿工交企业，给工人讲课，既普及了数学知识，又取得很好的经济效益，影响颇为深远。
1966年，爆发了持续10年之久的“文化大革命”。华罗庚的家被查抄过3次，手稿散失殆尽，不少工作无法再继续进行。他被贴了不少充满了造谣污蔑之词的大字报，还遭到几次批判。这一情况至1967年即告终止，他可以安静地呆在家里，甚至可以出去普及“双法”。较之中国的绝大多数知识分子，华罗庚可算是幸运的。1975年，华罗庚得了心肌梗塞，经治疗虽幸免于死，但却种下了致命的病根。
1976年，“文化大革命”结束了。从1979年开始的数年间，华罗庚在朋友与学生的协助下，完成专著《数论在近似分析中的应用》（与王元合作，1978），《从单位圆谈起》（1977），《优选学》（1981）与《华罗庚论文选集》（HuaLooKeng，Selectedpapers.1983）。他还以学者身份，3次出国讲学。1978年，他被任命为中国科学院副院长。1980年，中国科学院数学研究所分成数学所、应用数学所与系统科学所。华罗庚除继续担任数学所所长外，还被任命为应用数学所所长，直至1983年底为止。1979年，法国南锡大学授予他荣誉博士称号，以后香港中文大学（1983）与美国伊利诺伊大学（1984）也授予他荣誉博士称号。他还被选为美国科学院国外院士（1982），第三世界科学院院士（1983）与德国巴伐利亚科学院院士（1985）。这些年来，华罗庚仍积极工作，他想多做些事，将失去的光阴补回来，但终究年迈体弱，力不从心了。1985年6月12日，华罗庚在日本东京大学作完演讲，由于心脏病突然发作而去世。
除数学家生涯外，华罗庚还积极地参加社会政治活动。从1951至1983年，华罗庚均为中国数学会理事长。又曾任第二届中国科学技术协会副主席，第一至第六届全国人民代表大会常务委员会委员，第六届全国政治协商会议副主席。他曾参加第一次国共合作时期的国民党。1979年6月加入中国共产党。
华罗庚是世界知名的数学家，他在数学方面的卓越成就，简述如下：
1.指数和估计及堆垒素数论。
命q为整数＞1，f（x）=akxk＋…＋a1x为整系数多项式满足（ak，…，a1，q）=1（即互素）。记
华罗庚在1940年证明了：对于任何ε＞0皆有
其中c（k，ε）为仅依赖于k与ε的常数。这一结果是臻于至善的。它是C.F.高斯（Gauss）和与高斯定理的推广：
关于指数和的积分平均，华罗庚证明了：对于任意ε＞0，当1≤j≤k时有
由这两条重要定理及维诺格拉多夫关于H.外尔（Weyl）和的估计及他关于素变数三角和的估计，华罗庚研究了方程N=f1（x1）+…+fi（xi）
的可解性问题，此处fi（x）（1≤i≤s）为s个k次首项系数为正的整值多项式，N为给定正整数。特别当fi（x）=xk时，就得到著名的华林问题。若在方程中限制xi取素数，fi（x）=x及s=2，3，即得著名的哥德巴赫猜想。对于华林问题，首先是希尔伯特于190O年证明了，存在c（k），当s≥c（k）时，（3）有解。当N充分大时，最小的s记为G（k）以后，哈代与利特尔伍德用他们的“圆法”对G（k）作了定量估计。维诺格拉多夫则大大地改进了G（k）的估计，他还证明了“三素数定理”，即充分大的奇数都是三个素数之和。华罗庚将华林问题的重要结果基本上推广到上述方程的情况，而且限制变数为素数，自然包括“三素数定理”作为特例。他的成果总结在他的专著《堆垒素数论》之中。这本书已成为经典著作。
解析数论最上乘的工作之一是有一个纯分析的不等式（这称为方法），并附有这一不等式的重要应用。华罗庚的工作就是这样的。
在华罗庚领导的堆垒素数论中心问题哥德巴赫猜想讨论班上，王元、潘承洞与陈景润相继对筛法、大筛法应用及哥德巴赫猜想的结果作出改进。陈景润于1966年证明了：每一充分大的偶数都是一个素数与一个不超过两个素数之积之和。
