（一）天文学与数学 天文学宋朝历法一共改了十九次，是我国历史上历法改革频繁的一个朝代。历法的不断改革，反映了天文学研究的活跃。
宋朝天文学的发展可分为三个阶段。北宋初到神宗前，历法以崇天历为代表，主要成就是超新星的观测；神宗朝到北宋末，历法以纪元历为代表，主要成就是水运仪象台的制造；南宋时代以编撰统天历为著名。
北宋初，用后周王朴的钦天历。钦天历在天体运动的计算中提出了等加速运动的公式，是准确的。仁宗朝用崇天历前后达四十年。著名的天文学家楚衍参与崇天历的编撰。在司天监任职四十多年的天文学家杨惟德，在他的著述中曾一再介绍崇天历。崇天历的天文数据较接近天文实际。至和元年（一○五四年）四月朔 有一次日全食。当时在汴京观测这次日食是“日食既，至申乃见，食九分之余”。用崇天历推算食甚时间在申正一刻二十分，食分为九分半弱，与观测所得几乎相同。北宋又有纪元历，是天文学家姚舜辅等所编撰，它的求赤道坐标变换为黄道坐标的计算方法比较简易。纪元历中还引进了四次方程式的算法。它的各项天文数据多为金大明历和元授时历所采用。北宋沈括提出了十二气历的编制方法，虽没有实行，但在历法史上无疑是一项卓越的成就。
北宋的天象观测很有成绩。对天空三十一大区（即三垣：紫微垣、太微垣、天市垣和二十八宿）恒星位置的观测共进行了六次。大中祥符、景祐、皇祐、元丰、绍圣和崇宁年间各进行过一次。元丰时的观测被画成星图，见于苏颂的《新仪象法要》和黄裳的天文图。一二四七年（淳祐七年）黄图在乎江府复刊，即现存的苏州天文图。崇宁年间观测到的记录，部分载入纪元历内，所测二十八宿距度星的平均误差绝对值只有0°.15，已很精密。
江苏苏州南宋石刻《天文图》 北宋有两次超新星的观测，一次是一○○六年（景德三年），一次是一○五四年（至和元年）。前者是在司天监内观测到的，在骑官星西，相当今天蝎宫星座，形状如同半个月亮，四周有光芒，亮度可以鉴别物体。后者是杨惟德观测到的。这星本来很暗淡，他观测时忽然亮起来，星的亮度和金星差不多，四周都是光芒，颜色已达到炽白状。这是因为星的内部结构突然变化而引起爆发，亮度增加千万倍所致。杨惟德观测到这颗超新星的位置在天关星附近，相当今金牛宫星座内、所以这超新星称为一○五四年金牛座超新星。
一○○二年（咸乎五年）司天监对狮子座流星雨的观测，一○六四年（治平元年）沈括对陨星的观测，一○六六年（治平三年）司天监对哈雷彗星的观测，都很有名。沈括对这次陨星的记录也很翔实。历史上以陨星为陨铁的解释，沈括是第一人。
元代铜壶滴漏北宋的天文仪器制造也有成就。在计时仪器方面，仁宗朝有燕肃造莲花漏，在很多州使用。莲花漏就是浮漏，用两个放水壶，一个受水壶，再用两根叫“渴乌”的细管，利用虹吸原理，把放水壶中的水，逐步放到受水壶中，使受水壶中水平面高度保持恒定。相等时间内受水壶的水流速度恒定，据以测定时间。
元祐年间，苏颂和韩公廉等制造水运仪象台。这是把测量仪器的浑仪，表演仪器的浑象和计时仪器集中在一起的一项划时代创作。这个水运仪象台分三层，高三丈，上层放浑仪，中层放浑象，下层是传动机械设置部分。在报时的设置上又分五层木阁。古代以一天为一百刻，又一天有十二时辰，一夜有五更，一更有五筹（五夜）。这五层木阁都能报告出来。这个仪器用水力转动，吸收前人许多优点而发明了和钟表中相同的擒纵器，使这仪象台有节奏的按时转动，把报时、观象、测天同时表达出来。刘弇（元丰二年进士）在《龙云集》卷二《太史箴并序》一文中说：“其后筑台，别置浑仪象，激金水其下，机擎轮吞排，晦斡明至，与造化分疾徐低昂。”推崇备至。
南宋改历，以宁宗朝杨忠辅的统天历为冠。统天历定一回归年的长度是365.2425日，和现代通用的格列高利历相同。后来元朝的授时历也同这个数据。统天历还提出了回归年日数长度变化的法则。
