第二十二章 数学

　　宋元时期数学是中国古代数学发展的高峰，其成就和总体水平都处于世界数学的前列。元代的杰出数学家有朱世杰、李冶、王恂和郭守敬等，名著有《测圆海镜》（1248）、《益古演段》（1259）、《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。流传或部分流传至今的数学著作还有《丁巨算法》，何平子《详明算法》，贾亨《算法全能集》，《透帘细草》，《锦囊启源》等。重要成就是天元术和四元术、垛积术、招差术、弧矢割圆术和球面三角法、筹算、歌诀的完备和珠算的发明等。

　　 第一节 天元术和四元术

　　在古代数学中，列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。宋代以前，数学家要列出一个方程，如唐代王孝通运用几何方法列三次方程，往往需要高超的数学技巧、复杂的推导和大量的文字说明，这是一件相当困难的工作。随着宋代创立的增乘开方法的发展，解方程有了完善的方法，这就直接促进了对于列方程方法的研究，于是，又出现了中国数学的又一项杰出创造——天元术。据史籍记载，金、元之际已有一批有关天元术的著作，如蒋周《益古》、李文一《照胆》、石信道《钤经》、刘汝锴《如积释锁》等（朱世杰《四元玉鉴》祖颐后序），可惜都已失传。但在稍晚的李冶和朱世杰的著作中，都对天元术作了清楚的阐述。李冶（1192—1279），原名李治，字仁卿，号敬斋，真定栾城（今河北栾城县）人。生于大兴府（今北京市）。曾为金代词赋科进士，钧州（今河南禹州市）知州，元翰林学士知制诰同修国史。晚年隐居于河北元氏县封龙山下，收徒讲学并勤于著述，与元好问、张德辉交往密切，时人尊称“龙山三老”。他在数学专著《测圆海镜》（12卷）中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段。《益古演段》（3卷）则是他为天元术初学者所写的一部简明易晓的入门书。李冶还著有《敬斋古今黈》40卷、《敬斋文集》40卷、《壁书丛削》12卷、《泛说》40卷等，前一种今有辑本12卷，后三种已失传。朱世杰，字汉卿，号松庭，生平不详。据《四元玉鉴》莫若序称：“燕山松庭朱先生，以数学名家周游湖海二十余年矣。四方之来学者日众，先生遂发明《九章》之妙，以淑后学。为书三卷……名曰《四元玉鉴》”，由此可见，朱世杰当时已是声名卓著的数学家和教育家。所著《算学启蒙》3卷，内容包括常用数据、度量衡和田亩面积单位的换算、筹算四则运算法则、筹算简法、分数、比例、面积、体积、盈不足术、高阶等差级数求和、数字方程解法、线性方程组解法、天元术等，是一部较全面的数学启蒙书籍。《数学启蒙》曾传入朝鲜和日本，产生了一定的影响。这部书，清代刻印所依据的是朝鲜翻刻本。朱世杰的代表作《四元玉鉴》记载了他所创造的高次方程组的建立与求解方法（四元术），以及他在高阶等差级数求和（垛积术）、高阶内插法（招差术）等方面的重要成就。美国科学史家乔治·萨顿（G.Sarton）在他的名著《科学史导论》中指出：《四元玉鉴》是“中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”。除李冶、朱世杰外，赡思《河防通议》中也有天元术在水利工程方面的应用。

　　天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现在代数学中列方程的方法基本一致，但写法不同。它首先要“立天元一为某某”，相当于“设x为某某”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式。然后，通过类似合并同类项的过程，得出一个一端为零的方程。天元术的表示方法不完全一致，按照李冶的记法，方程a0xn+a1xn-1…+an-1x+an=0可写成如下形式：

　　

　　

　　其中a0，a1，…，an表示方程各项系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字（或在一次项旁边记一“元”字），“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂。方程列出后，再按增乘开方法求正实根。天元术的出现，提供了列方程的统一方法，其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。而在欧洲，只是到了十六世纪才做到这一点。此外，宋代创立的增乘开方法又简化了求解数字高次方程正根的运算过程。因此，在这一时期，列方程和解方程都有了简单明确的方法和程式，中国古典代数学发展到了比较完备的阶段。不仅如此，继天元术之后，数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组，如李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最后又由朱世杰创立了四元术。“四元术”是多元高次方程组的建立和求解方法。朱世杰在《四元玉鉴》中用天、地、人、物代表四个未知数，然后根据已知条件推导出四元（或者二元、三元）高次方程组。这个方程组的表示方法是将其各项系数摆成一个方阵，其中常数项右侧仍记一“太”字，四个未知数一次项的系数分置于常数项的上下左右，高次项系数则按幂次逐一向外扩展，各行列交叉处分别表示相应未知数各次幂的乘积。解这个用方阵表示的方程组时，要运用消元法，经过方程变换（实际上也就是矩阵变换），逐步化成一个一元高次方程，再用增乘开方法求出正根。在欧洲，直到十八世纪法国数学家贝佐

　　

　　 从四元术的表示法来看，这种方阵形式不仅运算繁难，而且难以表示含有四个以上未知数的方程组，带有很大的局限性。因此，中国代数学在这一时期确实发展到了顶峰，如果要再前进一步，那就需要另辟蹊径，突破新的难关了。后来，清代的代数学的进展是通过汪莱、李锐等对于方程理论的深入研究和引进西方数学这两条途径来实现的。