2.体论。
若一个环k，其每一元素关于乘法都有逆元素，但对乘法来说是非交换的，则k称为体。命σ是体k到它自身的一个一一映射。如果σ满足（a+b）σ=aσ+bσ，（aba）σ=aσbσaσ，1σ=1，则称σ为半自同构。熟知的半自同构的例子为自同构：（ab）σ=aσbσ，与反自同构：（ab）σ=bσaσ。问除此之外，还有无其他半自同构？华罗庚于1949年证明了：每一个半自同构或为自同构或为反自同构。
同年，华罗庚还给下面结果一个初等证明：体的每一个真正规子体均包含在它的中心之中（H.嘉当（Cartan）-R.D.布劳尔（Brauer）-华氏定理）。
P.T.贝特曼（Bateman）用莎翁名著《罗米欧与朱丽叶》中的诗句“没有一口井那么深，也没有教堂门那么宽，像茂丘西奥的伤口一样致命呀！”来赞扬华罗庚的一些结果。
1950年，华罗庚还证明了体的乘法群的一个定理：体的乘法群不是亚阿贝尔群。
3.矩阵几何、自守函数、典型群论与多变数函数论。
华罗庚将这几个学科放在一起研究。他在这几方面的研究是密切相关的。将一个变数推广到多个变数往往无从下手，以矩阵为变元则为特殊的多变数问题。这时代数工具可能使用，一行一列的矩阵就是单变数，又可以借用单变数时的结果做背景，所以华罗庚研究的方法均重用矩阵运算，从而形成了具有自己特色的开拓性工作。
1935年，E.嘉当（Cartan）证明了，在解析映射下，只有6类不可约、齐性、有界对称域，其中两类是例外域，维数分别是16与27，其余4类称为典型域。典型域可以看作普通复平面上的单位圆在高维空间的类似。其重要性有如单位圆之于复平面，其应用与影响又超过多复变函数论。
华罗庚给出了4类典型域的运动群的矩阵表示，算出S.伯格曼（Bergman）核，重新证明了3种类型的双曲空间的黎曼（Riemann）曲率都是非正的，从而推知其几何相当正规。这就导致华罗庚开拓了“矩阵几何学”这一领域。在矩阵几何中，空间的点是某类矩阵，其背景是典型域。华罗庚的目的在于在这些矩阵空间中推广复平面的几何基本定理——K.G.C冯·施陶特（vonStaudt）定理：每一个将复平面映射到自身的保持调和分隔不变的拓扑变换必为直射变换或反直射变换。例如对复数域上的对称矩阵空间，华罗庚证明了：一个连续的将对称矩阵映射为对称矩阵并保持算术距离不变的映射必为辛变换或反辛变换。
但怎样用尽量简单的几何不变量来刻划运动群呢？1951年，华罗庚发现“粘切”就够了，所谓矩阵M与N粘切，即M-N的秩为1。华罗庚还研究了基域是体的矩阵几何学。
1953年，华罗庚用群表示论方法具体得出4类典型域的完整正交系，这相当于在复平面上找到了完整正交系e（nθ）（n=0，±1，…）。借助于典型域的完整正交系，华罗庚得出4类典型域的柯西（Cauchy）核、赛格（Szegö）核与泊松（Poisson）核。
辛群在华罗庚的自守函数论与矩阵几何的研究中都很重要。很自然地，他会研究辛群的自同构问题。1946年，华罗庚发表了他确定辛群自同构的文章。这是他研究典型群的开端。以后的一系列工作，形成了他研究典型群论的独特方法，即先解决尽可能低维的问题，再用数学归纳法推广到高维。华罗庚处理典型群自同构问题的方法很初等，即着重矩阵运算。
华罗庚在这方面的工作由万哲先、陆启铿与龚昇继续着，得到了发展与应用。
4.应用数学。
从1959年开始，华罗庚与王元合写了一系列论文，研究了在近似分析中，如何用基于数论思想的可计算与决定性方法来尽可能取代统计实验的蒙特卡罗（MonteCarlo）方法的问题。他们的方法的要点为用一组独立单位或线性递推公式来构造一个代数数域的整底的联立有理逼近，从而定出高维单位立方体的一致分布点列并得出其偏差估计。一致分布点列可以代替蒙特卡罗方法中的随机数，故又称为伪随机数。例如，设｛Fn｝表示L.斐波那契（Fibonacci）数列，即由递推公式F0=0，F1=1，Fn+1=Fn+Fn-1（n≥1）