绍兴年间，王及甫曾制造假天仪，见他所著的《天经》。这假天仪整个形状象一个瓮，瓮里面“钻穴为星”，把我国看不到的南天星座部分作为瓮口，瓮用柱撑起，瓮口有四柱小梯，观看时可以扶梯进去。这个瓮还有一根轴可以转动表演。元朝郭守敬造玲珑仪也是一个假天仪，是王及甫工作的继续。
金灭北宋，把纪元历也带到北方，成为金杨级编大明历的底本。一一八○年（大定二十年），赵知微重修大明历。赵知微的贡献有两条，一是对太阳视运动的计算中初步用了内插法三次差的公式。二是对日月食食限的计算用了几何方法。这都是天文计算方面进步的措施。契丹人耶律履修乙未历，没有实行。后来耶律履之子耶律楚材在元初修庚午历，庚午历内容虽十九采自赵知微的大明历，但耶律楚材在历法中提出了朴素的地球经度（里差）概念，也是我国古代天文学上的一项创见。又据《金史·天文志》，兴定五年（一二二一年）司天台内还有女真族天文学家夹谷德玉担任天象观测工作。
金朝从北宋得到的天文仪器，放在法物库内搁置了二十多年。一一五四年（贞元二年）始交司天台管理。贞祐南渡后没有搬回开封。又因当时铜的缺乏，在开封也没有造新的浑仪。据《金史·章宗纪》，承安四年（一一九九年）有丑和尚进浮漏、水称、影仪、简仪等图，当时“命有司依式造之。”浮漏即指莲花漏。水称在北宋水运仪象台中约相同于天衡。影仪和简仪的内容不详（可能为后来郭守敬造简仪和景符时所据）。
明昌年间，张行简又造星丸漏，比较新颖。星丸漏北宋叫辊弹漏刻，很少记载，相传是后唐僧人文浩所发明。利用一铜丸，通过四个曲折的孔道，从上放入自下落出，保持恒定速度而测定时刻，在行军和旅途中应用。后来元朝都城用的碑漏，也是星丸漏的一种。又据《金史·章宗纪》，泰和四年（一二○四年）司天台长行张翼曾进《天象传》。长行是司天台内的散职官名，《天象传》当是天象记录的专书。
元朝天文学以郭守敬等人编制授时历为其高潮。清代所编《畴人传·郭守敬传》说：“推步之术，测与算二者而已。简仪、仰仪、景符、几之制，前此言测候者未之及也；垛叠招差、勾股弧矢之法，前此言算造者弗能用也。先之以精测，继之以密算，上考下求，若应准绳，施行于世，垂四百年。可谓集古法之大成，为将来之典要者矣。”这不独是对郭守敬等人的评价，也是我国古代天文学的总结。测是观测，代表仪象；算是历算，代表历法。先通过观测实践，再通过计算实践，所得结论是“若应准绳”，便以为法。一二八○年（至元十七年）授时历编成，郭守敬等人在给忽必烈的奏报中说：自西汉三统历到北宋纪元历共一千一百八十多年，历法改了七十次，其中新创法的有十三家。从纪元历到至元十七年又一百七十多年，授时历考正凡七事，新创法又五事。按授时历中考正七事都是对天文数据的重新测定。包括冬至时刻、回归年长度、太阳的位置、月亮的位置、交食的辰刻、二十八宿距度和太阳出入时刻。其中测二十八宿距度比北宋崇宁年间观测的还要精细。回归年长度则采用了统天历的数据而加以详细证明。创法五事都是对天文计算的改革，可归纳为两点，一是全面用内插法三次差计算并定出公式，即所谓“垛叠招差”。二是引进了球面直角三角形法，即所谓“立浑比量”。
授时历的完成主要归功于郭守敬在仪象观测上的贡献。在天文仪器制造上郭守敬确有惊人的创造力。他十五六岁时即致力于这方面的工作，一直到大德年间将近七十高龄还造天文钟呈进。专研于此，达半个世纪。郭守敬在天文仪器制造方面勇于创新，力求提高精确度和切合实用。元以前的浑仪上有七八个大小的环，环环相套，在观测上妨碍视线。郭守敬造简仪以简化浑仪，只保留了两套观测用环，一个是测量赤道坐标，一个是测量地平坐标。元以前的圭表高八尺，郭守敬造高四十尺的铜表比旧有的表高五倍，这样对测量日影长度的相对误差可减少到五分之一，测量的精确度大为提高。又在高表上设置了景符，能测量到太阳圆面中心的精确位置。他又造七宝灯漏、柜香漏、屏风香漏等计时设置，都是根据不同要求而制造使用的。
