1.1.1 积分方程法

积分方程法(Integral Equation Methods, IEM)实现了均匀导电半空间三维大地电磁响应的数值模拟。求取张量格林函数积分时, 采用二次剖分算法解决计算中的奇异值问题, 对于含有贝塞尔函数的积分项, 利用结合连分式展开的高斯求积代替常规的快速汉克尔变换方法, 确保了张量格林函数的正确计算, 且提高了计算精度。

积分方程法把Maxwell方程变成Fredholm积分方程(Raiche, 1974; Weidelt, 1975)

方程(1.1)为电场表达式, 此方程即为著名的散射方程(Scattering Equation, SE)。其中, E0(r)为一次场, G为3×3的Green函数在1D参考介质中矩阵, Vs为(-0)不为0处的体积。通过离散化方程(1.1), 产生线性方程组, AIEX=B为复数、 密实矩阵。由此可见, IEM的主要优点为线性方程组的维数相对FDM、 FEM要小得多, 可以快速求解; 不足之处为, 解的精度严重依赖于AIE的精确度。一般来讲, AIE的精确无法得出有效保证, 并且其本身也是一项十分耗时的工作。不过, 由于计算速度快的优点, 特别是在三维电磁模型计算中, IEM被广泛地应用(Ting and Hohmann, 1981; Wannamaker, 1984; Newman, Hohmann, 1988; Hohmann, 1988; Wannamaker, 1991； Dmitriev, Newmeyanova, 1992; Xiong, 1992; Xiong, Tripp, 1995; Kaufman, Eaton, 2001)。IEM的发展趋势为快速求解三维大型、 超大型电磁模型, 由此可见, IEM是所有电磁场数值模型中的效率快速者。积分方程法主要优点为: 

(1)积分方程法只需对异常体进行剖分和求积, 不涉及微分方法中的吸收边界等复杂问题, 在三维电磁数值模拟研究中具有快速、 方便等特点, 与有限元和有限差分法相比, 这种方法在模拟有限大小的三维电磁响应时更为有效, 计算速度快, 占用内存少, 因而积分方程法近年来受到人们的关注和重视, 并取得较快的发展。

(2)由于计算机的迅速发展, 对异常体进行三维网格剖分和数值求积已变得越来越方便。同样的问题, 用计算机计算的时间比以前大大降低。IEM三维电磁响应数值模拟不再“昂贵”和“费时”, 从而可以成为一种廉价、 快速、 能推广的解释技术。

1.1.2 有限差分法

有限差分方法(Finit Difference Method, FDM)是最为古老的数值计算方法之一, 其被用于应用地球物理领域始于20世纪60代(Yee 1966; Jones, Pascoe, 1972; Dey, Morrison, 1979; Madden, Mackie, 1989), 特别是进入90年代, 交错网格被广泛用于地电磁场的分析中, 使有限差分法步入了全盛时期(Smith, Booker, 1991; Mackie 等, 1993, 1994; Wang, Hohmann, 1993; Weaver, 1994; Newman, Alumbaugh, 1995, 1997; Smith, 1996a, b; Varentsov, 1999; Champagne 等, 1999; Xiong 等, 2000; Fomenko, Mogi, 2002; Newman, Alumbaugh, 2002)。

有限差分法首先将求解区域划分为规则的网格, 其规模为M=Nx×Ny×Nz, Nx、 Ny、 Nz为直角笛卡尔坐标系的坐标轴方向的节点数, 电场与磁场被离散到节点。然后按差分原理, 以每个节点上的差商近似代替相应的偏导数, 从而得到关于节点上电场和磁场的线性方程组, AFDX=B, AFD为3M×3M的复数、 对称、 大型、 稀疏矩阵, X为3M长的各节点电场或磁场的向量, B为由jext等激励和边界条件生成的长度为3M的向量。由上可知, 有限差分的最大不足之处为, 它要求模型能够被剖分成规则的单元如四边形、 六面体等, 严重制约了其在复杂地球物理模型中的应用; 最大优点在于能够非常好地处理内部介质中电磁性差异引出的磁场与电场不连续现象, 这是由交错网格的基本性质决定。目前来说, 作为电磁数值模拟方法的主导者, 有限差分法(FDM)正处于各向同性介质模型转向各向异性介质模型的升级(Weidelt, 1999; Weiss, Newman, 2002, 2003); 正处于频率域电磁模型的模拟向时间域电磁模型模拟的空间转换, 并借助于并行技术求解(Wang, Hohmann, 1993; Wang, Tripp, 1996; Haber 等, 2002; Commer, Newman, 2004)。

我国的地球物理工作者从20世纪80年代开始研究了有限差分法正演计算问题, 卓有成效(周熙襄, 1980, 1983; 钟本善, 1986; 罗延钟, 1986)。吴小平、 徐果明等(1998)求解了三维点源场的正演问题; 段红伟等(1999)研究了有限差分的二、 三维速度层析成像技术; 裴正林等(2004)实现了三维各向异性介质中弹性波方程交错网格高阶有限差分法数值模拟; 谭捍东等(2003)用三维交错网格采样有限差分法实现了三维大地电磁正演模拟, 随后又利用有限差分方法研究了大地电磁三维正演并行算法; 徐凯军、 李桐林(2006)对垂直有限线源进行了三维地电场有限差分正演研究; 王祥春等(2007)用有限差分法模拟了地表起伏的三维地震波场。