第五节 方程论

　　对方程论中高次方程实根个数判定问题的研究，是乾隆嘉庆时期中国数学家的重要成果之一。宋元时代数学家贾宪、秦九韶等，创造和发展了“增乘开方法”，解决了高次方程正实根的求解问题，但是对于该方程是否还有其他的根，方程根与系数之间的关系，则没有进行过探讨。清代数学家李锐、汪莱、焦循经常通信或在一起讨论数学和天文学问题，当时被誉为“谈天三友”。汪莱（1768—1813），字孝婴，号衡斋，安徽歙县人，著作有《衡斋遗书》9卷和《衡斋算学》7册。首先提出一个方程可能存在不只一个正根，并通过与李锐的讨论，提出一套“审有无”（即判别方程是否存在正根）的方法。他的结论包括：对于二次方程x2-px+q=0，

　　

　　

　　

　　

　　

　　判定二次方程与三次方程存在正实根的判别式p2-4q≥0与4p3-27q≥0是一致的。汪莱研究了xn-pxm+q=0类型的高次方程有无正实根的判定方法，上述两种判别式是这种判定方法的特例①。李锐（1769—1817），字尚之，号四香，江苏元和（今苏州市）人，著作有《李氏算学遗书》等。他在与汪莱讨论过程中，进一步发展了汪莱的成果，总结出下列几条规律：设有方程a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=0，则1.方程系数有一次变号时，此方程有一个正根；2.方程系数有二次变号时，此方程可有两个正根；3.方程系数有三次变号时，此方程有三个或一个正根；4.方程系数有四次变号时，此方程可有四个或两个正根。其中2，4这两种情形，方程可能不存在正根，但在李锐《开方说》中不予讨论②。这些结论与现在所谓“笛卡儿符号法则”是一致的。此外，李锐还首次提出了方程的重根问题。他还指出：方程“不可开，是为无数。凡无数必两，无无一数者”①。当时虽然还没有虚根的概念，但他的这一结论为高次方程可能存在虚根（或复数根）和虚根成对的情况，以及方程根的个数问题等代数学基本问题，提供了进一步研究的广阔余地。李锐和汪莱关于高次方程实根个数判定问题的研究成果，虽然在时间上晚于西方，但他们突破了宋元数学的原有范围，开辟了方程理论研究的新方向，特别是他们在中国数学史上最早开创了带有纯理论性质的研究课题，并独立取得了一定的成就，这无疑应该给以充分的肯定。

　　

　　①汪莱：《衡斋算学》第5册，第7册。

　　②李锐：《开方说》，见《李氏算学遗书》。

　　①李锐·《开方说》，见《李氏算学遗书》。