元朝在天文学上还有一项重要的成就，即一二七九年（至元十六年）的大规模纬度测量。这次测量在二十七个观测站举行，地理纬度从北纬15°到65°。观测 河南登封元代观星台的结果在陕西行省、河南行省和中书省直辖地的十四个观测点用纬度值来比较，平均误差在半度以内。可见观测的精细可贵。
数学与天文学关系密切的数学，宋元时代也很发达，出现了好几位有成就的数学家。北宋有贾宪，南宋末有秦九韶和杨辉，金末有李冶，元初有朱世杰。秦、杨、李、朱是金元之际数学上的四大家。
贾宪是天文学家楚衍晚年的学生，做过右班殿直和左班殿直。时在沈括之前。王洙《谈录》上说：“贾宪运算亦妙，有书传于世。”贾宪在数学上的发明有二：一是开方作法本源图，就是指数为正整数的二项式定理系数表，从商除、平方、立方、四次方一直到六次方的系数列成一个图，世称贾宪三角形。比西方同样的巴斯加三角形要早六百年。二是增乘开方法，是解一元多次方程求正根的一种简便方法。这种方法也比西方为早。商除是一次，平方是二次（是面积），立方是三次（是体积），这都容易理解。再进一步碰到四次是什么，要突破这一点，确实很非凡，开四次方可以，则开多次方便可类推了。贾宪为我国古代代数学的发展奠定了基础。
贾宪以后，沈括在数学上也做了些工作。一项叫会圆术，就是已知弓形的弦和圆径求弧长。在我国历史上首先提出孤线与直线的关系，但沈括的结论还是一近似公式（这公式元朝郭守敬等人撰授时历时用到它）。又一项叫隙积术，用到一种高阶等差级数求和的方法。沈括还发明了指数相乘的法则。物理学上凹面镜成倒像的解释，沈括说箩家叫“格术”。天文学上推算五星运动的顺逆留合，沈括说算家叫“缀术”。测量学上的审方面势，沈括说算家叫“喜术”。当时对待数学和其他科学的关系，于此可见。
秦九韶，南宋未普州安岳人。早年曾在杭州从隐君子受数学。一二四七年（淳枯七年）著《数书九章》一书。他在著作中发展了贾宪的增乘开方法，解一个一元十次方程式，并附有算图。算图中列算式如层层剥笋，秩序井然，所以现在还有人把增乘开方法叫“秦九韶程序”。秦九韶还发明了整数论中一次同余式组的普遍解法，这就是闻名世界的中国剩余定理。
金代，数学上发明了天元术。大约金中时开始流行，之后得到迅速的推进。一一八四年（大定二十四年），平阳毕履道为了校订地理书用到当时流行的算法。又有平阳人蒋周著《益古》一书，记录了天元术。还有金都水监颁印的《河防通议》（约在明昌年间）也有算法讲到天元术。蒋周这部书已伏，《河防通议》中的算法可以从元人引用中得知。最早的天元术比较简单，立出算式只是解一个一元二次方程。天元术发明后，平阳、太原、东平、真定等地区广为传播。
天元术以“元”代表未知数X，以“太”代表常数项。列式时把元字写在算码的右侧，如11元即表示2x，或单写太，如11太也同。写了元便不写太，写了太便不写元。方程式的各项是从下而上，即太在元下，太是常数项，元是X项，元上是X2项，再上是X3项等等。太下是1/X（即X-1）项，再下是X-2项等等。也有记法从上而下恰恰相反。在用算筹排列时，正数用红色筹。负数用黑色筹。用算码时，正负数也用红黑色区别，但为了书写方便，可在算码的个位数加一斜撇，如-2作■，-231作‖川卜。天元术的方法一般是根据问题中已有条件，立天元一（x）为未知数（所求数），最后列出方程式，解方程得数。至于解方程式在一元三次以上，就要用到贾宪的方法。
金末在真定府一带流传的一部数学著作叫《洞渊测圆》，指演算勾股容圆（直角三角形的内接圆）算题共有十三问。李冶根据此书加以推广，又集天元术的大成，写出了他的名著《测圆海镜》。
天元术出现后，很自然地发展为天地二元木，天地人三元术和天地人物四元术。这大概已是元代的事了。
