正文

3.贡献与所得相等

博弈生存 作者:潘天群


如果说纳什均衡是非合作博弈中的核心概念的话,那么我们可以说,夏普里值(Shapley Value)是合作博弈(或联盟博弈)中的最重要的概念。具体地说,夏普里值是合作性博弈的解,如同纳什均衡是非合作性博弈的一个解。

理性主体往往为了利益往往与其他理性主体订立协议,形成联盟。这个联盟形成后能够获得更大的好处,即取得更大的利益。若不带来更大的利益,联盟是不可能形成的。如何分配联盟形成后获得的好处呢?这是合作性博弈所关心的。

考虑这样一个联盟博弈。有一个三人财产分配问题:假定财产为100万元,假定这100万元在三个人之间进行分配。a拥有50%的票力,b拥有40%的票力,c拥有10%的票力。规则规定,当超过50%的票认可了某种方案时,才能获得整个财产,否则三人将一无所获。

我们看到,任何单独一个人的票力都不超过50%,从而不能单独决定财产的分配。要超过50%的票力必须要形成联盟。也就是说,在这个例子中任何人的权力都不是决定性的,也没有一个人是无权力的或权力为0。

此时财产应当按票力分配吗?如果是的话,即a,b,c的财产分配为:50%,40%,10%。但如果这样分配的话,c可以提这样的方案,a:70%,b:0,c:30%。这个方案能被a,c接受,因为对a,c来说这是一个比按票力分配方案有明显的改进的方案,尽管b被排除出去,但是a,c的票力构成大多数(60%)。

在这样的情况下,b会向a提出这样一个方案:a:80%,b:20%,c:0。此时a和b所得均比刚才c提出的方案要好,但c成了一无所有,但a、b票力总和构成大多数(90%)……这样的过程可以一直进行下去。

在这个过程中,理性的人会形成联盟ab,ac或abc。但哪个联盟能够形成呢?最终的分配结果应该是怎样的呢?

夏普里(L.S.Shapley)提出了一种分配方式,根据他的理论求得的联盟者的先验实力被称为夏普里值(Shapley Value)。

夏普里,一个在二战中与中国人民并肩与日本侵略者作战的老兵,对中国人民有深厚的感情。1944-1945年,他随美军部队转战于中国西南边境,笔者在2001年的一次国际博弈论大会上与他聊天时,他神秘地谈起40多年前他在中国的情形,他还记得当年学的许多中国话,如“美国兵”、“你好”、“谢谢”,等等。二战结束后,他回到美国接受高等教育,并从事数学研究。他于1953年提出的夏普里值,随着合作博弈在博弈论中的地位的提升而日显重要。

夏普里值是这样的一个值:在各种可能的联盟次序下,参与人对联盟的边际贡献之和除以各种可能的联盟组合。

在财产分配问题上,我们可以写出各种可能排列,并计算各个排列下各个参与人的边际贡献。

表4-1财产问题中各种排列下各个参与人的边际贡献(单位:万元)

排列 abc acb bac bca cab cba

a 0 0 100 100 100 100

b 100 0 0 0 0 0

c 0 100 0 0 0 0

由表3-3,我们得出a、b、c、的夏普里值分别为:

Φa=400/6(万元),Φb=100/6(万元),Φc=100/6(万元)

夏普里值反映了“平均的”边际贡献,这样它可以用来划分财产。按照夏普里值我们可以将财产分为a:200/3,b:100/6,c:100/6,单位为万元。


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