“权力指数比是什么？”总统问。

“权力指数也称为归一化的权力指数。如果我们用百分比来分析投票过程中各投票者的权力所占的比例。对于n个人，每人的权力指数为c1，c2 ……cn ，则投票者j的权力指数比为：rj= cj/（c1 ＋c2＋…… cn）

由上面这个公式我们就能算出各个投票者的权力指数比例。一个极端的情况是，如果一投票者拥有51或以上的股份则他拥有100%的权力，而其他投票者拥有的权力为0%。”班扎夫说。

“哦，原来是这样。这确实不太公平。有什么办法改变这样的状况？”总统问。

“可以的，总统先生。”班扎夫说，“您有什么具体要求？”

“首先，人数多的地区，权力要大些；其次，人数少的地区也能有一定的权力。当然，最好不要作太多的修改，否则很难实施。大致是这些吧。”总统想了想说：“不过现在首要的是要增加人数少的三个地区的权力。否则太不公平了。”

“要绝对公平很难，重新分配票还要经过各省份之间进行平衡和争吵。”班扎夫边说边思考，“这样吧，我给出一个简单的方案。”

班扎夫考虑了一下说：“多给Alice地区两张票吧。这样就能使得其他票数不变的情况下增加三个弱小地区的权力。”

“这样行吗？”总统怀疑地说。

“可以的，”班扎夫解释说，“原来的总票数为31，获得16张票就赢。而现在的总票数为33，获得17票才能赢。这样权力指数就发生了变化。”

“怎么个变化法？”

“让我计算一下。”

班扎夫掏出笔认真地计算起来，以确保无误。过了一会儿，班扎夫说：“这个方案看样子能行得通。”说着，他拿出计算结果给总统看：

表3-2 （17；12，9，7，3，1，1）体制下Saha国各省权力指数

地区 票数 权力指数 权力指数比（%）

Alice 12 18 34.615

Bline 9 14 26.923

Cinda 7 14 26.923

Duho 3 2 3.846

Eho 1 2 3.846

Frida 1 2 3.846

总统看着班扎夫给他的各省份权力指数的结果，自言自语地说：“对于Frida来说，它在‘Alice-Duho-Eho-Frida’和‘Bline-Cinda-Frida’两个联盟中起关键作用，即它的加入能使这两个联盟获胜，若背离则使得它们落败。因此它的权力指数为2。Duho和Eho和Frida都得到了改进。”

总统对班扎夫说：“它确是一个改进了的可行的方案。但不知道能不能说服国会给以通过。我试试办吧。谢谢你了。”

在Saha国的权力分配故事中所提到的权力指数，是班扎夫于1965年提出的。夏普里-舒比克权力指数提出最早（1954），但不太直观，班扎夫给出了一种不同的计算权力的方法，由这个方法得到的权力指数被学术界称为班扎夫权力指数。

班扎夫权力指数的意思是，某个投票者的权力体现在，他能通过自己加入一个要失败的联盟而使得它获胜，这同时也意味着他能通过背弃一个本来要胜利的联盟而使得它失败。这就是说，他是这个联盟的“关键加入者”；而他的权力指数就是他是关键加入者的获胜联盟的个数。

我们用一个简单的例子来说明如何计算班扎夫权力指数。有A、B、C三个人，A有两票，B、C各有一票，这三个人组成一个群体，对某项议题进行投票，假定此时赢的规则服从“大多数”规则，即若获得3票，即得到通过。他们各自的权力有多大？

对各自的权力指数进行分析时，起作用的是获胜联盟的“关键加入者”。对于该问题，获胜的联盟有：AB，AC，ABC。而对于这三个可能获胜的联盟来说，A在AB、AC和ABC中均是关键加入者，所以他的权力指数是3。而对于B来说，他是联盟AB的关键加入者，所以他的权力指数为1。而对于C来说，他与B一样只是一个联盟的关键加入者，即联盟AC，他的权力指数是1。因此A、B、C的权力指数之比是3∶1∶1。

在前面“独裁的”妻子的幽默中，如果用权力指数来分析，获胜联盟有两个：妻子-丈夫；妻子。而在这两个联盟中，妻子是这两个联盟的关键加入者，即她的权力指数为2。丈夫不是任何联盟的关键加入者，他的权力指数为0。

由这两个例子可看到，权力指数和票数不是一回事。权力指数是真正权力的一个反映，而票数只是一个虚假的指标而已。因此，我们在设计具体的投票制度、分配票数时要考虑并计算权力指数。我们要在票数上体现各个投票者以我们设计的权力。