阿贝尔及阿贝尔奖（代前言）

阿贝尔奖是以19世纪挪威天才数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）的姓氏命名的世界性数学大奖。

阿贝尔1802年8月5日生于芬岛（另一说克里斯蒂安桑）；1829年4月6日卒于弗鲁兰。阿贝尔的父亲是村子里的基督教牧师，家庭贫困。阿贝尔中学时代，得到一位很有才华的数学教师霍尔姆博（Bernt Holmb¨oe）的教诲，这引导他走上了数学研究的道路。从16岁开始，阿贝尔在霍尔姆博的指导下学习了牛顿（Isaac Newton）、欧拉（Leonhard Euler）、拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）、勒让德（Adrien-Marie Legendre）等人的数学著作，被同学称为“数学迷”。阿贝尔18岁时，父亲便去世了，本来就贫苦的家庭失去了唯一的经济支柱，全靠着几位教授和邻居的资助维持生计。在19岁那年，阿贝尔进入了奥斯陆大学学习。

阿贝尔相当早慧。当他还是一个中学生的时候，就按照高斯（Carl Friedrich Gauss）对二项式方程的处理方法探讨了高次方程的可解性问题。起初，他认为自己解一般的五次方程已获成功，但很快就发现了自己的错误。进大学后，他继续研究这一问题，终于在1824年撰写了一篇题目为“论代数方程，证明一般五次方程不可解性”的论文，该论文严格地证明了一般五次方程不能像低次方程那样用根式求解，从而解决了困惑数学家300年之久的一个难题，这时他年仅22岁。他自己出资印发了这篇论文。他在该论文的开头写道：“许多数学家全身心致力于寻求代数方程的一般解，只有几位数学家试图证明解的不可能性。然而，如果我没弄错的话，他们都还未成功。所以我才敢奢望数学家们善意地接受这篇论文。”阿贝尔的这篇论文促使数学家们进一步思考什么样的特殊方程能用根式求解，最终推动了伽罗瓦群的发现和代数方程根式可解问题的彻底解决。法国数学家勒让德说：“这项工作是阿贝尔的永恒纪念碑。”另外，阿贝尔在1823年还发表了其他一些论文，其中包括《用定积分解某些问题》。该论文首次给出了积分方程的解，从而为积分方程在19世纪末20世纪初的全面发展开辟了道路。

阿贝尔深刻的数学思想超出了挪威数学界所能理解的水平，因此他渴望出访德、法等国。在朋友和教授们的支持下，经过和政府的多次交涉，他才获取了一笔数目不大的出国奖学金。

在柏林期间，吸收了高斯、柯西（Augustin-Louis Cauchy）注重严格证明推导的学风，对分析中逻辑混乱、概念不清以及证明中的有失严格深为不满。他曾尖锐地指出：“人们在分析中确实发现了惊人的含糊不清之处。这样一个完全没有计划和系统的分析，竟有那么多人研究过它，真是奇怪。最坏的是，大家从来没有严格地对待过分析。”他给出了二项式定理对于所有复指数都是正确的证明，从而奠定了幂级数收敛的一般理论，也是第一次给出这种级数展开式成立的可靠证明，从而解决了在实数和复数范围内分别求幂级数的收敛区间和收敛半径的问题。他还纠正了柯西关于连续函数的一个收敛级数的和一定连续的错误，并给出了例子：…。虽然此级数的每一项都是连续的，但是，在一定条件下，此级数的和是不连续的。他还利用一致收敛的思想，正确地证明了“连续函数为项的一个一致收敛级数的和，在收敛域内是连续的”，可惜他当时未能从中把一致收敛的性质抽象概括出来，形成普遍的概念。阿贝尔的这些工作有力地推进了分析学的严格化。

阿贝尔在柏林结识了一位热情的业余数学爱好者克雷勒（August Leopold Crelle），克雷勒对阿贝尔的才华十分敬佩。阿贝尔则鼓励克雷勒创办《纯粹与应用数学学报》，这是世界上专载数学研究的第一本学术刊物。该刊物前3期便登载了阿贝尔22篇文章，他的《论代数方程，证明一般五次方程不可解性》就发表在创刊号上。阿贝尔把他关于五次方程的论文寄给哥廷根大学的高斯，想借此作为晋谒高斯的通行证。但不知什么原因，高斯根本未看（高斯死后30年，人们发现其遗物中的这篇论文还没有启封），阿贝尔觉得受到冷遇，决心不再见高斯，而径自前往巴黎。

在巴黎，他会见了柯西、勒让德、狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）等人，但这些会面也是流于敷衍，因为《纯粹与应用数学学报》这本新刊物当时在法国几乎无人知道，而阿贝尔又太腼腆，不好意思在陌生人面前谈论自己的著作，因此人们并没有真正认识到他是天才。在巴黎期间，阿贝尔完成了论著《论一类广泛的超越函数的一般性质》。在这一论著中研究了∫R（x，y）dx类型的积分，其中R（x，y）是x，y的任意有理函数，而y表示x的代数函数。这时，特别要区别下列两种情况：若y表示三次和四次多项式的平方根，则积分为椭圆积分；若y表示高于四次多项式的平方根，则积分称为超椭圆积分。形如∫R（x，y）dx的积分，在数学中称为阿贝尔积分。阿贝尔当时把该论著呈给法国科学院，希望这能引起法国数学家们对他的注意，勒让德和柯西被任命为评审人。但不幸的是，柯西把稿件带回家时，不知放在什么地方了，完全把它忘记了。阿贝尔空等了一段时间，终因旅资用尽而不得不返回柏林。

在柏林，他完成了关于椭圆函数的一篇开创性论文，之后就回到了挪威。他原希望回国后能被聘为大学教授，但希望又一次落空。于是阿贝尔只能靠给私人补课，或当代课教师谋生，生活极其困苦，用他自己的话来说“穷得就像教堂里的老鼠”。在这样艰苦的条件下，他仍坚持科研工作，并写了多篇关于椭圆函数的论文。阿贝尔和雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）是公认的椭圆函数论的奠基人，他发现了椭圆函数的加法定理、双周期性，并引进了椭圆积分的反演，从而开创了椭圆函数这一数学分支。后来，阿贝尔的声誉随着他的研究成果逐渐传到欧洲的所有数学中心，但他却身处消息闭塞之地，毫无所知。更不幸的是，阿贝尔因肺病于1829年去世，终年不足27岁。死后的第三天，柏林大学给他的数学教授聘书才寄到挪威，这也是后世数学家无不为之深深惋惜的事情—“迟到的聘书”。当德国数学家雅可比看到阿贝尔《论一类广泛的超越函数的一般性质》后，于1829年3月14日写信给勒让德质问：“阿贝尔先生的这个发现是什么样的发现啊！……有谁看见过同样的东西吗？这个发现也许是我们这个世纪最伟大的发现，在两年前就给你们科学院了，可你们的同事们怎么会没有注意到呢？”挪威政府得知了这个质问，也让其驻巴黎的领事就这份遗失的手稿提出了外交抗议。为此，柯西在1830年把它翻了出来，经过讨论后，法国科学院于1830年决定授予阿贝尔数学大奖。然而，阿贝尔此时已经去世了。

阿贝尔的一生十分短促，却在数学史上留下了光辉的篇章。数学中以他的姓氏命名的概念和定理有：阿贝尔群、阿贝尔变换、阿贝尔求和法、阿贝尔函数、阿贝尔范畴、阿贝尔扩张、阿贝尔定理、阿贝尔遍历定理、阿贝尔连续性定理、阿贝尔方程、阿贝尔积分方程、阿贝尔微分、阿贝尔积分、阿贝尔射影算子、阿贝尔问题……著名数学家埃尔米特（Charles Hermite）曾说：“阿贝尔留下来的问题，够数学家忙150年。”克雷勒在他主编的《纯粹与应用数学学报》里写道：“阿贝尔在他的所有著作里都打下了天才的烙印，表现出了不起的思维能力。我们可以说他具有能够穿透一切障碍深入问题的根底，具有似乎是无坚不摧的气势……他又以品格纯朴高尚以及罕见的谦逊精神出众，使他的人品也像他的天才那样受到不同寻常的爱戴。”德国著名数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）说：“阿贝尔做出了永恒、不朽的东西！他的思想将永远给我们的科学以丰饶的影响。”^［66］

早在1899年，挪威著名数学家、李群发现者S·李（Sophus Lie）得知诺贝尔奖中没有数学奖，他就建议挪威设立阿贝尔奖，并得到挪威国王奥斯卡二世（Oscar II）的支持，但不幸S·李突然去世，导致阿贝尔奖未能在20世纪设立。

为了缅怀阿贝尔对数学的杰出贡献，为了纪念阿贝尔诞辰200周年，2001年，挪威首相斯托尔滕贝格（Jens Stoltenberg）提议成立一个以阿贝尔之名尼尔斯冠名的“尼尔斯纪念基金会”。基金额度为2亿挪威克朗（约合3400万美元），以设立面向世界的阿贝尔奖。这个提议得到了挪威政府的支持，并经挪威议会投票通过。

设立此奖的宗旨在于提高数学在社会中的地位，激发青少年学习数学的兴趣，同时也是弥补诺贝尔奖中未设数学奖的不足。此奖可以颁发给终身成就，也可以颁发给具体问题的解决。通常，阿贝尔奖是颁发给一个人的，但也可由合作者分享，没有国籍、年龄等的限制。

阿贝尔奖获得者，最初由挪威科学院任命5名委员组成遴选委员会（其中2人来自挪威科学院，其余3人分别来自挪威皇家社会科学院、挪威高等教育委员会、奥斯陆大学）来遴选。现在，改由世界上5位一流数学家组成的遴选委员会来遴选，遴选委员会的委员由欧洲数学会和国际数学联盟提名，委员会成员任期两年，其主席任期四年，他们的姓名是公开的。阿贝尔奖得主的提名过程也是公开的，任何人可以提名任何人（自我提名除外），遴选委员会考虑被提名的候选人（也可以由委员会提名候选人），并向挪威科学和文学院推荐获奖者，最后由尼尔斯纪念基金会董事会作出正式决定。

挪威政府宣布：自2003年开始，每年一次向对数学作出杰出贡献的数学家颁发阿贝尔奖，奖金为600万挪威克朗（约合75万美元）。挪威官方以最高规格举办颁奖典礼，由挪威国王亲自颁奖，并由政府在阿克什胡斯城堡举办宴会。

美国著名数学家、国际数学联盟前秘书长格里菲思（P．Griffiths）说：“阿贝尔奖的设立是数学界的一件大事。首先，自然是因为阿贝尔始终是最伟大的数学家之一，……其次，奖金的数目至少说明数学与物理、化学、医学、经济学等处于同等地位。这将给这个领域带来大好时机，数学正进入一个黄金时代。”^［78］

一个奖项是否让世人崇敬，最重要的是要看其得主的成就、贡献是否众望所归。在2003—2018年的16年中，共评出了19位阿贝尔奖获奖者［在这19位阿贝尔奖得主中：有5人是菲尔兹奖（其中一人获得的是菲尔兹特别贡献奖）和沃尔夫数学奖的双奖获得者，有1人是菲尔兹奖获得者，有7人是沃尔夫数学奖获得者，有1人是诺贝尔奖获得者，有1人是陈省身国际奖获得者，有1人是高斯奖获得者］，他们都是当代数学大师。

阿贝尔有一句名言：“在我看来，一个人如果要在数学上有所进步，就必须向大师学习。”

为了使我国数学爱好者了解这些数学大师的经历、风采、治学态度、治学方法、主要成就以及他们对数学的一些精辟见解，并向这些数学大师学习，使我国早日成为数学强国，在数学界一些朋友的建议和热忱帮助下，我们根据有关资料，编辑了此书。

我们在这里要特别感谢：挪威科学与文学院；丹麦奥尔堡大学劳森（M．Raussen）教授，挪威卑尔根大学邓达斯（B．I．Dundas）教授和挪威科学技术大学斯考（C．Skau）教授；《数学译林》的有关译者。本书的主要内容都是根据官方公告和对每届阿贝尔奖得主的访谈录及其译文编辑而成的。

本书在编辑过程中还得到了南开大学张伟平院士、北京大学陈维桓教授、北京航空航天大学陈迪荣教授、西南交通大学高隆昌教授、北方工业大学邹建成教授、北京联合大学张静教授的帮助；田廷彦先生、上海科学技术出版社热忱地提供了有关资料；上海科技教育出版社及本书的策划编辑王洋、王乔琦为本书的编辑、出版付出了辛勤的劳动，在此一并致以诚挚谢意。

由于我们水平所限，书中若有不当之处，恳请本书中介绍的数学大师们及数学界的同仁和读者指正。

编者

2018年12月