现在流传下来的元代数学著作有：《锦囊启源》、《透廉细草》、《丁巨算法》（一三五五年），只存辑本；《算法全能集》、《详明算法》、《算学启蒙》（一二九九年）、《四元玉鉴》（一三○三年）存有足本。后两书都是朱世杰所撰。朱世杰是元朝数学家的代表，也是当时世界上杰出的数学家之一。
朱世杰在数学上的贡献主要是发明四元术和多种高阶等差级数求和方法。他是一位数学教习，周游湖海二十余年。他的数学实践活动大约在元朝初期。由天元术发展到四元术是当时数学演算中的必然结果。四元术以天地人物表示四个未知数，天在下，地在左，人在右，物在上，中间是太。和天元术的表示法相类，太（常数项）下面是天的一次方、二次方等等，左边是地的一次方、二次方等等，右边是人的一次方、二次方等等，上面是物的一次方、二次方等等。如果天与地相乘则放在左下方各位置，地物、物人、人天相乘类似。只有不相邻的天物（上下）、地人（左右）相乘各项，则放在相应的夹缝内。四元术的计算方法用四元消法，把四个元经过剔消，最后剩下一个元。这个元如果不是天元，可以易位。然后用天元术的解法，求得答案。《四元玉鉴》的一篇序文上说：“上升下降，左右进退。互通变化，乘除往来。用假象真，以虚问实。错综正负，分成四式。”这种数学思想的形成是经过了比较复杂的思辩过程。在我国古代数学中明确提出数学“用假象真，以虚问实”，这还是第一次。
朱世杰的多种高阶等差级数求和方法，古代叫垛积术。他以茭草垛（即一加二加三加四……）为母垛，推演出各种不同方式的垛而求其积。其名称有英草落一形、三角落一形、撤星更落一形等十多种。朱世杰在垛积命名和演算上都掌握了演绎归纳的初步方法，他演算的结果和推导的公式都很准确。朱世杰这方面的工作，在当时的世界上也是先进的。
由于手工业生产的发达，商业上交换的频繁，宋元时代实用算术方面也有很大的进展。第一是发明了除法口诀。第二是出现了完整的算码。第三是计算工具由筹算发展为珠算。
简易乘除法在唐中叶已有人注意。北宋初徐仁美设“增成立一”法，沈括说：“增成一法，都不用乘除，但补亏就盈而已。假如欲九除者增一便是，八除者增二便是。”九除增一和八除增二就是后来的九一下加一和八一下加二等句。同时，宋初的应天历内提到身外除一、身外除三等，身外除一指除数是十一，身外除三指除数是十二。可知除法口诀在宋初已开始有了萌芽。这一新生事物很快为广大人民所掌握，到南宋末和元初，除法九归的口诀便全部成熟了。二一添作五、三一三十一等句在计算技术中传诵开来。又在田亩计算中发明了飞归。在斤两换算中，创造出斤求两和两求斤炔。记录简易乘除法的专书应推南宋末杨辉的著作。杨辉是钱塘人，著有《杨辉算法》，对后来省算工作的推广影响很大。
南宋出现了算码，关键是零符号的发明。南宋蔡沈的《律吕成书》内，把118098用文字表示为十一万八千□□九十八，这□□即代表空百。画方时一快便变成○了 。大约江南在南宋未，北方在金末元初，数学著述中都出现了○的符号。零的发现是数学史上一件大事。北宋司马光《潜虚》中曾经以×表示四。这样我国算码的初步形体是|||川 乂 ò■■■义，后来书写ò变成8，义变为夂为文。这就是后世所说的苏州码子字。在阿拉伯数码字推广使用以前，我国数学上的演算，商业上的会计都用这种算码。
元代已普遍使用算盘。刘因《静修先生文集》中有算盘诗。元剧中也见算盘。元末明初陶宗仪的《辍耕录》已论算盘珠。近年发现洪武辛亥（一三七一年）金陵王氏勤有书堂新刊《对相四言杂字》（看图识字书）有算盘图，十档，上二珠下五珠。这是目前发现最早的珠算算盘图。这部《对相四言杂字》中图绘的服装纯是元代式样，知此书的租本当在元代。书中还有算子图，算子即算筹。《水浒传》中所称的算子也即这种算筹。由此看来，元朝到明初仍是筹算和珠算并用时代，大概到明中叶以后，便废弃筹算而专用珠算。