个变数均有周期1，则得
这是臻于至善的估计。
华罗庚还对“统筹法”，即CPM与PERT与“优选法”，亦即J.基弗（Kiefer）的“黄金分割法”与“斐波那契法”作了简化，并在中国工业部门作了广泛的普及与使用。
华罗庚的主要论著有《堆垒素数论》、《数论导引》、《多复变数函数论中的典型域的调和分析》、《指数和的估计及其在数论中的应用》、《典型群》（与万哲先合作）、《高等数学引论》、《数论在近似分析中的应用》（与王元合作）、《二阶两个自变数两个未知函数的常系数线性偏微分方程组》、《优选学》、《华罗庚科普著作选集》、《HuaLoo—Keng，SelectedPapers》（Springer—Ver-lag，1983）。
华罗庚一生都是在磨难中挣扎。他常说他的一生中曾遭遇三大劫难。首先是在他童年时，家贫，失学，患重病，腿残废。第二次劫难是抗日战争期间，孤立闭塞，资料图书缺乏。第三次劫难是“文化大革命”，家被查抄，手稿散失，禁止他去图书馆，将他的助手与学生分配到外地等。在这样恶劣的环境下，要坚持工作，做出成就，需付出何等努力，需怎样坚强的毅力是可想而知的。
早在四十年代，华罗庚已是世界数论界的领袖数学家之一，但他不满足，不停步，宁肯另起炉灶，离开数论，去研究他不熟悉的代数与复分析，这又需要何等的毅力与勇气！
华罗庚善于用几句形象化的语言将深刻的道理说出来，这些话言简意深，富于哲理，令人难忘。早在五十年代他就提出：“天才在于积累，聪明在于勤奋。”华罗庚虽然聪明过人，但从不提及自己的天分，而把比聪明重要得多的“勤奋”与“积累”作为成功的钥匙，反复教育年轻人，要他们学数学做到“拳不离手，曲不离口”，经常锻炼自己。五十年代中期，针对当时数学研究所有些青年做出一些成果后产生自满情绪，或在同一水平上不断写论文的倾向，华罗庚及时提出：“要有速度，还要有加速度”。所谓“速度”就是要出成果，所谓“加速度”就是成果的质量要不断提高。“文化大革命”刚结束时，一些人，特别是青年人受到不良社会风气的影响，而某些部门也急于求成，频繁地要求报成绩、评奖金等，采取了一些不符合科学规律的做法，这导致了学风败坏，突出地表现在粗制滥造，争名夺利，任意吹嘘上。1978年他在中国数学会成都会议上语重心长地提出：“早发表，晚评价。”后来又进一步提出：“努力在我，评价在人。”这不仅体现了他对年轻科学工作者的爱护和关怀，实际上也含蓄地表达了他对学术界不良学风的批评，以及他对科学发展及评价科学工作的看法。科学工作要经过历史检验才能逐步确定其真实价值，这是不依赖人的主观意志为转移的客观规律。
华罗庚从不隐讳自己的弱点，只要能求得学问，他宁肯暴露弱点。在他古稀之年去英国访问时，他把成语“不要班门弄斧”改成“弄斧必到班门”来鼓励自己。华罗庚每到一个大学，是讲别人专长的东西，从而得到帮助呢，还是讲别人不专长的，把讲学变成形式主义走过场？华罗庚必定选择前者，也就是“弄斧必到班门”。早在五十年代，华罗庚在《数论导引》的序言里就把搞数学比作下棋，号召大家找高手下，即与大数学家较量。中国象棋有个规则，那就是“观棋不语真君子，举手无悔大丈夫”。1981年，在淮南煤矿的一次演讲中，华罗庚指出：“观棋不语非君子，互相帮助；落子有悔大丈夫，改正缺点。”意思是当你见到别人搞的东西有毛病时，一定要说。另一方面，当你发现自己搞的东西有毛病时，一定要修正。这才是“君子”与“丈夫”。针对一些人遇到困难就退缩，缺乏坚持到底的精神，华罗庚在给金坛中学写的条幅中写道：“人说不到黄河心不死，我说到了黄河心更坚。”
