几乎没有什么文章会让人更震惊的了。设想地球以飞快的速度在萎缩：每隔25年地球就会被分成两半，一半仍在原来的轨道上运行，另一半旋转着奔向太阳，一路上燃烧着和爆炸着。人们必须带着他们的孩子、祖父母和他们能够带走的任何神圣财产，争先恐后地、踩踏着奔向仅存的那一半地球。更糟糕的是，他们不知道哪一半地球可以逃过一劫。马尔萨斯的预言略微不同，但几乎也是这么可怕。与地球被劈成两半和其中一半燃烧着不同，马尔萨斯描述的是人口以爆炸般的速度在膨胀和蔓延，而食物的供给却如蜗牛爬行般缓慢。利用本杰明·富兰克林提供的美国数据，马尔萨斯断言人口数量趋向于每25年翻一番。当然，增速可能还要更快。事实上，马尔萨斯选择了相对保守的数字。富兰克林报告说，在某些村庄只用15年人口就能翻一番。虽然没有从富兰克林那里得到食物供给的可靠数据作为支持，马尔萨斯还是得出了结论：食物的产出从来跟不上人口增长的步伐。马尔萨斯假定，未经核对的人口数量是按几何级数增长，而食物仅仅是以算术级数在增长。

这些级数意味着什么呢？几何级数（或指数级数）表示一个数字不断地被一个常数所乘，例如持续的双倍。算术级数只是一个数字加上一个常数。马尔萨斯举了一个很好的例子：如果现在的人口是10亿，人的数量会按照1、2、4、8、16、32、64、128、256这样的数列增长，而食物则按照1、2、3、4、5、6、7、8、9这样的数列增加。假如起初每个人有一篮子食物，200年以后，256个人只能一起分享9篮子食物。自那开始再过100年以后，4 096个人不得不分享13篮子食物。

几何级数非常可观，令人惊讶，而且会产生误解。举几个例子可以说明问题。如果斯科特想借丹尼斯的电视观看1月21日举行的超级杯美式橄榄球比赛，并且许诺在1月1日那天付给他1美分，自此以后直到比赛开始每天付给他的钱会加倍，斯科特必须非常有钱，或者丹尼斯傻到会接受“大富翁”的游戏币。到比赛开球之时，斯科特欠丹尼斯的钱会达到10 485.76美元。银行的复利也可以用来说明几何级数。回想一下荷兰人花24美元从印第安人手里买下曼哈顿岛的故事吧。如果印第安人把这笔钱存放到一个复利账户中，他们的后代现在能够支付得起回购该岛的费用，并且包括帝国大厦、林肯中心以及自从17世纪以来在曼哈顿修建的所有“地面建筑”。

正如我们在下面的案例中所看到的那样，复利也能被曲解。1981年，美国国会通过了一项个人退休金账户许可令的提案，实质上是允许人们每年在一只基金中存入接近2 000美元，直到退休，而这笔钱是免税的。广告立即出现在了报纸上，讲述只要每年储蓄2 000美元，一个25岁的人在退休时会很容易地获得100多万美元的退休金。图表显示，在神奇复利的助推下，美钞堆积如山。但是，这则广告下面一些非常小的印刷字讲述的才是真实的故事。银行假定在以后的40年里利率为12%，但并没有告诉读者，如果12%的年利率保持40年的话，那么通货膨胀也会同样肆虐40年，抵消掉你的大部分收入。设想节俭的雅皮士40年来埋头自己的书桌，与外面的世界很少接触。在2021年，他终于退休了。他颤抖的手里抓着已经泛黄的1981年的广告，拨通了银行的电话，让他们安排一辆武装押运的运钞车以便载运他的财产。银行职员解释说他有近1 000万美元外加一台和面机在等着这个雅皮士。这个雅皮士喜极而泣，他可以靠他的和面机来养活自己了。他听到咔哒一声，话务员插话进来：“过一会儿，请存款40万美元。”