宋朝天文学的发展可分为三个阶段。北宋初到神宗前，历法以崇天历为代表，主要成就是超新星的观测；神宗朝到北宋末，历法以纪元历为代表，主要成就是水运仪象台的制造；南宋时代以编撰统天历为著名。
北宋初，用后周王朴的钦天历。钦天历在天体运动的计算中提出了等加速运动的公式，是准确的。仁宗朝用崇天历前后达四十年。著名的天文学家楚衍参与崇天历的编撰。在司天监任职四十多年的天文学家杨惟德，在他的著述中曾一再介绍崇天历。崇天历的天文数据较接近天文实际。至和元年（一○五四年）四月朔 有一次日全食。当时在汴京观测这次日食是“日食既，至申乃见，食九分之余”。用崇天历推算食甚时间在申正一刻二十分，食分为九分半弱，与观测所得几乎相同。北宋又有纪元历，是天文学家姚舜辅等所编撰，它的求赤道坐标变换为黄道坐标的计算方法比较简易。纪元历中还引进了四次方程式的算法。它的各项天文数据多为金大明历和元授时历所采用。北宋沈括提出了十二气历的编制方法，虽没有实行，但在历法史上无疑是一项卓越的成就。
北宋的天象观测很有成绩。对天空三十一大区（即三垣：紫微垣、太微垣、天市垣和二十八宿）恒星位置的观测共进行了六次。大中祥符、景祐、皇祐、元丰、绍圣和崇宁年间各进行过一次。元丰时的观测被画成星图，见于苏颂的《新仪象法要》和黄裳的天文图。一二四七年（淳祐七年）黄图在乎江府复刊，即现存的苏州天文图。崇宁年间观测到的记录，部分载入纪元历内，所测二十八宿距度星的平均误差绝对值只有0°.15，已很精密。
江苏苏州南宋石刻《天文图》 北宋有两次超新星的观测，一次是一○○六年（景德三年），一次是一○五四年（至和元年）。前者是在司天监内观测到的，在骑官星西，相当今天蝎宫星座，形状如同半个月亮，四周有光芒，亮度可以鉴别物体。后者是杨惟德观测到的。这星本来很暗淡，他观测时忽然亮起来，星的亮度和金星差不多，四周都是光芒，颜色已达到炽白状。这是因为星的内部结构突然变化而引起爆发，亮度增加千万倍所致。杨惟德观测到这颗超新星的位置在天关星附近，相当今金牛宫星座内、所以这超新星称为一○五四年金牛座超新星。
一○○二年（咸乎五年）司天监对狮子座流星雨的观测，一○六四年（治平元年）沈括对陨星的观测，一○六六年（治平三年）司天监对哈雷彗星的观测，都很有名。沈括对这次陨星的记录也很翔实。历史上以陨星为陨铁的解释，沈括是第一人。
元代铜壶滴漏北宋的天文仪器制造也有成就。在计时仪器方面，仁宗朝有燕肃造莲花漏，在很多州使用。莲花漏就是浮漏，用两个放水壶，一个受水壶，再用两根叫“渴乌”的细管，利用虹吸原理，把放水壶中的水，逐步放到受水壶中，使受水壶中水平面高度保持恒定。相等时间内受水壶的水流速度恒定，据以测定时间。
元祐年间，苏颂和韩公廉等制造水运仪象台。这是把测量仪器的浑仪，表演仪器的浑象和计时仪器集中在一起的一项划时代创作。这个水运仪象台分三层，高三丈，上层放浑仪，中层放浑象，下层是传动机械设置部分。在报时的设置上又分五层木阁。古代以一天为一百刻，又一天有十二时辰，一夜有五更，一更有五筹（五夜）。这五层木阁都能报告出来。这个仪器用水力转动，吸收前人许多优点而发明了和钟表中相同的擒纵器，使这仪象台有节奏的按时转动，把报时、观象、测天同时表达出来。刘弇（元丰二年进士）在《龙云集》卷二《太史箴并序》一文中说：“其后筑台，别置浑仪象，激金水其下，机擎轮吞排，晦斡明至，与造化分疾徐低昂。”推崇备至。
南宋改历，以宁宗朝杨忠辅的统天历为冠。统天历定一回归年的长度是365.2425日，和现代通用的格列高利历相同。后来元朝的授时历也同这个数据。统天历还提出了回归年日数长度变化的法则。
