1.1.3 有限单元法

有限单元法(Finite Element Methods, FEM)于20世纪60年代被提出, 最初用于结构力学和应力分析(齐基威次, 邱, 1967); 1965年, Winslow首先将有限单元法应用于电气工程问题; 其后, 在1969年Silvester将有限单元法推广应用到时谐电磁场问题; 1971年, Coggon发表了著名的关于电和电磁的有限单元法的论文, 拉开了有限单元法在电法勘探领域正演模拟的序幕, 他从电磁场总能量最小原理出发, 实现了二维地电断面有限单元法正演计算, 不过由于有限单元网格缺乏通用性, 计算精度和速度未能达到实用水平; 1976年Rodi发展了有限单元法的剖分方法, 采用矩形网格剖分, 以解决二维大地电磁测深正演问题, 使有限元向前发展了一大步; 1977年Rijo引入了一个通用性网格剖分方法, 使有限元正演的精度和速度得到了大幅度提高, 成为计算二维地电条件下电法/电磁法正演模拟的有效工具, 使有限单元法正式进入实用阶段。20世纪70年代末, 有限单元法在甚低频法正演(Kaikkonen, 1979)、 时间域电磁法的正演模拟(Jone 等, 1980)中得到应用; Dey和Morrison(1979)将混合边界条件引入到有限单元法的正演模拟, 使其得到进一步发展; 1978年, Pridmore等对有限单元法的三维地电断面的电法/电磁法正演问题进行论述; Wannamaker等(1984, 1985, 1986)用有限单元法模拟大地电磁中的二维地形响应, 并且编制了求解二维大地电磁响应的正演程序。Morgan(1990)详细地研究了电磁散射中的有限单元和有限差分方法; Unsworth等(1993)发表了频率域电流偶极源电磁场的2.5维有限单元法模拟; Albanese和Rubinacci(1998)利用有限单元法对三维涡流场进行了计算研究。Badea等(2001)研究了库仑规范下的可控源音频大地电磁法的有限元模拟; Pridmore等人(1981)研究了利用二次场进行三维模拟时的散度校正; Yuji Mitsuhata和Toshihiro Uchida(2004)研究了基于T-Ω的三维大地电磁有限元正演模拟; 为了解决三维大地电磁有限元法中的伪解问题, Kerry Key和Chester Weiss(2006)研究了二维大地电磁的非结构化网格的自适应有限单元法并对两种后验误差的估计进行了比较。

在国内的研究中, 我国著名的已故数学家冯康先生为有限元理论的建立做出了巨大的贡献, 在20世纪50年代独立于西方学者创立了数值求解偏微分方程的有限元方法, 形成了标准的算法形态, 并先于西方建立了严密的理论体系。20世纪80年代初, 数学家李大潜发表专著《有限元法在电法测井中的应用》, 有限单元法正式应用到电法领域, 此后, 地球物理学家周熙襄、 钟本善(1980, 1986)、 罗延钟(1986, 1987, 2000, 2006)和徐世浙(1983, 1985, 1994a, 1994b, 1995, 1996, 1997)等对有限单元法进行了深入研究, 发表和出版了一系列有限单元法在电法中应用的论文或专著, 研究领域涉及直流电法、 电磁法领域, 网格剖分也由原来的简单矩形剖分发展到三角单元和三角-矩形综合剖分。周熙襄等在二维电阻率有限单元法正演中采用混合边界条件等优化措施, 提高了计算精度和速度, 对有限单元法的发展起到了推动作用; 从20世纪80年代开始, 国内学者开始研究2.5维电磁场的数值模拟, 到目前, 已用二次场算法实现了二维地电构造上谐变电偶极子电磁场的有限单元算法、 电偶源CSAMT法二维正演的有限单元算法、 主剖面上时间域和频率域电偶源瞬变电磁场的2.5维有限单元正演模拟; 阮百尧等(2001, 2002)利用有限单元法实现了三维地电断面的正演模拟并编制了相应程序。黄临平和戴世坤(2002)研究了复杂条件下3D 电磁场有限元计算方法, 推导出了地下变电导率σ条件下计算三维电磁场的有限元单元方程的解析表达式, 采用伽辽金方法推导出了散度校正有限元方程组, 为三维电磁场的数值计算提供了一条有效的新途径。强建科(2006, 2007)深入研究了起伏地形下三维电阻率有限元正演模拟, 黄俊革(2002, 2003)实现了齐次边界条件下三维地电断面电阻率有限元的数值模拟。冯兵、 张继锋、 王永刚等人(2005, 2006)做了有限元方法探测油气藏边界的有限元数值模拟方面的研究。蔡军涛, 赵国泽等人(2007)进行了复电阻率法的二维有限元数值模拟。

不同于FDM, FEM是基于电磁场的积分形式, 它是由电磁场的微分形式通过Green等定理变换而得, 通常也称有限元法的解为微分形式的弱解, 并将定解区域剖分成规则或不规则的单元, 单元上的场由节点上的场值插值得到, 通过求泛函极值, 得到关于节点上电磁场值的线性方程组, AFEX=B, AFE为大型的对称正定、 复数、 稀疏矩阵。FEM 并不一定要求模型能够被剖分成规则单元, 如三角形与四面体单元(其被理论与实践证明可以无限度精确地模拟地球物理模型), 因此, FEM能够求解FDM不能够求解的复杂地球物理模型。解方程组求出节点上的场值后, 由插值可得到整个定解区域上的电磁场。

FEM是依据变分原理或加权余值法导出与定解问题等价的积分弱解, FEM是边值问题中数学理论最为完善的一种方法, 而且对单元形状没有要求。由于三角形和四面体单元可以足够精确地剖分复杂的电磁模型, FEM能够求解边界复杂、 地形、 介质变化大等FDM、 IEM难以求解的复杂模型, 且所形成的系数矩阵对称正定稀疏、 容易求解、 收敛性好、 占用内存少、 程序通用性强, 因此得到了广泛的研究和应用。国内外许多学者对FEM做了大量的研究, 内容包括FEM在直流电阻率、 大地电磁测深、 可控源电磁测深等方法中的应用, 内容涉及到2D、 2.5D及3D电磁场计算的基本理论、 单元及形状函数、 吸收边界条件、 线性方程组求解、 实际应用等各个方面。但FEM单元的剖分常常没有规律, 对无边界区域的求解不方便。