学会把一株树的树冠的图式与关于未来和上帝（ｔｈｅＤｉｖｉｎｅ）的语义网联 系起来，把树的根部的图式与关于过去和魔鬼的语义网联系起来。与一种甜食 或温暖的火光一起产生的各种感觉状态（ｓｅｎｓｏｒｙｓｔａｔｅｓ）的图式是善（ｇｏｏｄ）的语 义网的组成成分；而苦味和痛苦是恶（ｂａｄ）的语义网的组成成分。一个向自我或 向另一个人挑衅而产生的忧虑，很可能与关于公平和正义的语义网有关。简单 地说，首先发展起来的各种可感知的经验的表达，常常被用作脚手架，以扩大抽 象的语义术语（ｓｅｍａｎｔｉｃｔｅｒｍｓ）的意义。如果一份技术报告包含着一幅大脑的图 片，而另一份报告只展现数据，并非专业神经科学家的大学生可能会更相信前者 的结论。在判断一个因一桩严重的罪行而受到审判的人是否为精神病患者时， 如果辩护律师出示被告大脑的图片，并指出其大脑与大部分人的大脑不一样，所以不能完全为他的行为负责，这时陪审员也很容易接受律师的意见。或许这就 是为什么为普通读者写作的弦理论家（ｓｔｒｉｎｇｔｈｅｏｒｉｓｔｓ）要加上一幅图，表示一根 弦看起来可能像什么东西，即使作者们都知道用图来解释那些关于弦的数学方 程式是不可能的。作为一个成年人，我相信用言辞和用数学公式证明地圆说的 论点，但我猜想，如果新的证据使科学家们改变他们的见解，我可能被他们说服 而改变我的想法。但当我看见太空船拍摄的我们星球的图片，我对于地球是圆形的这一信念就变得不可动摇了。一图确实胜千言。

数学概念

在笛卡儿和牛顿极其成功地证明各种数学命题后，微分对三种类型的心智 工具的解释能力，在１７世纪的欧洲变得清晰。自然哲学家开始声称，各种方程 式将会取 代 各 种 图 解 和 语 义 的 描 述，这 在 任 何 时 候 都 是 可 能 的。数 学 形 式（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｆｏｒｍｓ）已经被证明在物理学和化学中极其有效。维尔纳·海森堡（ＷｅｒｎｅｒＨｅｉｓｅｎｂｅｒｇ）创造性地使用代数矩阵（ａｌｇｅｂｒａｉｃｍａｔｒｉｃｅｓ）发现了著名的测不准原理（ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，或译“不确定性原理”）。许多物理学家，包括爱因斯坦，开始时都抵制海森堡的论点，因为该论点否定了严格的决定论。难以想象，没有什么词语能够准确地描述各种矩阵所展现的物理现象。海森堡的导师尼尔斯·玻尔（ＮｉｅｌｓＢｏｈｒ）更喜欢把语义概念与电子绕着质子和中子的原子核旋转的图式结合起来思考。令人惊讶的是，玻尔的研究笔记上只有图片和词语，但没有数学计算。当玻尔在１９３９年第一次听说铀原子裂变的消息时，他试图通过想象一滴往下落的球形的水滴（代表原子核）因受到中子的轰击而变形为一颗花生的形状来理解这种惊人的现象。玻尔关于一颗被加热的原子散发出来  的光谱线和绕着它转的电子能量之间的关系的洞见，是某种直觉而不是用方程式进行运算的结果。

保罗·迪拉克（ＰａｕｌＤｉｒａｃ）也是通过数学术语来思考的一个英国的物理学家，他的一篇评论通过比较海森堡所偏爱的工具和玻尔所偏爱的工具，揭示了两者的差异。１８２６年，迪拉克曾在哥本哈根拜访过玻尔，玻尔坚持使用那些基于定性的语义概念的论点，而不是较不含糊的各种数学方程式，这使迪拉克产生了挫折感，因为后者是英国科学家认为在心理上比较容易操作而且让人感到满意得多的方法。当与玻尔一起参观一场艺术展览时，迪拉克注意到莫奈的一幅画中一条小船旁边有一点暗灰色的、模糊的颜料，于是说道：“这点是不合理的。”［３１］乔治·盖莫（ＧｅｏｒｇｅＧａｍｏｗ）是一个物理学家，在克里克和沃森描述脱氧核糖核酸的结构前就设想脱氧核糖核酸是一套编码，他提供了一个有说服力的例子，说明一个科学家所偏爱的思维工具如何得以干扰一次发现。因为对称（意思是没有改变物体形状的一次数学运算）在物理学中是一种基本概念，盖莫假定信使核糖核酸（ｍｅｓｓｅｎｇｅｒＲＮＡ）辨认脱氧核糖核酸分子，不管是从左到右还是从右到左 都不会有什么区别。然而，核糖核酸具有某种极性（ｐｏｌａｒｉｔｙ），而信使核糖核酸只从 一个方向来辨认脱氧核糖核酸的编码。所以，盖莫未能推断出该分子的正确分子 结构。尤金·威格纳（ＥｕｇｅｎｅＷｉｇｎｅｒ）是另一个通过数学结构思考问题的物理学家，他指出他的分析意味着生命形式绝对不可能从化学元素中产生。凯尔文勋爵（ＬｏｒｄＫｅｌｖｉｎ）是不是１９世纪最受尊敬的自然科学家暂不作论，但他恐吓达尔文， 说他的数学分析证明地球不可能那么古老，所以不可能支撑达尔文的理论主张。

有些儿童很难把数学表达（ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ）与较熟悉的词语的表达区分开 来。卡尔·荣格（ＣａｒｌＪｕｎｇ）曾提供了一个心理障碍（ｐｓｙｃｈｏｌｏｇｉｃａｌｂｌｏｃｋ）的例 子。他回忆起自己小时候完全没有能力接受这样一个论点：如果犪＝犫并且犫＝犮， 那么犪＝犮，因为他总是用各种语义的概念来取代各个字母的符号，并厌恶以下这种可能性：如果猫＝宠物并且宠物＝狗，那么猫＝狗。“我的智力道德反抗这些古怪的矛盾事物，这永远阻止了我理解数学。”［３２］荣格遇到的困难是可以理解的。在一个方程式中的一个字母可以代表任何种类（ｃｌａｓｓ）的一系列现象的数值，这个观念的出现还只有１２个世纪。此外，某些语言用不同的名称来称呼等量的不同性质的物体。比如，斐济（Ｆｉｊｉ）东部岛屿的居民称１００条独木舟为博拉（ｂｏｌａ），称１００颗椰子为科拉（ｋｏｒａ）。［３３］我认为人类历史上后来出现的代数学意味着，与语义表达或图式表达的操作不一样，用各种抽象的数学概念来推论的能力，不是一种生物学上已经准备好的、轻易地来自人类直觉的能力。记住，几何学的出现早于代数学许多世纪。伯特兰·罗素在１１岁第一次读过欧几里得（Ｅｕｃｌｉｄ）的书后就爱上数学的这种情况是罕见的。