绍兴年间，王及甫曾制造假天仪，见他所著的《天经》。这假天仪整个形状象一个瓮，瓮里面“钻穴为星”，把我国看不到的南天星座部分作为瓮口，瓮用柱撑起，瓮口有四柱小梯，观看时可以扶梯进去。这个瓮还有一根轴可以转动表演。元朝郭守敬造玲珑仪也是一个假天仪，是王及甫工作的继续。
金灭北宋，把纪元历也带到北方，成为金杨级编大明历的底本。一一八○年（大定二十年），赵知微重修大明历。赵知微的贡献有两条，一是对太阳视运动的计算中初步用了内插法三次差的公式。二是对日月食食限的计算用了几何方法。这都是天文计算方面进步的措施。契丹人耶律履修乙未历，没有实行。后来耶律履之子耶律楚材在元初修庚午历，庚午历内容虽十九采自赵知微的大明历，但耶律楚材在历法中提出了朴素的地球经度（里差）概念，也是我国古代天文学上的一项创见。又据《金史·天文志》，兴定五年（一二二一年）司天台内还有女真族天文学家夹谷德玉担任天象观测工作。
金朝从北宋得到的天文仪器，放在法物库内搁置了二十多年。一一五四年（贞元二年）始交司天台管理。贞祐南渡后没有搬回开封。又因当时铜的缺乏，在开封也没有造新的浑仪。据《金史·章宗纪》，承安四年（一一九九年）有丑和尚进浮漏、水称、影仪、简仪等图，当时“命有司依式造之。”浮漏即指莲花漏。水称在北宋水运仪象台中约相同于天衡。影仪和简仪的内容不详（可能为后来郭守敬造简仪和景符时所据）。
明昌年间，张行简又造星丸漏，比较新颖。星丸漏北宋叫辊弹漏刻，很少记载，相传是后唐僧人文浩所发明。利用一铜丸，通过四个曲折的孔道，从上放入自下落出，保持恒定速度而测定时刻，在行军和旅途中应用。后来元朝都城用的碑漏，也是星丸漏的一种。又据《金史·章宗纪》，泰和四年（一二○四年）司天台长行张翼曾进《天象传》。长行是司天台内的散职官名，《天象传》当是天象记录的专书。
元朝天文学以郭守敬等人编制授时历为其高潮。清代所编《畴人传·郭守敬传》说：“推步之术，测与算二者而已。简仪、仰仪、景符、几之制，前此言测候者未之及也；垛叠招差、勾股弧矢之法，前此言算造者弗能用也。先之以精测，继之以密算，上考下求，若应准绳，施行于世，垂四百年。可谓集古法之大成，为将来之典要者矣。”这不独是对郭守敬等人的评价，也是我国古代天文学的总结。测是观测，代表仪象；算是历算，代表历法。先通过观测实践，再通过计算实践，所得结论是“若应准绳”，便以为法。一二八○年（至元十七年）授时历编成，郭守敬等人在给忽必烈的奏报中说：自西汉三统历到北宋纪元历共一千一百八十多年，历法改了七十次，其中新创法的有十三家。从纪元历到至元十七年又一百七十多年，授时历考正凡七事，新创法又五事。按授时历中考正七事都是对天文数据的重新测定。包括冬至时刻、回归年长度、太阳的位置、月亮的位置、交食的辰刻、二十八宿距度和太阳出入时刻。其中测二十八宿距度比北宋崇宁年间观测的还要精细。回归年长度则采用了统天历的数据而加以详细证明。创法五事都是对天文计算的改革，可归纳为两点，一是全面用内插法三次差计算并定出公式，即所谓“垛叠招差”。二是引进了球面直角三角形法，即所谓“立浑比量”。
授时历的完成主要归功于郭守敬在仪象观测上的贡献。在天文仪器制造上郭守敬确有惊人的创造力。他十五六岁时即致力于这方面的工作，一直到大德年间将近七十高龄还造天文钟呈进。专研于此，达半个世纪。郭守敬在天文仪器制造方面勇于创新，力求提高精确度和切合实用。元以前的浑仪上有七八个大小的环，环环相套，在观测上妨碍视线。郭守敬造简仪以简化浑仪，只保留了两套观测用环，一个是测量赤道坐标，一个是测量地平坐标。元以前的圭表高八尺，郭守敬造高四十尺的铜表比旧有的表高五倍，这样对测量日影长度的相对误差可减少到五分之一，测量的精确度大为提高。又在高表上设置了景符，能测量到太阳圆面中心的精确位置。他又造七宝灯漏、柜香漏、屏风香漏等计时设置，都是根据不同要求而制造使用的。
元朝在天文学上还有一项重要的成就，即一二七九年（至元十六年）的大规模纬度测量。这次测量在二十七个观测站举行，地理纬度从北纬15°到65°。观测 河南登封元代观星台的结果在陕西行省、河南行省和中书省直辖地的十四个观测点用纬度值来比较，平均误差在半度以内。可见观测的精细可贵。
数学与天文学关系密切的数学，宋元时代也很发达，出现了好几位有成就的数学家。北宋有贾宪，南宋末有秦九韶和杨辉，金末有李冶，元初有朱世杰。秦、杨、李、朱是金元之际数学上的四大家。
贾宪是天文学家楚衍晚年的学生，做过右班殿直和左班殿直。时在沈括之前。王洙《谈录》上说：“贾宪运算亦妙，有书传于世。”贾宪在数学上的发明有二：一是开方作法本源图，就是指数为正整数的二项式定理系数表，从商除、平方、立方、四次方一直到六次方的系数列成一个图，世称贾宪三角形。比西方同样的巴斯加三角形要早六百年。二是增乘开方法，是解一元多次方程求正根的一种简便方法。这种方法也比西方为早。商除是一次，平方是二次（是面积），立方是三次（是体积），这都容易理解。再进一步碰到四次是什么，要突破这一点，确实很非凡，开四次方可以，则开多次方便可类推了。贾宪为我国古代代数学的发展奠定了基础。
贾宪以后，沈括在数学上也做了些工作。一项叫会圆术，就是已知弓形的弦和圆径求弧长。在我国历史上首先提出孤线与直线的关系，但沈括的结论还是一近似公式（这公式元朝郭守敬等人撰授时历时用到它）。又一项叫隙积术，用到一种高阶等差级数求和的方法。沈括还发明了指数相乘的法则。物理学上凹面镜成倒像的解释，沈括说箩家叫“格术”。天文学上推算五星运动的顺逆留合，沈括说算家叫“缀术”。测量学上的审方面势，沈括说算家叫“喜术”。当时对待数学和其他科学的关系，于此可见。
秦九韶，南宋未普州安岳人。早年曾在杭州从隐君子受数学。一二四七年（淳枯七年）著《数书九章》一书。他在著作中发展了贾宪的增乘开方法，解一个一元十次方程式，并附有算图。算图中列算式如层层剥笋，秩序井然，所以现在还有人把增乘开方法叫“秦九韶程序”。秦九韶还发明了整数论中一次同余式组的普遍解法，这就是闻名世界的中国剩余定理。
金代，数学上发明了天元术。大约金中时开始流行，之后得到迅速的推进。一一八四年（大定二十四年），平阳毕履道为了校订地理书用到当时流行的算法。又有平阳人蒋周著《益古》一书，记录了天元术。还有金都水监颁印的《河防通议》（约在明昌年间）也有算法讲到天元术。蒋周这部书已伏，《河防通议》中的算法可以从元人引用中得知。最早的天元术比较简单，立出算式只是解一个一元二次方程。天元术发明后，平阳、太原、东平、真定等地区广为传播。
天元术以“元”代表未知数X，以“太”代表常数项。列式时把元字写在算码的右侧，如11元即表示2x，或单写太，如11太也同。写了元便不写太，写了太便不写元。方程式的各项是从下而上，即太在元下，太是常数项，元是X项，元上是X2项，再上是X3项等等。太下是1/X（即X-1）项，再下是X-2项等等。也有记法从上而下恰恰相反。在用算筹排列时，正数用红色筹。负数用黑色筹。用算码时，正负数也用红黑色区别，但为了书写方便，可在算码的个位数加一斜撇，如-2作■，-231作‖川卜。天元术的方法一般是根据问题中已有条件，立天元一（x）为未知数（所求数），最后列出方程式，解方程得数。至于解方程式在一元三次以上，就要用到贾宪的方法。
金末在真定府一带流传的一部数学著作叫《洞渊测圆》，指演算勾股容圆（直角三角形的内接圆）算题共有十三问。李冶根据此书加以推广，又集天元术的大成，写出了他的名著《测圆海镜》。
天元术出现后，很自然地发展为天地二元木，天地人三元术和天地人物四元术。这大概已是元代的事了。
