第二节 垛积术

　　对于一般等差数列和等比数列，我国古代很早就有了初步的研究成果。北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创“隙积术”，开始研究某种物品（如酒坛、圆球、棋子等）按一定规律堆积起来求其总数问题，即高阶等差级数求和问题，并推算出长方台垛公式。南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，丰富和发展了沈括的隙积术成果，提出了一些新的垛积公式。沈括、杨辉等所讨论的级数与一般等差级数不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差相等。对这类高阶等差级数的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”。朱世杰对于垛积术作了进一步的研究，并得到一系列重要的高阶等差级数求和公式，这是元代数学的又一项突出成就。例如，朱世杰在《四元玉鉴》中提出了著名的三角垛公式：

　　

　　

　　

　　其中p=1，2，3，4…。在这一串三角垛公式中，后式恰好是把前式结果作为一般项的新级数的求和公式。又如岚峰形垛公式：

　　

　　

　　也是很精彩有趣的。他还研究了更复杂的垛积公式及其在各种问题中的实际应用。总结和归纳出这些公式并不是一件轻而易举的事情，是有相当难度的。朱世杰究竟如何得到这些公式，由于史料缺载，至今尚不清楚。朱世杰《四元玉鉴》所载“古法开七乘方图”，比杨辉所引贾宪“开方作法本源图”（贾宪三角）多出了平行于两斜边的许多斜线，有些学者推测，从这些斜线相连的数字关系可以得出一些有意义的结论，其中包括推导出某些垛积公式①。

　　

　　①杜石然：《朱世杰研究》，载《宋元数学史论文集》，科学出版社1966年版。