第六节 初等函数的幂级数展开式

　　明末《崇祯历书》中已经介绍了三角函数表的编造方法，即所谓六宗、三要和二简法。这种造表法利用普通三角函数关系公式推算，相当繁琐，并且也不能算出任意角的三角函数值。此后陆续有人研究这一问题，但未取得重大突破。清初康熙年间，法国传教士杜德美（P.Jartoux，1668—1720）曾介绍三个无穷级数公式，当时称之为“圆径求周”、“弧背求正弦”和“弧背求正矢”，相当于圆周率π的展开式以及正弦和正矢的幂级数展开式：

　　

　　

　　

　　

　　

　　梅瑴成将其记载在《梅氏丛书辑要》的附录《赤水遗珍》中。这些公式提供了计算任意角度三角函数值的简捷算法，受到当时数学家的欢迎。但由于杜德美没有给出这三个公式的证明，因而造成了理解上的困难。首先对此进行深入研究的是蒙古族数学家和天文学家明安图。明安图，字静庵，蒙古族正白旗人，生年不详，约卒于1763年。毕生在钦天监从事天文工作，曾任时宪科五官正，晚年升任钦天监监正。他经过30余年的不懈努力，把中国古代数学与引进的西方数学结合起来，创造了割圆连比例法和级数回求法，终于圆满地证明了上述三个公式，并且推导出另外六个公式，其中较重要的有反正弦和反正矢的幂级数展开式：

　　

　　

　　

　　

　　明安图的数学专著是《割圆密率捷法》4卷。这部书在他生前未能完成，后由其学生和儿子续成出版（1774年）。此外，他还曾参加编著《历象考成》、《历象考成后编》和《仪象考成》等重要天文学著作，并曾两次亲赴新疆地区测绘地图，在天文学和地图测绘学等方面作出了杰出的贡献。

　　清代关于无穷级数的研究是一个相当活跃的领域。明安图之后，董祐诚（1791—1823）在《割圆连比例图解》中又采用不同方法得到了关于弧、弦、矢三者关系的四个公式，简化了明安图的结果。项名达（1789—1850）在《象数一原》中，又把这四个公式简化成两个公式。项名达还和戴煦（1805—1860）共同发现了指数为有理数的二项式定理。在《外切密率》中，戴煦首先得到了正切、余切、正割、余割、反正切、反正割等三角函数和反三角函数的幂级数展开式。李善兰也进行了这方面的研究，但用的是他所发明的“尖锥术”。徐有壬（1800—1860）的《测圆密率》和《造表简法》，则对于清代数学家关于三角函数展开式的研究成果，作了较为全面的总结。此外，戴煦的《对数简法》和李善兰的《对数探源》，给出了自然对数的幂级数展开式。由此可见，清代数学家已经基本上解决了初等函数的幂级数展开式问题。虽然这些成果在时间上大多晚于西方数学家的同类成果，但这都是中国数学家刻苦钻研独立作出的贡献，并且其中用到的数学方法已经有了微积分思想的萌芽，从而为顺利接受解析几何和微积分学等近代数学知识，实现由传统数学向近代数学的演变，奠定了重要的思想基础。

　　这一时期关于椭圆的研究也有了新进展。项名达的《椭圆求周术》及戴煦为之补作的图解，提出了正确的椭圆周长公式：

　　

　　

　　

　　

　　方法符合椭圆积分法则。并据此推导出圆周率倒数公式：

　　

　　

　　项、戴的这项工作是中国数学家关于二次曲线研究的最早的重要成果。