现在流传下来的元代数学著作有：《锦囊启源》、《透廉细草》、《丁巨算法》（一三五五年），只存辑本；《算法全能集》、《详明算法》、《算学启蒙》（一二九九年）、《四元玉鉴》（一三○三年）存有足本。后两书都是朱世杰所撰。朱世杰是元朝数学家的代表，也是当时世界上杰出的数学家之一。
朱世杰在数学上的贡献主要是发明四元术和多种高阶等差级数求和方法。他是一位数学教习，周游湖海二十余年。他的数学实践活动大约在元朝初期。由天元术发展到四元术是当时数学演算中的必然结果。四元术以天地人物表示四个未知数，天在下，地在左，人在右，物在上，中间是太。和天元术的表示法相类，太（常数项）下面是天的一次方、二次方等等，左边是地的一次方、二次方等等，右边是人的一次方、二次方等等，上面是物的一次方、二次方等等。如果天与地相乘则放在左下方各位置，地物、物人、人天相乘类似。只有不相邻的天物（上下）、地人（左右）相乘各项，则放在相应的夹缝内。四元术的计算方法用四元消法，把四个元经过剔消，最后剩下一个元。这个元如果不是天元，可以易位。然后用天元术的解法，求得答案。《四元玉鉴》的一篇序文上说：“上升下降，左右进退。互通变化，乘除往来。用假象真，以虚问实。错综正负，分成四式。”这种数学思想的形成是经过了比较复杂的思辩过程。在我国古代数学中明确提出数学“用假象真，以虚问实”，这还是第一次。
朱世杰的多种高阶等差级数求和方法，古代叫垛积术。他以茭草垛（即一加二加三加四……）为母垛，推演出各种不同方式的垛而求其积。其名称有英草落一形、三角落一形、撤星更落一形等十多种。朱世杰在垛积命名和演算上都掌握了演绎归纳的初步方法，他演算的结果和推导的公式都很准确。朱世杰这方面的工作，在当时的世界上也是先进的。
由于手工业生产的发达，商业上交换的频繁，宋元时代实用算术方面也有很大的进展。第一是发明了除法口诀。第二是出现了完整的算码。第三是计算工具由筹算发展为珠算。
简易乘除法在唐中叶已有人注意。北宋初徐仁美设“增成立一”法，沈括说：“增成一法，都不用乘除，但补亏就盈而已。假如欲九除者增一便是，八除者增二便是。”九除增一和八除增二就是后来的九一下加一和八一下加二等句。同时，宋初的应天历内提到身外除一、身外除三等，身外除一指除数是十一，身外除三指除数是十二。可知除法口诀在宋初已开始有了萌芽。这一新生事物很快为广大人民所掌握，到南宋末和元初，除法九归的口诀便全部成熟了。二一添作五、三一三十一等句在计算技术中传诵开来。又在田亩计算中发明了飞归。在斤两换算中，创造出斤求两和两求斤炔。记录简易乘除法的专书应推南宋末杨辉的著作。杨辉是钱塘人，著有《杨辉算法》，对后来省算工作的推广影响很大。
南宋出现了算码，关键是零符号的发明。南宋蔡沈的《律吕成书》内，把118098用文字表示为十一万八千□□九十八，这□□即代表空百。画方时一快便变成○了 。大约江南在南宋未，北方在金末元初，数学著述中都出现了○的符号。零的发现是数学史上一件大事。北宋司马光《潜虚》中曾经以×表示四。这样我国算码的初步形体是|||川 乂 ò■■■义，后来书写ò变成8，义变为夂为文。这就是后世所说的苏州码子字。在阿拉伯数码字推广使用以前，我国数学上的演算，商业上的会计都用这种算码。
元代已普遍使用算盘。刘因《静修先生文集》中有算盘诗。元剧中也见算盘。元末明初陶宗仪的《辍耕录》已论算盘珠。近年发现洪武辛亥（一三七一年）金陵王氏勤有书堂新刊《对相四言杂字》（看图识字书）有算盘图，十档，上二珠下五珠。这是目前发现最早的珠算算盘图。这部《对相四言杂字》中图绘的服装纯是元代式样，知此书的租本当在元代。书中还有算子图，算子即算筹。《水浒传》中所称的算子也即这种算筹。由此看来，元朝到明初仍是筹算和珠算并用时代，大概到明中叶以后，便废弃筹算而专用珠算。
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