矢量有限元方法或称为基于棱边的有限元方法(Edge-based FEM )将自由度赋予单元棱边而非单元节点, 使得边界条件的加载非常方便; 在尖劈顶点不会出现奇点; 合理选择基函数, 直接模拟离散单元内矢量场而非位函数或矢量场的分量, 保证矢量场的散度为零, 从而克服了传统有限元方法所存在的伪解现象。相对于经典的标量有限元法, 矢量有限元法还有如下优点: ①它自然满足电场或磁场在介质分界面上的切向连续性条件; ②由于棱边与棱边的耦合弱于节点与节点的耦合, 因而所得到的总体矩阵具有较少的非零元和较大的稀疏度, 从而减少了计算量。

矢量有限元分析步骤与标量有限元法分析过程相同, 唯一有区别的是在各个离散单元内, 矢量有限元通过矢量基函数直接离散矢量场, 而标量有限元方法应用标量基函数离散标量场。本章是矢量有限元的基础, 从Maxwell方程组出发, 分析了边界条件、准静态极限下的电场矢量波动方程和三维边值问题, 推导了三维MT的伽辽金有限元公式系统, 建立起三维MT矢量有限元算法, 并选择几个典型计算模型来验证算法的正确性。

2.1 MT的三维边值问题

2.1.1 Maxwell方程组

Maxwell方程组是描述电磁场的一组基本的经验公式, 含有彼此独立的4个方程, 分别反映了4条基本的物理定律, 其基本形式如下: 

麦克斯韦方程组建立了场强矢量、 电流密度及电荷密度之间的关系。作为确定电磁场和电荷、 电流系统运动的完整方程组, 除了Maxwell方程组和电流连续性方程之外还必须补充几个关系式以给出电场强度E和电位移矢量D、 电场强度E和电流密度j以及磁场强度H和磁感应强度B之间的关系。这几个关系与介质的性质有关, 称为物质的本构关系, 即: