在17世纪的头几十年里，人类对地球与天体的认识大大加深了，这一进程通常被称为“科学革命”。大学过去非常倚重亚里士多德的哲学，这种倚重此时正在迅速减弱，虽然就整个欧洲而言，亚里士多德的自然哲学与伦理学作为本科生阶段的课程，一直要按部就班地讲授到17世纪末。在亚里士多德的自然哲学体系中，物体的运动是“按照因果关系”用物体所拥有的四元素(土、水、气、火)的多少来解释的：物体因为自身特定元素的重量优势或升或降，向着各自的“自然”位置运动。人们会习惯性地将自然哲学与数学或光学、流体静力学和和声学等“混合数学性”科目进行对比。在这些科目中，可用数字来测量外部量，如长度和持续时间等。不过，这一切都是在这样一个宇宙观中进行的：地球位于中心，周围则环绕着太阳和行星。

第一次认识上的巨变发生在天文学上。哥白尼的日心体系尽管遭到天主教会和许多新教派别的正式反对，但还是获得了新的皈依者。在1596到1610年之间，约翰尼斯·开普勒和伽利略·伽利雷^[1]的著作引发了一场天文学革命。开普勒在其1596年发表的《宇宙的秘密》中假定了一个以太阳为中心的宇宙体系。在这个体系中，行星之间的距离可以通过在正立体中内切行星的轨道而求得。1609年，开普勒出版了巨著《新天文学》，提出了一个引人入胜的关于行星运动的理论，其中就含有后来以“开普勒三定律”而闻名的行星运动定律的头两条(行星沿椭圆轨道运行，而太阳则位于其轨道的一个焦点上；所有的行星围绕着太阳在相等时间内扫过同等的面积)。

1609年，伽利略将多个镜头组合在一起，发明了一台能够放大物体的仪器。他将这台“望远镜”转向太空，发现木星周围有一系列卫星绕行，就像行星绕着太阳运行一样。1610年，伽利略出版了《星际使者》。在这本小书中，伽利略还宣布月球上有山峦和峡谷，而银河是由成千上万颗恒星组成的。1613年，伽利略证明太阳也有黑点，而当时的人们普遍认为，天是“永不腐败的”。1619年，开普勒出版《宇宙谐和论》，提出自己的第三定律，指出对任何行星的轨道而言，行星到太阳的平均半径的三次方跟行星公转周期的二次方的比值不变。伽利略的一系列发现彻底推翻了人们认为天完美无缺的看法，而开普勒定律将在牛顿论证《原理》的关键命题中发挥至关重要的作用。

伽利略对17世纪科学的贡献并不限于他在天文学上的工作。1632年，伽利略勇敢地出版了《关于两大世界体系的对话》，该书试图证明哥白尼的世界体系。就是因为这本书，他被软禁在家，直到1642年去世。不过，就在软禁期间，他还是设法于1638年出版了光辉著作《关于两门新科学的谈话和数学证明》。亚里士多德认为，抛出的物体首先会经历“剧烈”的运动，然后便被“自然”运动所取代，而自然运动会促使抛射体中的土粒子向下运动，回到它们的自然位置。亚里士多德还认为，物体下降的速度和物体的重量成正比。然而，伽利略却在《谈话》中宣布抛射体的运动轨迹是抛物线，并且接近地球表面的物体所受的垂直分力可以用一条定律来表示。根据这一定律，任何重量或“体积”的物体垂直降落的总距离与降落时间的平方成正比。伽利略还清楚地指出，重力的物理起因并不重要，而且要揭示出来的确极其困难，这又一次和亚里士多德的整个学说体系相反。伽利略揭示了地球上的好些现象都是可以用数学来描述的，从而为力学这门现代科学奠定了基础。牛顿在其同名巨著《数学原理》中展示了他的辉煌成就，旨在表明“数学原理”也是更多自然现象的基础所在。

现代科学的另一个重要方面则是由弗朗西斯·培根勾勒出来的。在伽利略和开普勒发展天文学和力学的同时，培根也在提倡这样一种思想：理解自然的正确方法是直接研究自然，而不应通过亚里士多德的著述(或其他任何文献)来进行。培根认为自然哲学上的进步只能通过协作项目来实现，并由此提到了新近发现美洲和太平洋的壮举，赞扬了艺术与贸易所取得的进步。对迥然不同的事实进行观察，会增加人们对这个可见世界的认识，而设计精良的实验能将自然世界分解为各个组成部分，从而得出有关大自然真正秘密的信息。培根甚至还赞扬了炼金术士用以分析自然的方法，不过他同时对炼金术士们的封闭生活方式和模糊的行话感到悲哀。

并非所有的反亚里士多德主义者都认同伽利略的方案就是发现科学真理的正确方法。勒内·笛卡儿提出了一种复杂的解释，用以描述这个物理世界背后的各种微结构。笛卡儿认为，我们周围的世界中存在的那些机械现象也在不可见的层面上运作着。在他的机械哲学中，一个不可见的微观世界配有许多钩子和螺丝，将各种元素凝聚在一起。根据笛卡儿的解释，一种巨大的太阳“涡旋”通过运动压出各种物质，对地球上的现象产生重大影响，从而产生了诸如磁、热、重力和电等大规模现象。笛卡儿认同伽利略的反亚里士多德学说(同时还秘密地认同伽利略和开普勒信奉的哥白尼学说)，但他又指责这个意大利人的“建构缺乏基础”，声称科学解释需要采用自然界的微观机械建构模块。我们将会看到，这就是青年牛顿从事的最有影响的工作，虽然它很快就成了对手的批评对象。

数学新手

最初，牛顿接受的是剑桥大学本科生所受的标准教育。他得阅读大量规定的神学文献和亚里士多德的著作。他对严肃数学的兴趣，则很可能是巴罗于1664年春的卢卡斯数学讲座激发的。根据牛顿后来的记述，大约就在巴罗开讲的那会儿，他学习了威廉·奥特雷德的《数学之钥》和笛卡儿的《几何学》。在1664到1665年的冬天，牛顿认真研究了笛卡儿的分析数学(以及荷兰数学家弗兰斯·范·斯库藤在其编译的笛卡儿的《几何学》中所加的评注)、弗朗索瓦·韦达的代数学著作，以及约翰·沃利斯的“不可分割法”。牛顿利用我们所说的笛卡儿坐标几何学，掌握了定义各种圆锥曲线(圆、抛物线、椭圆和双曲线)的方程。尽管牛顿最初低估了欧几里得在《几何原本》中的成就，但他后来非常钦佩欧几里得和阿波罗尼奥斯的伟大成就，视他们的方法为从事数学工作的模板。

到1664年年底，牛顿找到了求曲线任意点上的“曲度”或斜率的方法。这就是所谓的切线问题。詹姆斯·格雷果里和勒内·弗朗索瓦·德·斯卢斯等数学家当时正致力于研究这一问题。笛卡儿发明了一种通过找出一个大圆在接触曲线的点上的曲率半径来确定曲线“法线”(即垂直于切线的直线)的方法。不久，牛顿便改进了这一方法。他利用近距离两点之间的法线，让这两点之间的距离变得任意小，由此便能求出“表达”任意圆锥曲线的方程中任意点的切线，还可求出相关方程的最大值和最小值。牛顿将这个过程加以推广，用来表述我们现在称为微分法的基本要素。根据微分法，切线的斜率代表着曲线在任何一点的变化率。

图3　笛卡儿的涡旋：围绕着太阳S的太阳系，以FFFFGG为界。其他星系也以恒星为中心。

早在1663到1664年的冬天，牛顿已开始研究沃利斯有关曲线截面下面积求法的分析。沃利斯的方法是将曲线下的区域分割为无穷小的截面来计算。到沃利斯1655年出版《无穷算术》的时候，人们已经知道对于基本方程式x = yⁿ，其曲线下0到a之间的面积是aⁿ⁺¹/n+1。这就是有名的“求面积法”或“求积法”，也就是我们现在称为“积分法”的雏形。但对于更复杂的方程式来说，则需要使用不同的技巧，例如利用无穷级数。在无穷级数中，随着一系列项达到极限，就能够接近一个终值。沃利斯发展了这一思想，他对抛物线和双曲线求积，发现了一系列接近π值的项。

在1664到1665年的冬天，牛顿认真研究了沃利斯的著作，并提出了能够取得同样结果的另一种方法。不久，牛顿对沃利斯的方法加以提炼，开始考虑利用分数幂(涉及平方根、立方根和其他根)来求曲线面积的方法。牛顿还超越了沃利斯，发现了求与圆面积相等的正方形面积的正确级数。他进而拓展了从这一成功中得到的洞察力，最终证明了广义二项式定理(既适用于整数幂也适用于分数幂)，可以用来展开任何(a+x)^n/m形式的方程式。在1676年致莱布尼茨的一封信中，牛顿首次公开宣布了这一发现。