人老了，精力要衰退，这是自然规律。华罗庚深知年龄是不饶人的。1979年在英国时，他指出：“树老易空，人老易松，科学之道，戒之以空，戒之以松，我愿一辈子从实以终。”这也可以说是他以最大的决心向自己的衰老作抗衡的“决心书”，以此鞭策他自己。在华罗庚第二次心肌梗塞发病时，在医院中仍坚持工作，他指出：“我的哲学不是生命尽量延长，而是尽量多做工作。”
总之，华罗庚的一切论述都贯穿一个总的精神，就是不断拼搏，不断奋进。
华罗庚从小就爱国爱民，胸怀大志。抗战刚开始，出于民族大义，他即放弃留在英国继续做研究工作的机会，毅然回到中国昆明。抗日战争时期，他见后方贪官奸商横行，十分气愤，毅然写道：“寄旅昆明日，金瓯半缺时，狐虎满街走，鹰鹳扑地飞。”当他得知闻一多被暗杀的消息后，心中交织着强烈的爱和恨，他写道：“乌云低垂泊清波，红烛光芒射斗牛，宁沪道上闻噩耗，魔掌竟敢杀一多。”中华人民共和国刚成立，华罗庚就毅然放弃在美国伊利诺伊大学的终身教授职务，携全家回到北京。在归国途中，发表了热情洋溢的“致中国全体留美学生的公开信”（1950年2月），信中写道：“梁园虽好，非久居之乡，归去来兮！”“为了抉择真理，我们应当回去；为了国家民族，我们应该回去；为了为人民服务，我们也应当回去。”
华罗庚在1951年又写道：“从前帝国主义者不但在经济上剥削我们，政治上奴役我们，使我们变成半殖民地半封建的国家；同时，又从文化上——透过他们所办的教会、学校、医院和所谓慈善机关——来打击我们民族的自信。”“实际上，我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智和成就。”“请读者用客观的态度，公正的立场，自己判断，自己分析，看看我们是否是如帝国主义所说的‘劣等民族’”。
这些话字里行间充分反映了华罗庚热爱祖国、忧国忧民的心情，他为了振兴中华而毅然回归祖国。
1957年，华罗庚遭到错误批判。当时，中国数学界大搞“拔白旗”、批判“资产阶级学术权威”的运动。华罗庚目睹中国数学界遭到的破坏与损失，痛心疾首。1963年，他借写《高等数学引论》的序言为题，加以发挥地写道：“它既是急就章，又是拖沓篇，1958年匆匆上马。”“错误百出，疵谬迭见。”“紧紧松松，赶赶拖拖，因而详略不一，前后不贯，轻重失调，呼应不周等毛病在所难免的了。”
1964年，他更在一篇文章中写道：“向前走了3里路，发现错了，不要紧，后退3里，便到原来的出发点了；但时间却不能退回到原来出发的时间，而是花了双倍时间，时乎时乎不再来！”
“文化大革命”期间，眼见着国家遭难，人民受害，他更是百感交集，悲愤万分。1969年，他的恩师熊庆来遭迫害致死，他都不能去悼念。1978年，熊庆来得到平反后，华罗庚写道：“恶莫恶于除根计，痛莫痛于不敢啼，尸体已入焚化间，谁是？翻遍盖面布，方得见遗容一面，骨架一层皮。”
在“四人帮”横行时，华罗庚虽受到保护，但他被剥夺了发言权，而且实际上被禁止与朋友学生往来。他的“双法”普及工作，亦常遭到横加干预。在这黑暗的日子里，据说华罗庚有一个小本子，经常偷着写诗骂“四人帮”，不肯示人，可惜未能留存下来，现仅得一首如下：“并州战役胜利日，白骨妖魔心如炽。
‘我要分裂停生产’，尔辈竟敢搞团结。”
1976年，“四人帮”殄灭，特别是中国共产党十一届三中全会确立了改革开放政策，华罗庚心情舒畅，他写了一系列述怀诗句，展望未来，跃跃欲试。列举一首如下：“春风吹绿了大地，原野上万马奔驰，与其伏枥而空怀千里，何如奋勉而追骐骥？”
华罗庚终于倒在了学术报告的讲台上，为祖国、为数学，工作到了生命的尽头。
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